反ユニタリー演算子

Bijective antilinear map between two complex Hilbert spaces

数学において、反ユニタリー変換は全単射 反線型写像である。

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

二つの複素 ヒルベルト空間の間には

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$

およびにおいて、水平バーは複素共役を表す。さらにが成り立つ場合、は反ユニタリー演算子と呼ばれる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{1}=H_{2}}$ ${\displaystyle U}$

反ユニタリー演算子は、時間反転などの特定の対称性を表すために使用されるため、量子力学において重要です。^{[1]量子物理学におけるその基本的な重要性は、}ウィグナーの定理 によってさらに実証されています。

不変性変換

量子力学では、複素ヒルベルト空間の不変性変換によりスカラー積の絶対値は不変となる。 ${\displaystyle H}$

${\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |}$

すべてのおよびにおいて。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$

ウィグナーの定理により、これらの変換はユニタリ変換または反ユニタリ変換のいずれかになります。

幾何学的解釈

平面の合同性は2つの異なるクラスを形成する。1つは向きを保存し、並進と回転によって生成される。もう1つは向きを保存せず、1つ目のクラスから鏡映変換を適用することによって得られる。複素平面上では、これらの2つのクラスは（並進を除いて）それぞれユニタリと反ユニタリに対応する。

プロパティ

• ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$はヒルベルト空間のすべての要素と反ユニタリ に対して成り立ちます。 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle U}$
• が反ユニタリであるとき、はユニタリである。これは ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{2}}$ $${\displaystyle \left\langle U^{2}x,U^{2}y\right\rangle ={\overline {\langle Ux,Uy\rangle }}=\langle x,y\rangle .}$$
• ユニタリ演算子の場合、演算子（ただし は（ある直交基底に関する）複素共役）は反ユニタリです。逆もまた真で、反ユニタリの場合、演算子はユニタリです。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle VK}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UK}$
• 反ユニタリの場合、随伴演算子の定義は複素共役を補償するように変更され、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{*}}$ $${\displaystyle \langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}.}$$
• 反ユニタリ演算子の随伴演算子も反ユニタリ演算子であり、 (反ユニタリ演算子は複素線型ではないため、これをユニタリ演算子の定義と混同しないでください。) ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=1.}$$ ${\displaystyle U}$

例

• 複素共役演算子は、複素平面上の反ユニタリー演算子です。 ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle Kz={\overline {z}},}$
• は第二パウリ行列、は複素共役演算子である演算子であり、反ユニタリである。これは を満たす。 $${\displaystyle U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}K,}$$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U^{2}=-1}$

反ユニタリー演算子の基本ウィグナー反ユニタリーの直和への分解

有限次元空間上の反ユニタリー作用素は、ウィグナー反ユニタリー作用素の直和として分解できる。この作用素は、 ${\displaystyle W_{\theta }}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle W_{0}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle W_{0}(z)={\overline {z}}}$

に対して、この演算子は2次元複素ヒルベルト空間に作用する。これは次のように定義される。 ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$ ${\displaystyle W_{\theta }}$

${\displaystyle W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}$

注意： ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$

${\displaystyle W_{\theta }\left(W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\right),}$

したがって、これは恒等写像に一致する にさらに分解することはできません。 ${\displaystyle W_{\theta }}$ ${\displaystyle W_{0}}$

上記の反ユニタリ作用素の分解は、ユニタリ作用素のスペクトル分解とは対照的であることに注意されたい。特に、複素ヒルベルト空間上のユニタリ作用素は、1次元複素空間（固有空間）に作用するユニタリ作用素の直和に分解できるが、反ユニタリ作用素は、1次元および2次元複素空間上の基本作用素の直和にしか分解できない。

参考文献

1. ペスキン、マイケル・エドワード (2019).量子場理論入門. ダニエル・V・シュローダー. ボカラトン. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC  1101381398。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• ウィグナー, E.「反ユニタリー作用素の正規形」、Journal of Mathematical Physics Vol 1, no 5, 1960, pp. 409–412
• ウィグナー, E.「ユニタリー対称性作用素と反ユニタリー対称性作用素の現象論的区別」、Journal of Mathematical Physics Vol 1, no 5, 1960, pp.414–416

参照

• ユニタリ演算子
• ウィグナーの定理
• 素粒子物理学と表現理論

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