ルジャンドル関数

物理科学と数学において、ルジャンドル関数 $P λ$ 、 $Q λ$ および随伴ルジャンドル関数 $P μλ $ 、 $Q μλ $ 、および第二種ルジャンドル関数Q $n は$ $、$ いずれもルジャンドル微分方程式の解である。ルジャンドル多項式およびルジャンドル随伴多項式もまた、特殊な場合における微分方程式の解であり、多項式であるがゆえに、多数の付加的な性質、数学的構造、および応用を有する。これらの多項式解については、Wikipediaの個別の記事を参照のこと。

ルジャンドルの微分方程式

一般的なルジャンドル方程式は次のように書ける。ここで、 $λ$ と $μ$ は複素数であってもよく、それぞれ関数の次数と位数と呼ばれる。λが整数（nと表記）でμ = 0のときの多項式解は $ルジャンドル$ 多項式 $P$ n $で$ $ある$ 。 $また$ $、$ $λ$ が整数（ $n$ と表記）で $μ$ $=$ $m$ も整数で $|$ $m$ $| <$ $n$ のときはルジャンドル随伴多項式である。λとμの他のすべてのケースは $1$ $つ$ として議論することができ、解は $Pと表記される。$ $\left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,$ $μλ $ 、 $Q μλ $ $μ = 0$ の場合、上付き文字は省略され、単に $P λ$ 、 $Q λ$ $と表記されます。しかし、 λ$ が整数の場合の解 $Q λ は$ 、第二種ルジャンドル関数として別途議論されることが多く、 $Q$ $n$ と表記されます。

$これは3つの正則特異点（ 1$ 、 $-1$ 、 $\infty$ ）を持つ2階線形方程式です。他の同様の方程式と同様に、変数変換によって超幾何微分方程式に変換でき、その解は超幾何関数を用いて表すことができます。

微分方程式の解

この微分方程式は線型同次（右辺が零）で二階であるため、2つの線型独立な解を持ち、どちらも超幾何関数で表すことができます。をガンマ関数とすると、最初の解は、 2番目の解はとなります。 $_{2}F_{1}$ $\Gamma$ $P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2,$ $Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.$

これらは一般に、第一種および第二種の非整数次ルジャンドル関数として知られており、 $μ$ が0でない場合は「関連付けられた」という修飾語が追加されます。P解 $と$ Q $解$ の間の有用な関係は、ホイップルの公式です。

正の整数順序

正の整数の場合、上記の評価には特異項の消去が含まれる。 ^[1]の極限は次のように成り立つ。 $\mu =m\in \mathbb {N} ^{+}$ $P_{\lambda }^{\mu }$ $m\in \mathbb {N} _{0}$

$P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),$

（上昇する）ポッホハマー記号を伴います。 $(\lambda )_{n}$

第二種ルジャンドル関数（ $Q n$ ）

整数次、、の特殊な場合の非多項式解は、しばしば別々に議論される。これは次のように与えられる。 $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$ $\mu =0$ $Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)$

この解は、の場合には必ず特異となります。 $x=\pm 1$

第二種ルジャンドル関数はボネの再帰式によって再帰的に定義することもできる。 $Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}$

第二種準ルジャンドル関数

整数次の特別な場合の非多項式解は、次のように与えられる。 $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$ $\mu =m\in \mathbb {N} _{0}$ $Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.$

積分表現

ルジャンドル関数は等高線積分として表すことができます。例えば、等高線が点 $1$ と点 $zの$ 周りを正の方向に回り、点 $-1の$ 周りを回っていない場合、実数 $x$ に対して、 $P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt$ $P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}$