エンベロープ（波）

Smooth curve outlining the extremes of an oscillating signal

変調された正弦波のエンベロープ。

物理学と工学において、振動信号の包絡線は、その極限を示す滑らかな曲線です。^[1]包絡線は、一定振幅の概念を瞬間振幅へと一般化したものです。図は、上限包絡線と下限包絡線の間で変化する変調正弦波を示しています。包絡線関数は、時間、空間、角度、あるいは任意の変数の関数となる可能性があります。

打ち寄せる波の中で

空間xと時間tの両方で包絡線関数が生じる一般的な状況は、ほぼ同じ波長と周波数の2つの波の重ね合わせである。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

これは、2つの正弦波の加算に対する三角関数の公式と、近似値 Δ λ  ≪  λを使用している。

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

同じ振幅とほぼ同じ波長および周波数の 2 つの正弦波を追加することによって生成される変調波。

ここで変調波長 λmod_は次式で与えられる: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

それで

${\displaystyle F_{\rm {mod}}(x,t)=2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-f_{\rm {mod}}\ t\right)\right],}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }},f_{\rm {mod}}=\Delta f}$

変調波長は包絡線自体の波長の2倍です。これは、変調コサイン波の各半波長が、変調正弦波の正負両方の値を支配するためです。同様に、ビート周波数は包絡線周波数の2倍、つまり変調波の2倍、つまり2Δ fです。^[4]

この波が音波である場合、耳はfに関連付けられた周波数を聞き、この音の振幅はビート周波数に応じて変化します。^[4]

位相と群速度

赤い四角は位相速度とともに動き、緑の円は群速度とともに伝播します。

上記の正弦波の引数は、係数 2 πを除いて次のとおりです。

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

ここで、添え字のCとEはそれぞれ搬送波と包絡線を表します。波の振幅F は同じであり、 ξ _Cと ξ _{Eの値が同じであれば、波の振幅}Fは同じになります。これらの値はそれぞれ、xとtの値が異なっていても、適切に関連していれば、同じ値に戻る可能性があります。この不変性は、これらの波形を空間的に追跡することで、振幅が一定である位置の時間伝播速度を求めることができることを意味します。搬送波の偏角が一定であるための条件は次のとおりです。

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

これは、振幅を一定に保つために、距離Δ x は時間間隔Δ tと、いわゆる位相速度 v _{pによって関係していることを示しています。}

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

一方、同様の考察から、エンベロープはいわゆる群速度 v _gで伝播することが示される。^[5]

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

群速度のより一般的な表現は、波数ベクトル kを導入することによって得られます。

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

小さな変化 Δ λの場合、それに対応する波数ベクトルの小さな変化の大きさ、例えば Δ kは次のようになることがわかります。

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

したがって、群速度は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

ここで、ωはラジアン/秒単位の周波数です：ω = 2 π f 。すべての媒質において、周波数と波数ベクトルは分散関係、ω = ω ( k )によって関連しており、群速度は次のように表されます。

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

GaAsの格子振動に対応するいくつかの波に対する分散関係ω=ω( k )。 ^[6]

古典真空のような媒体では、電磁波の分散関係は次のようになります。

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

ここで、 c _{0は古典真空中の}光速です。この場合、位相速度と群速度はどちらもc ₀です。

いわゆる分散媒質においては、分散関係は波数ベクトルの複雑な関数となる場合があり、位相速度と群速度は等しくない。例えば、GaAs中の原子振動（フォノン）が示すいくつかの種類の波について、波数ベクトルkの様々な方向に対する分散関係を図に示す。一般的な場合、位相速度と群速度は異なる方向をとることがある。^[7]

関数近似において

GaAs- GaAlAs ヘテロ構造の160Å GaAs量子井戸の最低2つの量子状態における電子確率をエンベロープ関数から計算した値。^[8]

凝縮物質物理学では、結晶中の移動電荷キャリアのエネルギー固有関数はブロッホ波として表すことができます。

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

ここで、nはバンドのインデックス（例えば伝導帯または価電子帯）、rは空間位置、kは波動ベクトルです。指数関数は正弦関数であり、波動関数 u _nの急激に変化する部分を変調する緩やかに変化する包絡線に対応します_。kは格子原子の核に近い波動関数の挙動を記述します。包絡線は結晶のブリルアンゾーンによって制限される範囲内のk値に制限され、これにより位置rに応じて包絡線がどれだけ速く変化できるかが制限されます。

量子力学を用いてキャリアの挙動を決定する際には、シュレーディンガー方程式をエンベロープの挙動のみを参照するように簡略化し、境界条件を完全な波動関数ではなくエンベロープ関数に直接適用するエンベロープ近似が通常使用される。[ 9 ^]例えば、不純物の近くに閉じ込められたキャリアの波動関数は、ブロッホ関数の重ね合わせを支配するエンベロープ関数Fによって支配される。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

ここで、包絡線F ( k )のフーリエ成分は 近似シュレーディンガー方程式から求められる。^[10]いくつかの応用では、周期成分uk_はバンド端近くの値、例えばk = k0に置き換えられ、次のように表される。_[ ^9]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

回折パターン

二重スリットの回折パターンには単一スリットのエンベロープがあります。

複数のスリットからの回折パターンの包絡線は、単一のスリットからの回折パターンによって決定されます。単一のスリットの場合、回折パターンは次のように表されます: ^[11]

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

ここで、αは回折角、dはスリット幅、λは波長である。スリットが複数ある場合、パターンは^{[11]となる。}

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

ここで、 qはスリットの数、gは格子定数です。最初の要因である単一スリットの結果I _{1 は}、スリットの数と間隔に依存する、より急速に変化する2番目の要因を変調します。

推定

エンベロープ検出器は、アナログ信号からエンベロープを抽出しようとする回路です。

デジタル信号処理では、ヒルベルト変換または移動 RMS振幅を用いて包絡線を推定することができる。^[12]

参照

• 解析信号 § 複素エンベロープ/ベースバンド
• 経験的モード分解
• 封筒（数学）
• 封筒追跡
• 瞬間位相
• 変調
• 振動の数学
• ピークエンベロープパワー
• スペクトルエンベロープ

参考文献

1. C. Richard Johnson, Jr.、William A. Sethares、Andrew G. Klein (2011). 「図C.1: 関数の包絡線は、その極限を滑らかに描き出す」. 『ソフトウェア受信機設計：5つの簡単なステップでデジタル通信システムを構築』 . Cambridge University Press. p. 417. ISBN 978-0521189446。
2. Blair Kinsman (2002). Wind Waves: Their Generation and Propagation on the Ocean Surface (Reprint of Prentice-Hall 1965 ed.). Courier Dover Publications . p. 186. ISBN 0486495116。
3. マーク・W・デニー（1993年）『空気と水：生命の媒体の生物学と物理学』プリンストン大学出版局、289頁。ISBN 0691025185。
4. Paul Allen Tipler; Gene Mosca (2008). Physics for Scientists and Engineers, Volume 1 (6th ed.). Macmillan. p. 538. ISBN 978-1429201247。
5. Peter W. Milonni、Joseph H. Eberly (2010). 「§8.3 群速度」.レーザー物理学（第2版）. John Wiley & Sons . p. 336. ISBN 978-0470387719。
6. Peter Y. Yu; Manuel Cardona (2010). 「図3.2: GaAsにおける高対称軸に沿ったフォノン分散曲線」『半導体の基礎：物理と材料特性』（第4版）Springer. p. 111. ISBN 978-3642007095。
7. V. Cerveny; Vlastislav Červený (2005). 「§2.2.9 位相速度ベクトルと群速度ベクトルの関係」.地震線理論.ケンブリッジ大学出版局. p. 35. ISBN 0521018226。
8. G Bastard、JA Brum、R Ferreira (1991). 「半導体ヘテロ構造の電子状態における図10」ヘンリー・エーレンライヒ、デイヴィッド・ターンブル編『固体物理学：半導体ヘテロ構造とナノ構造』Academic Press、p. 259. ISBN 0126077444。
9. Christian Schüller (2006). 「§2.4.1 包絡関数近似 (EFA)」.半導体ナノ構造の非弾性光散乱：基礎と最近の進歩. Springer. p. 22. ISBN 3540365257。
10. 例えば、Marco Fanciulli (2009)「§1.1 包絡関数近似」を参照。低次元構造における電子スピン共鳴と関連現象。Springer。224頁以降。ISBN 978-3540793649。
11. Kordt Griepenkerl (2002). 「スリットによる回折の強度分布と格子による回折の強度パターン」John W Harris、Walter Benenson、Horst Stöcker、Holger Lutz（編）『物理学ハンドブック』Springer、306頁以降。ISBN 0387952691。
12. 「エンベロープ抽出 - MATLAB & Simulink」. MathWorks . 2021年9月2日. 2021年11月16日閲覧。

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