自己同型群

Mathematical group formed from the automorphisms of an object

数学において、対象Xの自己同型群（じどうたいどうぐん）とは、射の合成のもとでXの自己同型から構成される群のことである。例えば、Xが有限次元ベクトル空間である場合、 Xの自己同型群はXからそれ自身への可逆な線型変換の群（Xの一般線型群）である。一方、 X が群 である場合、その自己同型群はXのすべての群自己同型から構成される群である。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

特に幾何学の文脈では、自己同型群は対称群とも呼ばれます。自己同型群の部分群は、変換群と呼ばれることもあります。

自己同型群はカテゴリー理論の分野で一般的に研究されています。

例

X が追加の構造を持たない集合である場合、 Xからそれ自身へのあらゆる全単射は自己同型であり、したがってこの場合のXの自己同型群はXの対称群と全く同じである。集合X が追加の構造を持つ場合、集合上のすべての全単射がこの構造を維持するとは限らない。その場合、自己同型群はX上の対称群の部分群となる。この例としては、以下のようなものがある。

• 体拡大 の自己同型群とは、 K を固定するLの体自己同型からなる群である。体拡大がガロアである場合、自己同型群は体拡大のガロア群と呼ばれる。 ${\displaystyle L/K}$
• 体k上の射影n空間の自己同型群は射影線型群である^[1] ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• n位の有限巡回群の自己同型群は、nを法とする整数の乗法群と同型であり、同型性は で与えられる。^[2]特に、はアーベル群である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$ ${\displaystyle G}$
• 有限次元実リー代数の自己同型群は（実） リー群の構造を持つ（実際には線型代数群でもある：下記参照）。Gがリー代数 を持つリー群である場合、 Gの自己同型群はの自己同型群上のリー群から誘導されるリー群の構造を持つ。^{[3] [4] [a]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

G が集合Xに作用する群である場合、その作用はGからXの自己同型群への群準同型に相当し、その逆も同様です。実際、集合Xへの各左G作用はを決定し、逆に、各準同型はによる作用を定義します。これは、集合X が単なる集合以上の構造を持つ場合にも当てはまります。たとえば、Xがベクトル空間である場合、GのXへの群作用は群Gの群表現であり、G をXの線型変換（自己同型）の群として表します。これらの表現は、表現論の分野における主要な研究対象です。 ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

自己同型群に関するその他の事実は次のとおりです。

• 同じ濃度の2つの有限集合と、全単射の集合とする。すると、 は対称群（上記参照）であり、 に左から自由に推移的に作用する。つまり、は のトルサーである（圏論参照）。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• P を環R上の有限生成 射影加群とする。すると、内部自己同型を除いて一意な埋め込みが存在する。^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

カテゴリー理論では

自己同型群は圏論において非常に自然に現れます。

X が圏の対象である場合、 Xの自己同型群とは、 Xからそれ自身への可逆な射のすべてからなる群である。これはXの自己準同型モノイドの単位群である。(例についてはPROP を参照。)

が何らかのカテゴリの対象である場合、すべての集合は左トルサー である。実際的には、これは の基点の異なる選択がの元によって明確に異なること、あるいは基点の各選択がトルサーの自明化の選択と全く同じであることを意味する。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

およびがカテゴリおよび内のオブジェクトであり、が にマッピングする関数である場合、 は可逆射を可逆射にマッピングするため、群準同型 を誘導します。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

特に、G が単一の対象 * を持つ圏として見た群である場合、あるいはより一般的には、 Gが群 である場合、各関手（圏C ）は、 Gの対象（あるいは対象 ）への作用あるいは表現と呼ばれます。これらの対象は-対象 （ によって作用されるため）と呼ばれます。-対象を参照してください。 が有限次元ベクトル空間の圏のような加群圏である場合、-対象は -加群とも呼ばれます。 ${\displaystyle F:G\to C}$ ${\displaystyle F(*)}$ ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

自己同型群関数

体k上の有限次元ベクトル空間を M とし、この空間に何らかの代数構造が備わっているものとする（つまり、Mはk上の有限次元代数である）。これは例えば結合代数やリー代数などである。 ${\displaystyle M}$

ここで、代数構造を保存するk線型写像 を考えてみましょう。これらはのベクトル部分空間を形成します。 の単位群は自己同型群です。M上の基底を選択すると、は正方行列の空間となり、はいくつかの多項式方程式の零点集合となり、可逆性は再び多項式で記述されます。したがって、はk上の線型代数群です。 ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

さて、上記の議論に基底拡張を適用すると、関手が決定される。^[6]すなわち、k上の各可換環 Rに対して、代数構造を保存するR -線型写像を考える。これを と表記する。すると、 R上の行列環の単位群は自己同型群であり、群関手となる。すなわち、 k上の可換環のカテゴリから群のカテゴリへの関手である。さらに、これはスキームで表される（自己同型群は多項式で定義されるため）。このスキームは自己同型群スキームと呼ばれ、 と表記される。 ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

ただし、一般に、自己同型群関数はスキームによって表現できない場合があります。

参照

• 外自己同型群
• レベル構造、自己同型群を除去する手法
• ホロノミー群

注記

1. まず、 Gが単連結であれば、 Gの自己同型群はの自己同型群である。次に、すべての連結リー群は の形をとり、 は単連結リー群、 Cは中心部分群であり、 Gの自己同型群はC を保存するの自己同型群である。最後に、慣例により、リー群は第二可算であり、最大で可算個の連結成分を持つ。したがって、一般的な場合は連結の場合に帰着する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}/C}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

引用

1. Hartshorne 1977、第II章、例7.1.1。
2. Dummit & Foote 2004, § 2.3. 演習26.
3. Hochschild, G. (1952). 「リー群の自己同型群」.アメリカ数学会誌. 72 (2): 209– 216. doi :10.2307/1990752. JSTOR  1990752.
4. Fulton & Harris 1991、演習8.28。
5. ミルナー 1971、補題3.2。
6. ウォーターハウス 2012、§7.6。

参考文献

• ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数（第3版）』Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7。
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991).表現論 入門.数学大学院テキスト, 数学読本. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• ミルナー、ジョン・ウィラード(1971). 代数的K理論入門. Annals of Mathematics Studies. 第72巻. プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. ISBN 9780691081014. MR  0349811. Zbl  0237.18005.
• ウォーターハウス、ウィリアム・C. (2012) [1979]. アフィン群スキーム入門. 大学院数学テキスト. 第66巻. シュプリンガー出版. ISBN 9781461262176。

外部リンク

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme

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