Arctangent function with two arguments
atan2( y , x ) は、原点から点 ( x , y )への 光線 と正の x 軸との間の 角度 θ を返します (範囲は (− π , π ] です) 。 グラフの オーバー atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} y / x {\displaystyle y/x} コンピュータ と 数学 において 、 関数 atan2 は2つの 引数を持つ 逆正接 です。定義により、 は 正の 軸 と 原点 から 直交平面 上の 点への 直線との間の 角度 （ ラジアン単位 、 ）です 。同様に、は 複素数の 引数（ 位相 または 角度 とも呼ばれます ） です （前述 の関数の 引数と複素数の 引数は 混同しないでください）。 θ = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)} − π < θ ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi } x {\displaystyle x} ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} x + i y . {\displaystyle x+iy.}
この 関数は1961年にプログラミング言語 Fortranで初めて登場しました。元々は 直交座標系から 極座標系 への 変換において、 角度 の正確で明確な値を返すことを目的としてい まし た 。 および の 場合 、 および atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} } θ {\displaystyle \theta } ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} ( r , θ ) {\displaystyle (r,\,\theta )} θ = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)} r = x 2 + y 2 {\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} x = r cos θ {\displaystyle x=r\cos \theta } y = r sin θ . {\displaystyle y=r\sin \theta .}
x > 0 {\displaystyle x>0} の場合 、目的の角度の測定値は、 しかし、 x < 0 の場合、角度は 目的の角度と 正反対で あり、点を正しい 象限に配置するには (半 回転 ) を追加する必要があります 。 [1] 関数を使用すると 、この補正がなくなり、コードと数式が簡素化されます。 θ = atan2 ( y , x ) = arctan ( y / x ) . {\textstyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)=\arctan \left(y/x\right).} arctan ( y / x ) {\displaystyle \arctan(y/x)} ± π {\displaystyle \pm \pi } atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} }
モチベーション −πから +π までの 正接関数のグラフ。対応する y / x の符号も示している。緑の矢印は atan2(−1, −1) と atan2(1, 1) の結果を示している 。 通常の単一引数 アークタンジェント 関数は、区間 ( − 1 2 π , 1 2 π ) {\displaystyle {\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi )} 内の角度の測定値のみを返します。そして、原点から 直交 平面上の任意の点 ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} への方向角を求めるためにこの関数を呼び出すと、点が左半平面 内にある場合、誤った結果が返されます。 正反対の 角度の測定値は同じ正接を持ちます。なぜなら 、 x < 0 {\displaystyle x<0} y / x = ( − y ) / ( − x ) . {\displaystyle y/x=(-y)/(-x).}
アークタンジェント関数を用いて点 ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} から原点への方向角を完全に決定するには 、数式またはコンピュータコードで複数のケースを処理する必要があります。少なくとも の正の値と負の値の場合がそれぞれ1つずつ、そして場合によっては が負の値、または座標の1つが0の場合も処理する必要があります。角度の測定値を求めたり、直交座標を 極座標 に変換したりすることは 科学計算では一般的ですが、このコードは冗長でエラーが発生しやすいものです。 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
プログラマの手間を省くため、コンピュータ プログラミング言語は 、少なくとも 1960年代の Fortran IV言語の頃から atan2 関数を導入しました。 [2] は 、原点から 直交平面上の任意の点 への直線と 軸との間の角度です。 と の 符号 は、結果の 象限を決定し、 多価関数 の正しい分岐を選択するために使用されます 。 atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} x {\displaystyle x} ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} Arctan ( y / x ) {\displaystyle \operatorname {Arctan} (y/x)}
atan2関数は 、ある点から別の点への方向を調べたり、 回転行列を オイラー角 に変換したりするなど 、 ユークリッド ベクトル が関係する多くのアプリケーションで役立ちます 。
atan2関数 は 現在、他の多くのプログラミング言語に組み込まれており、科学や工学の分野における数式でもよく使用されています。
引数の順序 1961 年、Fortran は 引数順序 を持つ atan2 関数を導入したため、 複素数の 引数 (位相角) は、これは、の正の値に対して となるように 書かれた分数の左から右への順序に従います。 ただし、これは複素数の従来の成分順序、 または座標としての順序とは逆です 。「定義と計算」のセクションを参照してください。 ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} arg z = atan2 ( Im z , Re z ) . {\displaystyle \operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (\operatorname {Im} z,\operatorname {Re} z).} y / x , {\displaystyle y/x,} atan2 ( y , x ) = atan ( y / x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {atan} (y/x)} x . {\displaystyle x.} z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,} ( Re z , Im z ) . {\displaystyle (\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z).}
他のプログラミング言語（§ 一般的なコンピュータ言語における関数の実現を参照）では、逆の順序が採用されています。例えば、 Microsoft Excel では OpenOffice Calc 、 Mathematica では 引数が1つの場合、デフォルトで引数が1つの逆正接関数 が使用されます。 Atan2 ( x , y ) , {\displaystyle \operatorname {Atan2} (x,\,y),} arctan2 ( x , y ) , {\displaystyle \operatorname {arctan2} (x,\,y),} ArcTan [ x , y ] , {\displaystyle \operatorname {ArcTan} [x,y],}
定義と計算 関数 atan2は 複素数 の 主 偏角 を計算します。これは 複素対数 の主値の虚数部でもあります 。つまり、 x + i y {\displaystyle x+iy} atan2 ( y , x ) = arg ( x + i y ) = Im log ( x + i y ) . {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {arg} (x+iy)=\operatorname {Im} \operatorname {log} (x+iy).}
2 π {\displaystyle 2\pi } の任意の整数倍 （原点の周りの完全な回転に相当）を追加すると、同じ複素数の別の引数が得られますが、主引数は区間 内 ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} の一意の代表角度として定義されます。
標準的な逆正接関数（その像は ） ( − 1 2 π , 1 2 π ) {\displaystyle {\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}} では、 atan2 は 区分的に次のように 表すことができます 。
atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) if x > 0 , arctan ( y x ) + π if x < 0 and y ≥ 0 , arctan ( y x ) − π if x < 0 and y < 0 , + π 2 if x = 0 and y > 0 , − π 2 if x = 0 and y < 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
半角度の正接は、座標x と y 、および半径 r で計算できます 。 接線の代わりに、半接線 を t = tan 1 2 θ {\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta } 角度の表現として 使用すると便利です。これは、角度 θ = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,\,x)} が一意の半接線を持つためです。 tan 1 2 θ = y x 2 + y 2 + x = x 2 + y 2 − x y ; {\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}\theta ={\frac {y}{\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}={\frac {\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\,;}
正接半角の公式 を参照してください。 分母に y {\displaystyle y} を含む式は、 x < 0 {\displaystyle x<0} および の場合に使用してください。これは、 y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} の計算で 有意性が失われる 可能性を避けるためです。atan2関数 が 利用できない場合は 、半正接 の逆正接の2倍として計算できます。つまり、 x 2 + y 2 + x {\displaystyle \textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x} t {\displaystyle t} atan2 ( y , x ) = 2 arctan ( y x 2 + y 2 + x ) = 2 arctan ( x 2 + y 2 − x y ) . {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)=2\arctan \left({\frac {\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right)\,.}
デリバティブ 関数 atan2 は2変数の関数であるため、2つの 偏微分を 持ちます。これらの微分が存在する点において、 atan2 は定数を除いて arctan( y / x ) に等しくなります。したがって、
∂ ∂ x atan2 ( y , x ) = ∂ ∂ x arctan ( y x ) = − y x 2 + y 2 , ∂ ∂ y atan2 ( y , x ) = ∂ ∂ y arctan ( y x ) = x x 2 + y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial x}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial y}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}} これら2つの偏微分は勾配 の座標です 。
関数 atan2を 角度関数 θ ( x , y )=atan2( y , x ) (定数までしか定義されない)として非公式に表すと、 全微分 について次の式が得られます。
d θ = ∂ ∂ x atan2 ( y , x ) d x + ∂ ∂ y atan2 ( y , x ) d y = − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \theta &={\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} y\\[5pt]&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}} 関数 atan2 は負の x 軸に沿って不連続であり、角度を連続的に定義できないという事実を反映しています。一方、この導関数は原点を除いて連続的に定義されており、角度の微小な（そして局所的な） 変化は 原点を除くあらゆる場所で定義できるという事実を反映しています。この導関数をパスに沿って積分すると、パス全体の角度の変化が得られ、閉ループに沿って積分すると、 回転数 が得られます。
微分幾何学 の言語では 、この微分は 1-形式 であり、 閉じ ている（その微分は0）が、 正確 ではない（0-形式、すなわち関数の微分ではない）ため、実際には 穴あき平面 の第一 ド・ラーム・コホモロジー を生成する。これはそのような形式の最も基本的な例であり、微分幾何学において基本的なものである。
atan2 の偏導関数には 三角関数が含まれていないため、三角関数の評価にコストがかかる多くのアプリケーション (組み込みシステムなど) で特に役立ちます。
イラスト 選択された光線のatan2 この図は、単位円にラベルを付けられた原点からの選択された直線に沿った atan2 の値を示しています。値はラジアン単位で円内に示されています。この図では、角度は直線に沿って 反 時計回りに0から右に向かって増加するという標準的な数学的慣習に従っています。引数の順序が逆になっていることに注意してください。関数 atan2( y , x )は、点 ( x , y ) に対応する角度を計算します 。
arctan関数 とatan2関数 の比較 この図は、 における と の 値を示しています 。両関数は奇関数であり、それぞれ周期 と を持つ周期関数 であるため、 の実数値の任意の領域に容易に追加できます。 における -関数 の 分岐 、および における -関数の分岐 が明確に確認できます 。 [3] arctan ( tan ( θ ) ) {\displaystyle \arctan(\tan(\theta ))} atan2 ( sin ( θ ) , cos ( θ ) ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (\sin(\theta ),\cos(\theta ))} 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } π {\displaystyle \pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } θ {\displaystyle \theta } atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} } θ = π {\displaystyle \theta =\pi } arctan {\displaystyle \arctan } θ ∈ { π 2 , 3 π 2 } {\displaystyle \theta \in \{{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {3\pi }{2}}\}}
下の2つの図は、それぞれ atan2( y , x ) と arctan( y / × ) を 平面の領域に投影します。atan2 ( y , x ) の場合、 原点から X / Y 平面に 放射される光線は一定値を持ちますが、 arctan( y / × ） X / Y 平面上の 原点を通る 直線 は 定数値を持ちます。x > 0 の場合、2つの図は同じ値を示します。
角度の和と差の等式 atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} } で計算される複数の角度の和または差は、それらを 複素数 として合成することによっても計算できます 。2つの座標ペア ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} と が与えられた場合、それらを複素数として扱い、それら ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} を掛け合わせると、正の x {\displaystyle x} 軸からの角度 が合成（および長さの乗算）されます。結果の角度 が ( x 1 + i y 1 ) ( x 2 + i y 2 ) = {\displaystyle (x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})={}} 内 にある限り、結果の角度は 1回 の 演算 ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( y 1 x 2 + x 1 y 2 ) {\displaystyle (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})} で求めることができます 。 atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} } ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
atan2 ( y 1 , x 1 ) ± atan2 ( y 2 , x 2 ) = atan2 ( y 1 x 2 ± x 1 y 2 , x 1 x 2 ∓ y 1 y 2 ) , {\displaystyle \operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})\pm \operatorname {atan2} (y_{2},x_{2})=\operatorname {atan2} (y_{1}x_{2}\pm x_{1}y_{2},x_{1}x_{2}\mp y_{1}y_{2}),} 2つ以上の座標ペアについても同様です。合成角度が負の x {\displaystyle x} 軸と交差する場合（つまり、範囲 ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} を超える場合）、交差回数を数え、最終結果に 2 π {\displaystyle 2\pi } の適切な整数倍を加算することで補正できます。
この差分式は、結果として得られる角度が常に の 範囲内にあるため、実際には 2 つの平面 ベクトル 間の角度を計算するために頻繁に使用されます 。 ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
東反時計回り、北時計回り、南時計回りなどの慣例。 この関数はもともと、純粋数学における 東反時計回りと 呼ばれる慣例のために設計されたものです 。しかしながら、実際の応用では、 北時計回り と 南時計回りの 慣例が標準であることが多いです。たとえば大気科学では、 風向は 風ベクトルの東と北の成分を引数とする関数 を使用して計算できます。 [4] 太陽 の方位角は、 太陽ベクトルの東と北の成分を引数として同様に計算できます。風向は通常、北時計回りの意味で定義され、太陽の方位角では北時計回りと南時計回りの両方の慣例が広く使用されています。 [5] これらの異なる慣例は、次のようにx引数とy引数の位置を交換して符号を変更することで実現できます。 a t a n 2 {\displaystyle \mathrm {atan2} } a t a n 2 {\displaystyle \mathrm {atan2} }
a t a n 2 ( y , x ) , {\displaystyle \mathrm {atan2} (y,\,x),\;\;\;\;\;} （東反時計回りの慣例） a t a n 2 ( x , y ) , {\displaystyle \mathrm {atan2} (x,\,y),\;\;\;\;\;} （北時計回りの慣例） a t a n 2 ( − x , − y ) {\displaystyle \mathrm {atan2} ({-x},\,{-y})} （南時計回りの慣例） たとえば、 および とする と 、東反時計回りの形式では 、北時計回りの形式では 、南時計回りの形式では となります 。 x 0 = 3 2 {\displaystyle x_{0}={\frac {\sqrt {3}}{2}}} y 0 = 1 2 {\displaystyle y_{0}={\frac {1}{2}}} a t a n 2 ( y 0 , x 0 ) ⋅ 180 π = 30 ∘ {\displaystyle \mathrm {atan2} (y_{0},x_{0})\cdot {\frac {180}{\pi }}=30^{\circ }} a t a n 2 ( x 0 , y 0 ) ⋅ 180 π = 60 ∘ {\displaystyle \mathrm {atan2} (x_{0},y_{0})\cdot {\frac {180}{\pi }}=60^{\circ }} a t a n 2 ( − x 0 , − y 0 ) ⋅ 180 π = − 120 ∘ {\displaystyle \mathrm {atan2} (-x_{0},-y_{0})\cdot {\frac {180}{\pi }}=-120^{\circ }}
x 引数および/または y 引数の符号を変更したり、それらの位置を入れ替えたりすると、関数の 8 つのバリエーションを作成できます。興味深いことに、これらは角度の 8 つの定義、つまり、 北、東、南、西の
4 つの 基本方向 のそれぞれから時計回りまたは反時計回りに対応します。 a t a n 2 {\displaystyle \mathrm {atan2} }
一般的なコンピュータ言語における関数の実現 関数の実現方法はコンピュータ言語によって異なります。
Microsoft Excel 、 [6] 、 OpenOffice.org Calc 、 LibreOffice Calc 、 [7] 、 Google Spreadsheets 、 [8] 、 iWork Numbers [9] では 、 2引数アークタンジェント関数の2つの引数は標準的な順序で存在します （上記の説明で使用した規則とは逆の順序です）。 ( Re , Im ) {\displaystyle (\operatorname {Re} ,\operatorname {Im} )} Mathematica では、 1つのパラメータを持つ 形式が通常の逆正接を与える場合に使用されます。Mathematica はこれを 不定式として分類します。 ArcTan[x ,y ]ArcTan[0,0]ほとんどの TI グラフ電卓 ( TI-85 と TI-86 を除く) では、同等の関数は R►Pθ と呼ばれ、引数 を持ちます 。 ( Re , Im ) {\displaystyle (\operatorname {Re} ,\operatorname {Im} )} TI-85 では arg 関数が呼び出され angle(x,y)、 2 つの引数を取るように見えますが、実際には 1 つの複素引数しかなく、これは 2 つの数値 x + iy = ( x , y ) で表されます。 この 規則は以下によって使用されます: ( Im , Re ) {\displaystyle (\operatorname {Im} ,\operatorname {Re} )}
C関数 atan2、および他のほとんどのコンピュータ実装は、直交座標から極座標への変換の手間を軽減するように設計されているため、常に が定義されています。 符号付きゼロ atan2(0, 0)のない実装、または正のゼロ引数が与えられた場合、通常は 0 として定義されます。 エラーが発生したり NaN (Not a Number) が返されたりするのではなく、常に [−π, π] の範囲の値を返し ます。 Common Lisp では オプションの引数が存在するため、関数はオプションで x 座標 atanを与えることができます 。 [10] (atan y x )Julia では 、状況はCommon Lispに似ています。 の代わりに atan2、言語には 1パラメータ形式と 2パラメータ形式があります atan。 [11] しかし、コンパイル時に積極的な最適化を可能にするために、2つより多くのメソッドがあります。 [12] Mathcadは 引数順序を使用します atan2(x, y)。 atan2(0, 0)は未定義です。 [13] 符号付きゼロ 、 無限大 、または 非数 （例えば IEEE浮動小数点 ）を実装するシステムでは、 y = −0のときに生成される値の範囲を−π および−0 まで拡張する適切な拡張を実装するのが一般的です 。これらの拡張は、NaNを返したり、NaN引数が与えられた場合に例外を発生させたりすることもあります。 Intel x86アーキテクチャの アセンブラコード では 、は （浮動小数点部分逆正接）命令 atan2として知られています。 [14] この命令は無限大を扱うことができ、結果は閉区間 [−π, π] 内にあります。例えば、有限の x に対して= + π /2となります 。特に、 両方の引数がゼロの場合、は次のように定義されます。 FPATANatan2(∞, x )FPATANatan2(+0, +0)= +0; atan2(+0, −0)= + π ; atan2(−0, +0)= −0; atan2(−0, −0)= − π 。 この定義は、符号付きゼロ の概念に関連しています 。 ソースコード以外の数学的な記述、例えば書籍や論文などでは、 Arctan [15] や Tan −1 [16] といった表記が用いられてきました。これらは 通常の arctan や tan −1 を大文字で表記したものです。この用法は 複素引数表記法と一致しており、 Atan( y , x ) = Arg( x + iy ) となります 。 HP 電卓では 、座標を複素数として扱い、 または を取り ます ARG。 << C->R ARG >> 'ATAN2' STO科学計算用電卓では、関数は多くの場合、( x 、 y )を 直交座標から 極座標 に 変換した ときに与えられる角度として計算されます 。 記号数学をサポートするシステムは通常、 atan2(0, 0) に対して未定義の値を返す か、異常な状態が発生したことを通知します。 netlib から入手できる無料の数学ライブラリ FDLIBM (Freely Distributable LIBM) には、 atan2さまざまな IEEE 例外値の処理を含め、 の実装方法を示すソース コードがあります。 ハードウェア乗算器を持たないシステムでは、関数 atan2は CORDIC 法によって数値的に信頼性の高い方法で実装できます 。したがって、 atan( y )の実装では、おそらく atan2( y , 1) を計算することが選択されるでしょう 。
参照
参考文献 ^ 「複素数の偏角」 （PDF） サンタクルーズ素粒子物理学研究所。2011年冬。 ^ Organick, Elliott I. (1966). A FORTRAN IV Primer . Addison-Wesley. p. 42. 一部のプロセッサでは、2つの引数（反対と隣接）を取るATAN2というライブラリ関数も提供されています。 ^ 「Wolf Jung: Mandel、複雑なダイナミクスのためのソフトウェア」 www.mndynamics.com . 2018年 4月20日 閲覧 。 ^ 「風向クイックリファレンス」NCAR UCAR地球観測研究所。 ^ Zhang, Taiping; Stackhouse, Paul W.; MacPherson, Bradley; Mikovitz, J. Colleen (2021). 「数学的厳密さを損なうことなく状況判断を不要にする太陽方位角公式：太陽直下点とatan2関数に基づく公式の数学的設定、適用、拡張」. Renewable Energy . 172 : 1333– 1340. Bibcode :2021REne..172.1333Z. doi : 10.1016/j.renene.2021.03.047 . S2CID 233631040. ^ 「Microsoft Excel Atan2メソッド」。Microsoft。2014年6月14日。 ^ 「LibreOffice Calc ATAN2」. Libreoffice.org. ^ 「関数と数式 – ドキュメントエディタ ヘルプ」 。support.google.com 。 ^ 「Numbersの三角関数リスト」Apple. ^ 「CLHS: 関数 ASIN、ACOS、ATAN」LispWorks。 ^ 「数学・Julia言語」. docs.julialang.org . ^ 「Julia言語に関するよくある質問」 。docs.julialang.org 。 ^ 「Mathcadヘルプ - 極角」。PTC。 ^ IA-32 Intel アーキテクチャ・ソフトウェア開発者マニュアル。第2A巻：命令セットリファレンス、AM、2004年。 ^ バーガー、ウィルヘルム、バーガー、マーク・J.（2010年7月7日）デジタル画像処理の原理：基礎技術、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、 ISBN 978-1-84800-191-6 2018年 4月20日 閲覧 – Googleブックス経由。 ^ グリッソン、ティルドン H. (2011年2月18日). 回路解析と設計入門. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 9789048194438 2018年 4月20日 閲覧 – Googleブックス経由。
外部リンク ATAN2オンライン計算機 Java 1.6 SE JavaDoc Everything2 のatan2 PIC18F用PicBasic Proソリューションatan2 atan2のその他の実装/コード 「2点間の方位」。2020年11月18日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2022年 2月21日 閲覧。 「アークタンと極座標」。2018年10月18日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2022年 2月21日 閲覧。 「『Arccos』って何？」2017年9月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年 2月21日 閲覧 。
注記
![{\displaystyle \operatorname {ArcTan} [x,y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460008aa254acc5278ba92e78826e648f747d881)
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)
![{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ かつ }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ かつ }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ}}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7104969b7dca1df7f408f75550b82731aef57dc)
.svg/1280px-The_principal_value_of_the_argument_(-atan2-_in_some_circles).svg.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial x}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)={\frac {\partial }{\partial y}}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5667ec2b3721b753e36169b4a2e7865a5fc19f24)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \theta &={\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} y\\[5pt]&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597be2d8f10864e4f2fd6c034658cd872e530376)
.svg){kind=link}
