算術関数の平均次数

数論において、算術関数の平均順序とは、「平均して」同じ値を取る、より単純で理解しやすい関数のことです。

を算術関数とする。が無限大に近づくとき、の平均位数は であると言える。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$ ${\displaystyle x}$

連続かつ単調な近似関数を選択するのが一般的です。しかし、平均順序は当然ながら一意ではありません。 ${\displaystyle g}$

制限が $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}f(n)=c}$$

が存在する場合、 は平均値（平均値）を持つと言われます。さらに定数がゼロでない場合、定数関数はの平均次数です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(x)=c}$ ${\displaystyle f}$

例

• nの約数の個数d ( n )の平均位数はlog nです。
• nの約数の合計であるσ ( n )の平均位数はn π ²  /  6です。
• nのオイラーのトーシェント関数φ ( n )の平均次数は6 n  /  π ²である。
• n を2 つの平方の和として表す方法の数であるr ( n )の平均次数はπです。
• 自然数を3つの平方数の和として表現する平均順序は4π n  /  3です。
• 自然数を 1 つ以上の連続する素数の和に分解する平均回数はn log2です。
• nの異なる素因数の数であるω ( n )の平均位数はloglog nである。
• nの素因数の数であるΩ ( n )の平均位数はloglog nです。
• 素数定理は、フォン・マンゴルト関数 Λ( n )の平均値が 1 であるという主張と同等です。
• メビウス関数μ ( n )の平均値はゼロです。これも素数定理と等価です。

ディリクレ級数を用いた平均値の計算

が何らかの算術関数の形である場合、 ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),}$$ ${\displaystyle f(n)}$

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}F(n)=\sum _{d\leq x}f(d)\sum _{n\leq x,d\mid n}1=\sum _{d\leq x}f(d)[x/d]=x\sum _{d\leq x}{\frac {f(d)}{d}}{\text{ }}+O{\left(\sum _{d\leq x}|f(d)|\right)}.}$$

1

前の形式の一般化された恒等式はここにあります。この恒等式は、リーマンゼータ関数を用いて平均値を計算する実用的な方法となることがよくあります。これは次の例で示されています。

の密度はけ^番目ℕにおける -べき乗のない整数

整数に対して、k^乗の自由整数の集合は ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle Q_{k}}$ $${\displaystyle Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ is not divisible by }}d^{k}{\text{ for any integer }}d\geq 2\}.}$$

これらの数の ℕ における自然密度、つまり の平均値( と表記) をゼータ関数の観点から計算します。 ${\displaystyle 1_{Q_{k}}}$ ${\displaystyle \delta (n)}$

この関数は乗法関数であり、1で有界なので、そのディリクレ級数は半平面上で絶対収束し、オイラー積は ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ $${\displaystyle \sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.}$$

メビウスの反転公式により、 はメビウス関数を表す。同様に、はであり、したがって、 $${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}\mu (n)n^{-ks},}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}f(n)n^{-s},}$$ ${\displaystyle f(n)={\begin{cases}\mu (d)&n=d^{k}\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$ $${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}=\sum _{n}\left(\sum _{d\mid n}f(d)\right)n^{-s}.}$$

係数を比較すると、 $${\displaystyle \delta (n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

（１）を用いると、 $${\displaystyle \sum _{d\leq x}\delta (d)=x\sum _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).}$$

結論として、メビウスの反転公式から得られる関係を使用しました 。 $${\displaystyle \sum _{\stackrel {n\in Q_{k}}{n\leq x}}1={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),}$$ $${\displaystyle \sum _{n}(f(n)/n)=\sum _{n}f(n^{k})n^{-k}=\sum _{n}\mu (n)n^{-k}={\frac {1}{\zeta (k)}},}$$

特に、平方自由整数の密度は です。 ${\textstyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

格子点の可視性

2 つの格子点を結ぶ開いた線分上に格子点が存在しない場合は、それらの格子点が互いに見えると言えます。

ここで、gcd( a , b ) = d > 1の場合、a = da ²、b = db ²と書くと、点 ( a ² , b ^{2 ) は (0, 0) と (} a , b )を結ぶ線分上にあるため、原点から ( a , b ) は見えないことがわかります。したがって、原点から( a , b )が見えるということは、 ( a , b ) = 1 であることを意味します。逆に、 gcd( a , b ) = 1 であるということは、 (0, 0) と ( a , b )を結ぶ線分に他の整数格子点が存在しないことを意味することも簡単にわかります。したがって、 gcd( a , b ) = 1 の場合に限り、( a , b ) は (0, 0) から見えます。

は正方形上のランダムな点が原点から見える確率であることに注意してください。 ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$ ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}}$

したがって、原点から見える点の自然密度は平均で与えられることが示せる。 $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.}$$

${\textstyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$は、ℕにおける平方自由数の自然密度でもある。実は、これは偶然ではない。k次元格子を考えてみよう。原点から見える点の自然密度は であり、これはℕにおけるk番目の自由整数の自然密度でもある。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\zeta (k)}}}$

除数関数

の一般化を考えてみましょう: ${\displaystyle d(n)}$ $${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }.}$$

以下は真です:ここで。 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\alpha >0,\alpha \neq 1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{1}(n)={\frac {\zeta (2)}{2}}x^{2}+O(x\log x)&{\text{if }}\alpha =1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if }}\alpha =-1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\max(0,1+\alpha )})&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \beta =\max(1,\alpha )}$

平均注文の改善

この概念は例を用いて説明するのが最も適切です。 （はオイラー・マスケローニ定数）であり、 から漸近関係が成り立ちます。 これは、 の平均位数として、 を単に とした場合よりも、の方がより適切な選択であることを示唆しています。 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+o(x)}$$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),}$$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}(d(n)-(\log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\to \infty ),}$$ ${\displaystyle \log n+2\gamma }$ ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle \log n}$

平均値F _q [ x ]

意味

h ( x )をF _q上のモニック多項式全体の関数とする。 ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{ monic}},\deg(f)=n}h(f).}$$

これは、 n次のモニック多項式集合におけるhの平均値（平均値）です。nが無限大に近づくとき、 g ( n )はhの平均位数であるといいます。 $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)}$$

極限が存在する場合 、 h は平均値cを持つと言われています。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c}$$

ゼータ関数とディリクレ級数F _q [X]

F _q [ X ] = Aを有限体F _q上の多項式環とする。

h を多項式算術関数（すなわちA上の単項多項式全体の集合上の関数）とする。対応するディリクレ級数は と定義され、の場合は 、の場合は、それ以外の場合は となる。 $${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$ ${\displaystyle g\in A}$ ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ${\displaystyle g\neq 0}$ ${\displaystyle |g|=0}$

多項式ゼータ関数は $${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

Nの場合と同様に、乗法関数 hのすべてのディリクレ級数には積表現 (オイラー積) があります。ここで、積はすべてのモニック既約多項式Pにわたって実行されます。 $${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})\left|P\right|^{-sn}\right),}$$

たとえば、ゼータ関数の積表現は整数の場合次のようになります。 ${\textstyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}\left(1-\left|P\right|^{-s}\right)^{-1}}$

古典的なゼータ関数とは異なり、は単純な有理関数です。 ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$ $${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}(|f|^{-s})=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

同様に、fとg が2つの多項式算術関数である場合、fとgのディリクレ畳み込みf  *  gを次のように定義します。ここで 、和はmの すべてのモニック因子dに渡って適用されます。あるいは、積がmとなるすべてのモニック多項式ペア ( a , b ) に渡って適用されます。このとき、恒等式は依然として成立します。したがって、初等理論と同様に、多項式ディリクレ級数とゼータ関数は、多項式における平均値の概念と関連があります。以下の例でそれを示します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

例

の密度はけの -乗自由多項式F _q [X]

k乗が自由な場合は 1 に、そうでない場合は 0に定義します。 ${\displaystyle \delta (f)}$ ${\displaystyle f}$

整数の場合と同じ方法で、 F _q [X]のk乗自由多項式の密度である の平均値を計算します。 ${\displaystyle \delta }$

の乗法により： ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}\left(\sum _{j=0}^{k-1}(|P|^{-js})\right)=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}}$$

n次のk乗モニック多項式の個数を表すと、 ${\displaystyle b_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\sum _{n}\sum _{{\text{def}}f=n}\delta (f)|f|^{-s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.}$$

置き換えてみると次のようになります。 ${\displaystyle u=q^{-s}}$ $${\displaystyle {\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}u^{n}.}$$

最後に、左辺を等比級数展開し、両辺の係数を比較すると、 ${\displaystyle u^{n}}$ $${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}q^{n}&n\leq k-1\\q^{n}(1-q^{1-k})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\frac {1}{\zeta _{A}(k)}}}$$

また、これはnに依存しないので、の平均値でもあります。 ${\displaystyle \delta (f)}$

多項式除数関数

F _q [X]において、次のように定義する。 $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=\sum _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.}$$

を計算します。 ${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

まず、およびであることに注目してください。 $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)}$$ ${\displaystyle h(f)=|f|^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}}$

したがって、 $${\displaystyle \sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\sum _{m}h(m)|m|^{-s}.}$$

置換すると、コーシー積により、 ${\displaystyle q^{-s}=u}$ $${\displaystyle {\text{LHS}}=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m)\right)u^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}h(m)\right)u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}\left(\sum _{j=0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j}\right)\\&=\sum _{n}\left(q^{n}\left({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}\right)\right)u^{n}.\end{aligned}}}$$

ついにそれが分かりました $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.}$$

注意してください $${\displaystyle q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}\left({\frac {1-q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}}\right)=q^{n(k+1)}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$

したがって、 と設定すると、上記の結果は次のようになり、これは整数の類似の結果に似ています。 ${\displaystyle x=q^{n}}$ $${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n)={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})}$$

約数の数

をfのモニック約数の個数とし、をn 次モニック全体の合計とします。ここで。 ${\displaystyle d(f)}$ ${\displaystyle D(n)}$ ${\displaystyle d(f)}$ $${\displaystyle \zeta _{A}(s)^{2}=\left(\sum _{h}|h|^{-s}\right)\left(\sum _{g}|g|^{-s}\right)=\sum _{f}\left(\sum _{hg=f}1\right)|f|^{-s}=\sum _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }D(n)u^{n}}$$ ${\displaystyle u=q^{-s}}$

右辺をべき級数に展開すると、 $${\displaystyle D(n)=(n+1)q^{n}.}$$

上記の式を代入すると次のようになります。これは整数（ はオイラー定数 ）の類似の結果とほぼ同じです。 ${\displaystyle x=q^{n}}$ $${\displaystyle D(n)=x\log _{q}(x)+x}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$ ${\displaystyle \gamma }$

整数の誤差項についてはあまり知られていないが、多項式の場合は誤差項は存在しない。これはゼータ関数が非常に単純であり、零点を持たないためである。 ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

多項式フォン・マンゴルト関数

多項式フォン・マンゴルト関数は次のように定義されます: ここで、対数はqに基づいて取られます。 $${\displaystyle \Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\text{if }}f=|P|^{k}{\text{ for some prime monic}}P{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

命題。の平均値はちょうど1です。 ${\displaystyle \Lambda _{A}}$

証明m を単項多項式 とし、 をmの素分解とします。 ${\textstyle m=\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$

我々は持っています、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{l})|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}\left(\prod _{j=1}^{l}P_{j}^{i_{j}}\right)=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})\\&=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\sum _{j=1}^{l}e_{j}\log |P_{j}|=\sum _{j=1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}\\&=\log \left|\left(\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}\right)\right|\\&=\log(m)\end{aligned}}}$$

したがって、 $${\displaystyle \mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|}$$ $${\displaystyle \zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\sum _{m}\log \left|m\right|\left|m\right|^{-s}.}$$

今、 $${\displaystyle \sum _{m}|m|^{s}=\sum _{n}\sum _{\deg m=n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n(1-s)}.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log \left|f\right|\left|f\right|^{-s}.}$$

わかりました: $${\displaystyle D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}}$$

今、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}&=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm}\right)=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)\right)u^{n}\\&={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}\log(q)}{1-q^{1-s}}}\\&=\log(q)\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}u^{n}\end{aligned}}}$$

したがって、 それを割ると、 $${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),}$$ ${\displaystyle q^{n}}$ $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.}$$

多項式オイラートーシェント関数

オイラーのトーシェント関数の多項式類似体である を群 の要素数として定義する。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (A/fA)^{*}}$ $${\displaystyle \sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).}$$

参照

• 除数合計関数
• 算術関数の通常の順序
• 算術関数の極値階数
• 約数の和の恒等式

参考文献

• ハーディ, GH ;ライト, EM (2008) [1938]. 『数論入門』 . D.R. ヒース＝ブラウンとJ.H. シルバーマンによる改訂.アンドリュー・ワイルズによる序文. (第6版). オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-921986-5. MR  2445243. Zbl  1159.11001. 347～360ページ
• ジェラルド・テネンバウム (1995). 『解析的および確率的数論入門』 . ケンブリッジ高等数学研究. 第46巻.ケンブリッジ大学出版局. pp.  36– 55. ISBN 0-521-41261-7. Zbl  0831.11001。
• トム・M・アポストル（1976年）『解析的数論入門』、シュプリンガー数学学部テキスト、ISBN 0-387-90163-9
• マイケル・ローゼン（2000）『関数体における数論』、Springer Graduate Texts In Mathematics、ISBN 0-387-95335-3
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2006年）、乗法数論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521849036
• Michael Baakea、Robert V. Moodyb、Peter AB Pleasantsc (2000)、可視格子点とk乗自由整数からの回折、離散数学ジャーナル

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