Angle of complex number about real axis
図1. この アルガン図は、 平面 上にある 複素数 を表しています 。平面上の各点について、 arg は 角度 を返す関数です 。 φ {\displaystyle \varphi } 数学 (特に 複素解析 )において 、 複素数 zの 偏角は arg( z ) と表記され 、 正の 実 軸と原点と z を結ぶ線との間の 角度 であり、図 1 に 示すように 複素平面 上の点として表されます。慣例により、正の実軸は右向きに描かれ、正の 虚 軸は上向きに描かれ、実部が正の複素数は 反時計 回りの偏角を持ち、符号が正であると見なされます。 φ {\displaystyle \varphi }
任意の実数値角度を考えるとき、引数は 非零 複素数に作用する 多価関数 である。この関数の 主値 は単価であり、通常は区間 (− π , π ] 内に含まれる引数の唯一の値に選択される。 [1] [2] この記事では、多価関数を arg( z ) 、その主値を Arg( z ) と表記するが、一部の文献ではこれらの記号の大文字と小文字が入れ替わっている。
古い数学の教科書の中には、「振幅」という用語が複素数の角度を表すために「偏角」と互換的に使われていたものがありました。この用法は、 ラース・アルフォース の『 複素解析：1複素変数の解析関数理論入門』 （1979年）などの古い参考文献にも見られ、振幅は複素数の偏角を指していました。この用語は現代の教科書ではほとんど時代遅れですが、一部の地域的な教育資料では今でも見られ、入門レベルの教科書で時々使用されています。 [3]
意味 図2. 議論の2つの選択肢 φ {\displaystyle \varphi } 非ゼロ複素数 z = x + iy の引数 arg( z ) は 、 2つの同等の方法で定義されます。
幾何学的には、複素平面において、正の実軸から z を表すベクトルまでの 2次元極角 として表されます。数値は ラジアン単位 の角度で表され、反時計回りに測定された場合は正となります。 φ {\displaystyle \varphi } 代数的には、 任意の実数 r に対してとなるような実数です （ オイラーの公式を 参照）。r は zの 絶対値 （絶対値） であり 、| z | と表記されます。 φ {\displaystyle \varphi } z = r ( cos φ + i sin φ ) = r e i φ {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }} r = x 2 + y 2 . {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.} ゼロ引数は通常は未定義のままである。 絶対値を表す絶対値 と、 引数 を 表す位相 [4] [1] という名称は、同義語として使われる こと が ある 。
どちらの定義においても、任意の非ゼロ複素数の偏角は多くの値を取り得ることがわかります。まず、幾何学的な角度として、円周全体を回転させても点は変化しないことが明らかです。そのため、右の図2に示すように、 2π ラジアン の整数倍（1 回転 ）だけ異なる角度は同じです。同様に、 sin と cos の 周期性 から、2番目の定義にもこの性質が見られます。
元本価値 図3. 1 + i における青い点の 主値 Arg は π/4 です 。ここで赤い線は分岐切断であり、図4で垂直に重ねて示されている2本の赤い線に対応しています。 複素数は原点の周りを完全に回転しても変化しないため、 原点を何度でも周回させることで、多くの選択肢が得られます。これは図2に示されています。これは 多価関数 （集合値関数）の表現 で、図には示されていませんが、垂直線が面をその点における角度のあらゆる選択肢を表す高さで切断しています。 φ {\displaystyle \varphi } f ( x , y ) = arg ( x + i y ) {\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}
明確に定義された 関数が必要な場合 、通常は 主値 と呼ばれる開閉 区間 (− π , π ] ラジアン内の値が選択されます。つまり、 − πから π ラジアン までで、 − π ラジアン自体は除きます (つまり、−180 度から +180 度 までで、−180° 自体は除きます)。これは、どちらの方向でも、正の実軸から完全な円の半分までの角度を表します。
一部の著者は主値の範囲を閉開区間 [0, 2 π ) 内にあると定義しています。
表記 主値は、 Arg z のように、特に引数の一般形も考慮される場合、最初の文字が大文字になることがあります。表記法は様々であるため、 arg と Arg は 異なるテキストで入れ替えられる場合があることに注意してください。
引数のすべての可能な値の集合は、 Arg に関して 次のように記述できます。 arg ( z ) = { Arg ( z ) + 2 π n ∣ n ∈ Z } . {\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}
実部と虚部からの計算 複素数が実部と虚部でわかっている場合、主値 Argを計算する関数は 2 引数アークタンジェント関数 atan2 と呼ばれます 。atan2 関数は 、多くのプログラミング言語の数学ライブラリで使用でき、名前が異なる場合もありますが、通常は (−π, π] の範囲の値を返します 。 [1] 詳細と代替実装については、 atan2 を 参照してください。これは、 および の場合を除き機能します。この場合、 の値は π になり、 のときは未定義になります 。 Arg ( x + i y ) = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)} atan2 ( y , x ) = 2 atan y x 2 + y 2 + x , {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\operatorname {atan} {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\,,} y = 0 {\displaystyle y=0} x ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} x < 0 {\displaystyle x<0} x = 0 {\displaystyle x=0}
コンピュータ言語における関数の実現
Wolfram言語（Mathematica） Wolfram言語では、次のようになります Arg[z]: [5]
Arg[x + y I] = { 0 if x = 0 and y = 0 , undefined if | x | = ∞ and | y | = ∞ , 0 if x = ∞ and | y | ≠ ∞ , π if x = − ∞ and | y | ≠ ∞ , ± π 2 if y = ± ∞ and | x | ≠ ∞ , Arg ( x + y i ) otherwise . {\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ and }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty {\text{ and }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
または言語の を使用します ArcTan:
Arg[x + y I] = { 0 if x = 0 and y = 0 , ArcTan[x, y] otherwise . {\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
ArcTan[x, y]は 無限大を扱うために拡張されます。 は (つまり、 まだ 定義されています)、 は 何も返しません (つまり、 undefined です)。 atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} ArcTan[0, 0]IndeterminateArcTan[Infinity, -Infinity]
メープル Maple の は Wolfram言語と argument(z)同じように動作しますが、 が 特殊な浮動小数点値 である 場合に も を返します 。 [6] また、Mapleには がありません 。 Arg[z]argument(z) π {\displaystyle \pi } z−0. atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} }
MATLAB MATLAB の [7] [8] angle(z)動作は Wolfram言語と 同じですが、 Arg[z]
{ 1 π 4 if x = ∞ and y = ∞ , − 1 π 4 if x = ∞ and y = − ∞ , 3 π 4 if x = − ∞ and y = ∞ , − 3 π 4 if x = − ∞ and y = − ∞ . {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}
MapleやWolfram言語とは異なり、MATLABの は atan2(y, x)と同等です angle(x + y*1i)。つまり、 atan2(0, 0)は です 。 0 {\displaystyle 0}
アイデンティティ 主値 Arg を定義する主な動機の一つは、複素数を法-引数形式で表記できるようにすることである。したがって、任意の複素数 z に対して、 z = | z | e i Arg z . {\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}
これはz がゼロ以外 の場合にのみ有効ですが、 Arg(0) が未定義ではなく 不定形式 であると見なされる 場合は、 z = 0に対して有効と見なすことができます。
さらにいくつかの恒等式が成り立ちます。z 1 と z 2 が2つの非ゼロ複素数である場合 、 は 、 値 が ( −π,π]ラジアンの区間に収まるように、必要に応じて 2π の 任意 の 整数 倍 を 加算 または減算することを意味します 。 Arg ( z 1 z 2 ) ≡ Arg ( z 1 ) + Arg ( z 2 ) ( mod 2 π Z ) , Arg ( z 1 z 2 ) ≡ Arg ( z 1 ) − Arg ( z 2 ) ( mod 2 π Z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {2\pi \mathbb {Z} }},\end{aligned}}} ( m o d 2 π Z ) {\displaystyle (\mathrm {mod} \,\,2\pi \mathbb {Z} )}
z ≠0 かつ n が任意の整数の 場合、 [1] Arg ( z n ) ≡ n Arg ( z ) ( mod 2 π Z ) . {\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {2\pi \mathbb {Z} }}.}
例 Arg ( − 1 − i i ) = Arg ( − 1 − i ) − Arg ( i ) = − 3 π 4 − π 2 = − 5 π 4 {\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}
複素対数を使う から を得るか 、あるいは を得ます 。虚数部をとっているため、実数スカラーによる正規化は結果に影響を与えません。これは 複素対数 が利用可能な場合に便利です。 z = | z | e i Arg ( z ) {\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}} i Arg ( z ) = ln z | z | {\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}} Arg ( z ) = Im ( ln z | z | ) = Im ( ln z ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} (\ln {\frac {z}{|z|}})=\operatorname {Im} (\ln z)}
差別化 引数関数は複素微分可能ではない。
lim z → z 0 arg ( z ) − arg ( z 0 ) z − z 0 {\displaystyle \lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {\arg(z)-\arg(z_{0})}{z-z_{0}}}}
は、任意の分岐に対しても任意の分岐に対しても存在しません （実際、任意の分岐において分子は同じ値を取ります）。しかし、 Wirtinger微分は 適用可能です。対数恒等式から始めましょう。 z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} } ln ( z ) = Ln | z | + i arg ( z ) {\displaystyle \ln(z)=\operatorname {Ln} |z|+i\arg(z)}
それを使用してください 。 | z | 2 = z z ¯ {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}}
ln ( z ) = 1 2 Ln ( z ) + 1 2 Ln ( z ¯ ) + i arg ( z ) {\displaystyle \ln(z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} (z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} ({\bar {z}})+i\arg(z)}
異なる分岐切断法を用いることで、主対数のすべての点に2回に分けて微分を適用することができます。まず、 を適用します 。 ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}
1 z = 1 2 1 z + 0 + i ∂ ∂ z arg ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{z}}+0+i{\frac {\partial }{\partial z}}\arg(z)}
整理すると になります 。ここで を適用します 。 ∂ ∂ z arg ( z ) = − i 2 z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\arg(z)={\frac {-i}{2z}}} ∂ ∂ z ¯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}
0 = 0 + 1 2 1 z ¯ + i ∂ ∂ z ¯ arg ( z ) {\displaystyle 0=0+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\bar {z}}}+i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg(z)}
これは、 ∂ ∂ z ¯ arg ( z ) = i 2 z ¯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg(z)={\frac {i}{2{\bar {z}}}}}
両方の Wirtinger 導関数が存在するため、Dolbeault 導関数を適用できます。
∂ arg ( z ) = − i 2 z d z {\displaystyle \partial \arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz}
∂ ¯ arg ( z ) = i 2 z ¯ d z ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}\arg(z)={\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}}
これは、それらの合計によって与えられる 外微分 が存在することを意味します。
d arg ( z ) = − i 2 z d z + i 2 z ¯ d z ¯ {\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}}
これは重要な微分形式であり、円周上の最初のド・ラームコホモロジーの生成元となる 。言い換えれば、 H d R 1 ( S 1 ) {\displaystyle H_{dR}^{1}(S^{1})}
d arg ( z ) = − i 2 z d z + i 2 z ¯ d z ¯ = x d y − y d x x 2 + y 2 {\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}={\frac {x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}}}
この形式は閉じていますが、通常の意味では正確ではありません (多値であることの副産物)。
∮ S 1 d arg ( z ) = 2 π ≠ 0 {\displaystyle \oint \limits _{S^{1}}d\arg(z)=2\pi \neq 0}
標準的な方向で。
参考文献 ^ abcd Weisstein, Eric W. 「複雑な議論」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月31日 閲覧 。 ^ 「Modulus and Argument」. mas-coursebuild.ncl.ac.uk . ニューカッスル大学. 2025年1月5日 閲覧 。 ^ 「複素数の絶対値と偏角」 Byju's . 2025年 1月18日 閲覧 。 ^ 数学辞典 (2002)。 位相 。 ^ "Arg". Wolfram言語ドキュメント . 2024年8月30日 閲覧。 ^ 「引数 - Maple ヘルプ」。 ^ 「位相角 - MATLAB 角度」。 ^ 「4象限逆正接 - MATLAB atan2」。
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ かつ }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty {\text{ かつ }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty {\text{ かつ }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty {\text{ かつ }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{それ以外の場合}}.\end{ケース}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065e642753b5368e4f043a86ebbb7542392fa73e)
![{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{x=0{\text{かつy=0の場合、\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{それ以外の場合}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417935b528c9e6995c670956eb27b01108161b0c)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ かつ }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ かつ }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ かつ }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ かつ }}y=-\infty .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a307c8b014a10f796f164859b966cebd0878694)
