Mathematical functions
逆双曲線関数のグラフ 単位双曲線に関する 双曲線関数 sinh 、 cosh 、 tanh は 、単位円に関する円関数 sin 、 cos 、 tanに類似しています。双曲線関数の引数は、双曲線角度の測度です。 数学 において 、 逆双曲線関数は 双曲線関数 の 逆関数 であり 、 逆円関数 に類似しています。一般的に用いられる関数は、逆双曲線正弦、逆双曲線余弦、逆双曲線正接、逆双曲線余割、逆双曲線正接、逆双曲線余接の6つです。これらは通常、双曲線関数の記号に arc- または ar-を 接頭辞として付けるか、上付き文字 （例： arsinh 、 arsinh 、または ）で表されます。 − 1 {\displaystyle {-1}} sinh − 1 {\displaystyle \sinh ^{-1}}
双曲関数の与えられた値に対して、逆双曲関数は対応する 双曲角測度 を提供します。たとえば 、 およびです。 双曲角測度は 、ローレンツ平面で測定された 単位双曲線 の 弧の長さ( ユークリッド平面 での双曲弧の長さ ではありません ) と、 対応する 双曲セクターの 面積の 2 倍です。これは 、円角測度がユークリッド平面での 単位円 の弧の長さ、または対応する 円セクター の面積の 2 倍で ある方法に似ています 。あるいは、双曲角は双曲線のセクターの面積です。 一部の著者は逆双曲関数を 双曲面積関数 と呼んでいます。 [1] arsinh ( sinh a ) = a {\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a} sinh ( arsinh x ) = x . {\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.} x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} x y = 1. {\displaystyle xy=1.}
双曲関数は、双曲幾何学 における角度と距離の計算に用いられます。また、多くの線形 微分方程式（ 懸垂線 を定義する方程式など ）、 三次方程式 、そして 直交座標 における ラプラス方程式 の解にも用いられます 。 ラプラス方程式は、 電磁気学 、 伝熱 、 流体力学 、 特殊相対論 など、 物理学 の多くの分野で重要です 。
表記 単位双曲線 x 2 − y 2 = 1 を通る直線が 点 (cosh a , sinh a ) を通る。ここで a は 直線、双曲線、 x 軸の間の面積の2倍である。 最も古く、最も広く採用されている記号は、 逆円関数 （ arcsin など） との類推から、接頭辞 arc- （つまり、 arcsinh 、 arccosh 、 arctanh 、 arcsech 、 arccsch 、 arccoth ）を用いています。ローレンツ平面（ 符号 (1, 1) の 擬ユークリッド平面 ） [2] または双曲数平面 [3] 上の 単位 双曲線（「ローレンツ円」）の場合、 双 曲 角の測度 （ 双曲関数の引数）は、まさに 双曲弧の 弧長です。
また、等という 表記も一般的である [4] [5] が、上付き文字の-1を指数と誤解しないように注意する必要がある。標準的な慣例によれば、 またはは 逆関数を意味し、 またはは 逆数 を意味する。特に一貫性がないのは、正の 整数 の上付き文字を関数の合成ではなく指数を表すために 慣例的に使用することである。例えば、慣例的に はおよび を 意味 し、 sinh − 1 , {\displaystyle \sinh ^{-1},} cosh − 1 , {\displaystyle \cosh ^{-1},} sinh − 1 x {\displaystyle \sinh ^{-1}x} sinh − 1 ( x ) {\displaystyle \sinh ^{-1}(x)} ( sinh x ) − 1 {\displaystyle (\sinh x)^{-1}} sinh ( x ) − 1 {\displaystyle \sinh(x)^{-1}} 1 / sinh x . {\displaystyle 1/\sinh x.} sinh 2 x {\displaystyle \sinh ^{2}x} ( sinh x ) 2 {\displaystyle (\sinh x)^{2}} sinh ( sinh x ) . {\displaystyle \sinh(\sinh x).}
双曲関数の引数は ユークリッド平面 における双曲弧の弧長では ない ため、一部の著者は接頭辞 arc-を 非難し、接頭辞 ar- （ 「 面積 」 ）または arg- （ 「 引数 」 ）を使用するべきだと主張している。 [6] この推奨に従い、 ISO 80000-2 標準略語では接頭辞 ar- を使用している（つまり、 arsinh 、 arcosh 、 artanh 、 arsech 、 arcsch 、 arcoth ）。
コンピュータ プログラミング言語では、逆円関数と逆双曲線関数は、多くの場合、短い接頭辞 a- ( asinhなど) で命名されます。
この記事では、便宜上、 一貫して接頭辞 ar- を採用します。
対数による定義 双曲線関数は 指数関数の 二次 有理関数 なので、 二次方程式の公式 を使って解いて、 自然対数 で表すことができます 。 exp x , {\displaystyle \exp x,}
arsinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) − ∞ < x < ∞ , arcosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) 1 ≤ x < ∞ , artanh x = 1 2 ln 1 + x 1 − x − 1 < x < 1 , arcsch x = ln ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) − ∞ < x < ∞ , x ≠ 0 , arsech x = ln ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) 0 < x ≤ 1 , arcoth x = 1 2 ln x + 1 x − 1 − ∞ < x < − 1 or 1 < x < ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}
複素 引数の場合 、逆円関数、逆双曲線関数、 平方根 、自然対数はすべて 多値関数 です。
arsinh u ± arsinh v = arsinh ( u 1 + v 2 ± v 1 + u 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)} arcosh u ± arcosh v = arcosh ( u v ± ( u 2 − 1 ) ( v 2 − 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)} artanh u ± artanh v = artanh ( u ± v 1 ± u v ) {\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)} arcoth u ± arcoth v = arcoth ( 1 ± u v u ± v ) {\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)} arsinh u + arcosh v = arsinh ( u v + ( 1 + u 2 ) ( v 2 − 1 ) ) = arcosh ( v 1 + u 2 + u v 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}
その他のアイデンティティ 2 arcosh x = arcosh ( 2 x 2 − 1 ) for x ≥ 1 4 arcosh x = arcosh ( 8 x 4 − 8 x 2 + 1 ) for x ≥ 1 2 arsinh x = ± arcosh ( 2 x 2 + 1 ) 4 arsinh x = arcosh ( 8 x 4 + 8 x 2 + 1 ) for x ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}
ln ( x ) = arcosh ( x 2 + 1 2 x ) = arsinh ( x 2 − 1 2 x ) = artanh ( x 2 − 1 x 2 + 1 ) {\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}
双曲線関数と逆双曲線関数の合成 sinh ( arcosh x ) = x 2 − 1 for | x | > 1 sinh ( artanh x ) = x 1 − x 2 for − 1 < x < 1 cosh ( arsinh x ) = 1 + x 2 cosh ( artanh x ) = 1 1 − x 2 for − 1 < x < 1 tanh ( arsinh x ) = x 1 + x 2 tanh ( arcosh x ) = x 2 − 1 x for | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}
逆双曲線関数と円関数の合成 arsinh ( tan α ) = artanh ( sin α ) = ln ( 1 + sin α cos α ) = ± arcosh ( 1 cos α ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}
ln ( | tan α | ) = − artanh ( cos 2 α ) {\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)} [7]
コンバージョン ln x = artanh ( x 2 − 1 x 2 + 1 ) = arsinh ( x 2 − 1 2 x ) = sgn ( x − 1 ) arcosh ( x 2 + 1 2 x ) {\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}
artanh x = arsinh ( x 1 − x 2 ) = sgn x arcosh ( 1 1 − x 2 ) {\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
arsinh x = artanh ( x 1 + x 2 ) = sgn x arcosh ( 1 + x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}
arcosh x = | arsinh ( x 2 − 1 ) | = | artanh ( x 2 − 1 x ) | {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}
デリバティブ d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 , for all real x d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 , for all real x > 1 d d x artanh x = 1 1 − x 2 , for all real | x | < 1 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 , for all real | x | > 1 d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 , for all real x ∈ ( 0 , 1 ) d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 , for all real x , except 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}
これらの式は双曲関数の微分を用いて導出できる。例えば、 ならば 、 x = sinh θ {\displaystyle x=\sinh \theta } d x / d θ = cosh θ = 1 + x 2 , {\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},} d d x arsinh ( x ) = d θ d x = 1 d x / d θ = 1 1 + x 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}
シリーズの拡張 上記の関数に対して拡張級数を取得できます。
arsinh x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 ± ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arcosh x = ln ( 2 x ) − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + ⋯ ) = ln ( 2 x ) − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n 2 n , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
artanh x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arcsch x = arsinh 1 x = x − 1 − ( 1 2 ) x − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 7 7 ± ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
arsech x = arcosh 1 x = ln 2 x − ( ( 1 2 ) x 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 6 6 + ⋯ ) = ln 2 x − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n 2 n , 0 < x ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}
arcoth x = artanh 1 x = x − 1 + x − 3 3 + x − 5 5 + x − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} arsinhの漸近展開は次のように与え られる 。
arsinh x = ln ( 2 x ) + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n ( 2 n ) ! ! 1 x 2 n {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}
複素平面上の主値 逆双曲関数は複素変数の関数 として 、 有限個の点を除いて 解析的な 多 価関数である。このような関数では、 複素平面から有限 個 の 弧 （通常は半直線または線分）が除去された 領域上で、多価関数の特定の1つの枝と一致する単価解析関数である主値を定義するの が一般的である。これらの弧は 分岐 切断 と呼ばれる。多 価関数の主値は特定の点で選択され、定義域の他の場所は 解析接続 によって求められる値と一致するように定義される 。
例えば、平方根の場合、主値は正の 実部 を持つ平方根として定義されます。これは、変数の実数が正でない場合（2つの平方根の実部がゼロになる場合）を除くあらゆる場所で定義される、単一の値を持つ解析関数を定義します。平方根関数のこの主値は、 以下のように表されます。同様に、対数の主値は、 以下のように表され、 虚部の 絶対値が最小となる値として定義されます。これは、変数の実数が正でない場合（対数の2つの異なる値が最小になる場合）を除くあらゆる場所で定義されます。 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} Log {\displaystyle \operatorname {Log} }
すべての逆双曲線関数の主値は、平方根と対数関数の主値を用いて定義できます。しかし、§ 対数による定義の公式では、定義域が狭すぎる場合や、場合によっては 連結されていない 場合など、正しい主値が得られないことがあります。
逆双曲線正弦の主値 逆双曲線正弦の主値は次のように与えられる。 arsinh z = Log ( z + z 2 + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}
平方根の引数は、 z が 虚軸の区間 [ i , + i ∞) および (− i ∞, − i ] のいずれかに属する 場合に限り、非正の実数です。対数の引数が実数の場合、それは正です。したがって、この式は、分岐カット [ i , + i ∞ ) および (− i ∞ , − i ] を 持つ arsinh の主値を定義します 。 分岐 カット は 特異 点 i と − i を 無限大に接続する必要があるため、 これ は 最適 です 。
逆双曲線余弦の主値 § 逆双曲線余弦の項で示した逆双曲線余弦の式は、対数や平方根の主値と同様に、虚数 z に対してarcoshの主値が定義されないため、簡便ではない。したがって、平方根は因数分解する必要があり、次の式が得られる。 arcosh z = Log ( z + z + 1 z − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}
平方根の主値は両方とも定義されていますが、 z が 実区間 (-∞, 1] に属する場合は除きます。対数の引数が実数の場合、 z も実数で同じ符号を持ちます。したがって、上記の式は、実区間(-∞, 1] の外側の arcosh の主値を定義し 、これが唯一の分岐切断点となります。
逆双曲線正接と逆双曲線余接の主値 § 対数による定義で示されている式は、 逆双曲正接と逆双曲余接の主値の定義を示唆しています。これらの式では、対数の偏角が実数となるのは、 z が 実数の場合のみです。artanh の場合、この偏角は実区間 (−∞, 0] 内にあります。ただし、 z が (−∞, −1] または [1, ∞) のいずれかに属する場合です 。arcoth の場合、対数の偏角は実区間 (−∞, 0] 内にあります。ただし、 z が 実区間 [−1, 1] に属する場合のみです。 artanh z = 1 2 Log ( 1 + z 1 − z ) arcoth z = 1 2 Log ( z + 1 z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}
したがって、これらの式は、 逆双曲正接の分岐切断が (−∞, −1] と [1, ∞) 、逆双曲正接の分岐切断が [−1, 1] である便利な主値を定義します。
分岐切断近傍における数値評価の改善を鑑み、一部の著者は 主値について以下の定義を用いている [ 要出典 ] 。ただし、後者の定義は z = 0 において 除去可能な特異点 を導入する。 の2つの定義は、 z > 1 の実数 z に対して異なる 。 の2つの定義は、 z ∈ [0, 1) の実数 z に対して異なる 。 artanh {\displaystyle \operatorname {artanh} } arcoth {\displaystyle \operatorname {arcoth} } artanh z = 1 2 Log ( 1 + z ) − 1 2 Log ( 1 − z ) arcoth z = 1 2 Log ( 1 + 1 z ) − 1 2 Log ( 1 − 1 z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}
逆双曲余割の主値 逆双曲余割の主値は次のように定義される。 arcsch z = Log ( 1 z + 1 z 2 + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}
対数と平方根の引数が非正の実数である場合を除き、平方根の主値は定義されません。したがって、平方根の主値は虚直線の区間 [− i , i ] の外側で定義されます。対数の引数が実数の場合、 z は非ゼロの実数となり、対数の引数が正であることを意味します。
したがって、主値は 分岐切断の 外側では上記の式によって定義され、仮想直線の 区間 [− i , i ]で構成されます。
( z = 0 では、分岐切断に含まれる特異点が存在します。)
逆双曲正割の主値 ここでは、逆双曲余弦の場合と同様に、平方根を因数分解する必要があります。これにより、主値は次のように表されます。 arsech z = Log ( 1 z + 1 z + 1 1 z − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}
平方根の偏角が実数であれば、 z も実数であり、平方根の主値は両方とも定義されます。ただし、 z が実数で区間 (−∞, 0] と [1, +∞) のいずれかに属する場合は除きます。対数の偏角が実数で負であれば、 z も実数で負です。したがって、arsechの主値は、上記の式によって、2つの 分岐 、すなわち実区間 (−∞, 0] と [1, +∞)の 外側で明確に定義されます。
z = 0 の場合 、分岐の 1 つに含まれる特異点が存在します。
グラフィカルな表現 逆双曲関数の主値の以下のグラフ表現では、分岐切断は色の不連続として現れています。分岐切断全体が不連続として現れるという事実は、これらの主値がより大きな領域で定義された解析関数には拡張できないことを示しています。言い換えれば、上で定義された 分岐切断 は最小です。
複素 z 平面上の逆双曲線関数：平面上の各点の色は、 その点におけるそれぞれの関数の 複素値を表す。
参照
参考文献 ^ 例えば:
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Zeidler らはarsinh などの表記法を使用していますが 、引用されているラテン語名は数学文献で 新ラテン語 が一般的に使用されなくなったずっと後に作られた 逆 表記であることに注意してください。
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参考文献
外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8601ab8dda675f60aaee1b115496565009e9c53b)
