Strain caused by an external load
Ɪ梁の曲げ 応用力学 において 、 曲げ（ たわみ とも呼ばれる）は、細長い 構造 要素の長手方向軸に垂直に 外部 荷重 が加わったときの挙動を特徴づけます
構造要素は、少なくとも 1 つの寸法が他の 2 つの寸法のごく一部、通常は 1/10 以下であると想定されます。 [1] 長さが幅や厚さよりもかなり長い場合、その要素は 梁 と呼ばれます。たとえば、 洋服ハンガー に掛けた衣服の重みで たわむ クローゼットの 棒 は、曲げを受ける梁の例です。一方、 シェルは 、長さと幅が同じ桁であるが、構造の厚さ (「壁」と呼ばれる) が大幅に小さい、任意の幾何学的形状の構造です。直径は大きいが壁が薄く、短いチューブで、両端で支えられ、横方向に荷重がかかるものは、曲げを受けるシェルの例です。
修飾語がない場合、 「曲げ」 という用語は曖昧です。なぜなら、曲げはあらゆる物体において局所的に発生する可能性があるからです。したがって、この用語の使用をより正確にするために、エンジニアは、 棒の曲げ [2] 、 梁の曲げ [ 1 ] 、 板の曲げ [ 3] 、 シェルの曲げ [ 2] など、特定の物体を指します。
梁の準静的曲げ 梁に横方向の荷重が加わると、梁は変形し、内部に応力が発生します。準静的な場合、曲げたわみの 量 と発生する応力は時間の経過とともに変化しないと仮定されます。端部で支持され、中央から下向きに荷重がかかった水平梁では、梁の上側の材料は圧縮され、下側の材料は伸張します。横方向の荷重によって引き起こされる内部応力には、2つの形態があります。
これらの最後の2つの力は、 大きさが等しく方向が反対であるため、 偶力 または モーメントを形成します。この 曲げモーメントは、 曲げを受ける梁のたわみ変形特性に抵抗します。いくつかの単純化された仮定を使用すると、梁内の応力分布を非常に正確に予測できます。 [1]
オイラー・ベルヌーイ曲げ理論 曲げ梁の要素：繊維は同心円弧を形成し、上部の繊維は圧縮され、下部の繊維は伸張されます。 梁の曲げモーメント 細長い梁のオイラー・ベルヌーイ理論 では 、「平面断面は平面のままである」という主要な仮定があります。言い換えれば、断面を横切るせん断による変形は考慮されません（せん断変形なし）。また、この線形分布は、最大応力が 材料の 降伏応力よりも小さい場合にのみ適用されます。降伏応力を超える応力については、 塑性曲げの 記事を参照してください。降伏時、断面（ 梁の 中立軸から最も遠い点）で発生する最大応力は、 曲げ強度 として定義されます。
以下が当てはまる梁を考えてみましょう。
梁は元々直線で細長く、テーパーはわずかです。 材料は等方性（または 直交異方性 ）、 線形弾性 、および任意 の断面（必ずしも長さ方向ではない）にわたって 均質です。 小さなたわみのみが考慮されています この場合、梁のたわみ（）を記述する方程式は 次のように近似できます。 w {\displaystyle w}
d 2 w ( x ) d x 2 = M ( x ) E ( x ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}} ここで、たわんだ形状の2次導関数は 曲率、 はヤング率、は断面2 次モーメント 、 は梁の 内部 曲げモーメントと解釈されます 。 x {\displaystyle x} E {\displaystyle E} I {\displaystyle I} M {\displaystyle M}
さらに、梁がその長さに沿って 均質 で、先細りになっていない（つまり、断面積が一定）場合、横方向の荷重が加わるとたわむと 、次の式が成り立ちます。 [1] q ( x ) {\displaystyle q(x)}
E I d 4 w ( x ) d x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)} これは梁の曲げに関するオイラー・ベルヌーイの方程式です。
梁の変位の解が得られた後、梁の曲げモーメント（ ）とせん断力（ ）は、次の関係を 計算できます
。 M {\displaystyle M} Q {\displaystyle Q}
M ( x ) = − E I d 2 w d x 2 ; Q ( x ) = d M d x . {\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.} 単純な梁の曲げは、オイラー・ベルヌーイの梁方程式を用いて解析されることがよくあります。単純な曲げ理論を使用するための条件は次のとおりです。 [4]
梁は純粋な曲げ を受ける。これは、 せん断力が ゼロであり、ねじり荷重や軸方向荷重が存在しないこと を意味します 材料は 等方性 （または 直交異方性 ）かつ 均質 です 材料は フックの法則 に従います（線形弾性であり、塑性変形しません）。 梁は最初は直線で、断面は梁の長さ全体にわたって一定です。 梁は曲げ面に対称軸を持ちます 梁の比率は、潰れ、しわ、または横方向の 座 屈ではなく、曲げによって破損するように設計されています。 梁の断面は、曲げの間も平面のままです。 対称的に曲げられた梁のたわみと重ね合わせの原理 曲げ荷重を受けると、梁の軸方向に圧縮力と引張力が生じます。これらの力は梁に 応力を 生じさせます。最大圧縮応力は梁の最上端に見られ、最大引張応力は梁の下端にあります。これらの2つの反対の最大値間の応力は 直線的に 変化するため、それらの間の直線経路上には曲げ応力がない点が存在します。これらの点の 軌跡 が中立軸です。この応力のない領域と隣接する低応力領域があるため、均一断面の梁を曲げに使用することは、梁が崩壊寸前になるまで梁の全容量を使用しないため、荷重を支える特に効率的な手段ではありません。広幅フランジ梁（ Ɪ梁 ）と トラス 桁は 、この応力不足領域の材料量を最小限に抑えるため、この非効率性を効果的に解決します。
単純曲げを受ける梁の曲げ応力を決定するための古典的な式は次のとおりです。 [5]
σ x = M z y I z = M z W z {\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}} ここで
σ x {\displaystyle {\sigma _{x}}} は曲げ応力です M z {\displaystyle M_{z}} – 中立軸周り y {\displaystyle y} – 中立軸への垂直距離 I z {\displaystyle I_{z}} – 中立軸 z周りの 断面二次モーメント W z {\displaystyle W_{z}} – 中立軸周りの抵抗モーメント W z = I z / y {\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}
オイラー・ベルヌーイ梁曲げ理論の拡張
塑性曲げ この式は 、 端繊維（つまり、梁の中立軸から最も遠い部分）の応力が、梁を構成する材料の 降伏応力 を下回る場合にのみ有効です。荷重が高くなると、応力分布は非線形になり、延性材料は最終的に 塑性ヒンジ 状態になります。この塑性ヒンジ状態において、応力の大きさは梁のあらゆる場所で降伏応力に等しくなり、中立軸で不連続となり、応力が引張から圧縮に変化します。この 塑性ヒンジ 状態は、通常、鉄骨構造の設計における 限界状態 として使用されます σ = M y I x {\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}
複雑な曲げまたは非対称曲げ 上記の式は、断面が対称である場合にのみ有効です。非対称断面を持つ均質な梁の場合、梁の最大曲げ応力は次のように表されます。
σ x ( y , z ) = − M z I y + M y I y z I y I z − I y z 2 y + M y I z + M z I y z I y I z − I y z 2 z {\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z} [6] ここで 、右に示すように、応力を決定する断面上の点の座標、 y 軸とz 軸の 重心軸周りの曲げモーメント、 y軸とz軸の周りの 断面 二次モーメント（断面2次モーメントとは異なる）、断面モーメント の積 です 。この式を使用すると、モーメントの向きや断面形状に関係なく、梁断面上の任意の点で曲げ応力を計算できます。断面上の ある点から別の点では変化しないことに注意してください。 y , z {\displaystyle y,z} M y {\displaystyle M_{y}} M z {\displaystyle M_{z}} I y {\displaystyle I_{y}} I z {\displaystyle I_{z}} I y z {\displaystyle I_{yz}} M y , M z , I y , I z , I y z {\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}
物体の大変形の場合、断面の応力はこの式の拡張版を使用して計算されます。まず、以下の仮定を立てる必要があります。
平坦断面の仮定 - 変形前後で、物体の考慮されている断面は平坦なままです（つまり、渦巻き状になっていません）。 この断面における、断面の法線ベクトルに垂直なせん断応力と法線応力は、この断面に平行な法線応力には影響しません 曲げ半径が断面高さhの10倍より小さい 場合は、大きな曲げを考慮する必要があります。 ρ {\displaystyle \rho }
ρ < 10 h . {\displaystyle \rho <10h.} これらの仮定に基づくと、大きな曲げにおける応力は次のように計算されます。
σ = F A + M ρ A + M I x ′ y ρ ρ + y {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}} ここで
F {\displaystyle F} は法線 力 A {\displaystyle A} は断 面積 M {\displaystyle M} は曲げモーメント ρ {\displaystyle \rho } は局所曲げ半径（現在の断面における曲げ半径） I x ′ {\displaystyle {{I_{x}}'}} は、場所における x 軸 に沿った断面モーメント （ シュタイナーの定理を 参照） y {\displaystyle y} y {\displaystyle y} は、応力が計算される断面積上の y 軸に沿った位置です 。 σ {\displaystyle \sigma } 曲げ半径が 無限大に近づき、の場合 、元の式に戻ります。 ρ {\displaystyle \rho } y ≪ ρ {\displaystyle y\ll \rho }
σ = F A ± M y I {\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}} 。
ティモシェンコ曲げ理論 ティモシェンコ梁の変形。法線は、に等しくない 量だけ回転します 。 θ {\displaystyle \theta } d w / d x {\displaystyle dw/dx} 1921年、 ティモシェンコは 梁の方程式にせん断の影響を加えることで、オイラー・ベルヌーイの梁の理論を改良しました。ティモシェンコ理論の運動学的仮定は次のとおりです。
梁の軸に対する法線は、変形後も直線のままである 変形後、梁の厚さは変化しない しかし、軸に対する法線は、変形後も軸に対して垂直の
これらの仮定に基づく、一定断面の線形弾性、等方性、均質な梁の準静的曲げの方程式は[7]です。
E I d 4 w d x 4 = q ( x ) − E I k A G d 2 q d x 2 {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}} ここ で 、 は断面の断面 モーメント、は断 面積、はせん断弾性係数 、 は せん断補正係数 、は印加横荷重です。 ポアソン比 （ ） が0.3に近い材料の場合 、長方形断面のせん断補正係数はおよそ I {\displaystyle I} A {\displaystyle A} G {\displaystyle G} k {\displaystyle k} q ( x ) {\displaystyle q(x)} ν {\displaystyle \nu }
k = 5 + 5 ν 6 + 5 ν {\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}} 法線の 回転（ ）は次式で表されます φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)}
d φ d x = − d 2 w d x 2 − q ( x ) k A G {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}} 曲げモーメント（ ）とせん断力（ ）は次式で与えられます M {\displaystyle M} Q {\displaystyle Q}
M ( x ) = − E I d φ d x ; Q ( x ) = k A G ( d w d x − φ ) = − E I d 2 φ d x 2 = d M d x {\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}
弾性基礎上の梁 オイラー・ベルヌーイ、ティモシェンコ、またはその他の曲げ理論によれば、弾性基礎上の梁は説明できます。鉄道線路、建物や機械の基礎、水上の船舶、植物の根などの用途では、荷重を受ける梁は連続した弾性基礎上で支持されます（つまり、外部荷重による連続的な反力が梁の長さに沿って分布します） [8] [9] [10] [11]
橋を渡る車（弾性基礎上で部分的に支持された梁、曲げモーメントの分布）
梁の動的曲げ 梁の動的曲げ [12]は 、梁の曲げ振動としても知られ、 18世紀後半に ダニエル・ベルヌーイ によって初めて研究されました。ベルヌーイの振動梁の運動方程式は、梁の 固有振動数を過大評価する傾向があり、1877年に レイリー によって中間面回転を追加することでわずかに改良されました。1921年、 スティーブン・ティモシェンコは、 曲げ梁の動的応答に対するせん断の影響を取り入れることで、理論をさらに改良しました。これにより、動的オイラー・ベルヌーイ理論では不十分な高周波振動の問題にもこの理論を使用できるようになりました。梁の動的曲げに関するオイラー・ベルヌーイ理論とティモシェンコ理論は、現在も技術者によって広く使用されています。
オイラー・ベルヌーイ理論 細長く、等方性で、均質な一定断面の梁に横方向荷重が作用した場合の動的曲げに関するオイラー・ベルヌーイの方程式は [7] です。 q ( x , t ) {\displaystyle q(x,t)}
E I ∂ 4 w ∂ x 4 + m ∂ 2 w ∂ t 2 = q ( x , t ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)} ここで 、はヤング率、 は断面の断面モーメント、は 梁の中立軸のたわみ、は 梁の単位長さあたりの質量です。 E {\displaystyle E} I {\displaystyle I} w ( x , t ) {\displaystyle w(x,t)} m {\displaystyle m}
自由振動 梁に横方向の荷重がかかっていない状況では、曲げ方程式は次のようになります
E I ∂ 4 w ∂ x 4 + m ∂ 2 w ∂ t 2 = 0 {\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0} 梁の自由振動は次のように表すことができます。
w ( x , t ) = Re [ w ^ ( x ) e − i ω t ] ⟹ ∂ 2 w ∂ t 2 = − ω 2 w ( x , t ) {\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)} 曲げ方程式は次のように書き表すことができます。
E I d 4 w ^ d x 4 − m ω 2 w ^ = 0 {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0} 上記の方程式の一般解は
w ^ = A 1 cosh ( β x ) + A 2 sinh ( β x ) + A 3 cos ( β x ) + A 4 sin ( β x ) {\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)} ここで 、定数と A 1 , A 2 , A 3 , A 4 {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}} β := ( m E I ω 2 ) 1 / 4 {\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}
片持ち梁のモードシェイプ 1次横曲げ 1次ねじり 1次垂直曲げ 2次横曲げ 2次ねじり 2次垂直曲げ
ティモシェンコ・レイリー理論 1877年、レイリーは梁の断面の回転慣性の影響を含めることで、動的オイラー・ベルヌーイ梁理論の改良を提案しました。ティモシェンコは1922年に梁方程式にせん断の影響を加えることで、この理論を改良しました。梁の中央面に垂直な方向のせん断変形は、ティモシェンコ・レイリー理論で許容されます
これらの仮定の下で、一定断面を持つ線形弾性、等方性、均質な梁の曲げ方程式は [7] [13]です。
E I ∂ 4 w ∂ x 4 + m ∂ 2 w ∂ t 2 − ( J + E I m k A G ) ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 + J m k A G ∂ 4 w ∂ t 4 = q ( x , t ) + J k A G ∂ 2 q ∂ t 2 − E I k A G ∂ 2 q ∂ x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}} ここで 、は 断面の 極モーメント 、は梁の単位長さあたりの質量、 は梁の密度、は断面積、 はせん断弾性率、 はせん断 補正係数 です。ポアソン比（）が0.3に近い材料の場合 、せん断補正係数はおおよそ J = m I A {\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}} m = ρ A {\displaystyle m=\rho A} ρ {\displaystyle \rho } A {\displaystyle A} G {\displaystyle G} k {\displaystyle k} ν {\displaystyle \nu }
k = 5 + 5 ν 6 + 5 ν rectangular cross-section = 6 + 12 ν + 6 ν 2 7 + 12 ν + 4 ν 2 circular cross-section {\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}
自由振動 自由振動の調和振動の場合、ティモシェンコ・レイリー方程式は次の形をとります。
E I d 4 w ^ d x 4 + m ω 2 ( J m + E I k A G ) d 2 w ^ d x 2 + m ω 2 ( ω 2 J k A G − 1 ) w ^ = 0 {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0} この方程式は、のすべての導関数打ち消すために同じ形を持たなければならない ことに注意することで解くことができ、したがって、形の解が 期待できます。この観察から、 特性方程式が導かれます。 w {\displaystyle w} e k x {\displaystyle e^{kx}}
α k 4 + β k 2 + γ = 0 ; α := E I , β := m ω 2 ( J m + E I k A G ) , γ := m ω 2 ( ω 2 J k A G − 1 ) {\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)} この4次方程式 の解は
k 1 = + z + , k 2 = − z + , k 3 = + z − , k 4 = − z − {\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}} ここで
z + := − β + β 2 − 4 α γ 2 α , z − := − β − β 2 − 4 α γ 2 α {\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}} 自由振動に対するティモシェンコ・レイリー梁方程式の一般解は次のように表すことができます。
w ^ = A 1 e k 1 x + A 2 e − k 1 x + A 3 e k 3 x + A 4 e − k 3 x {\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}
板の準静的曲げ 薄板の変形。変位、中間面（赤）、中間面の法線（青）を強調表示しています 梁の特徴は、寸法の1つが他の2つよりもはるかに 大きいこと です。構造物が平坦で、寸法の1つが他の2つよりもはるかに 小さい 場合、その構造物はプレートと呼ばれます。荷重が加わった状態でのプレートの変形と応力を記述しようとする理論はいくつかあり、そのうち2つは広く使用されています。これらは
キルヒホッフ・ラブの板理論（古典板理論とも呼ばれる） ミンドリン・ ライスナー の板理論（板の一次せん断理論とも呼ばれる）
キルヒホッフ・ラブの板理論 キルヒホッフ・ラブの理論の仮定は
中間面に垂直な直線は変形後も直線のままである 中間面に垂直な直線は、変形後も中間面に対して垂直なままである。 板の厚さは変形中に変化しない。 これらの仮定は、次のことを意味する。
u α ( x ) = − x 3 ∂ w 0 ∂ x α = − x 3 w , α 0 ; α = 1 , 2 u 3 ( x ) = w 0 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}} ここで 、板内の点の変位、 は中間面の変位である。 u {\displaystyle \mathbf {u} } w 0 {\displaystyle w^{0}}
ひずみ-変位関係は
ε α β = − x 3 w , α β 0 ε α 3 = 0 ε 33 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}} 釣り合い方程式は
M α β , α β + q ( x ) = 0 ; M α β := ∫ − h h x 3 σ α β d x 3 {\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}} ここで 、板の表面に垂直な荷重である。 q ( x ) {\displaystyle q(x)}
変位に関して、外部荷重がない場合の等方性線形弾性板の釣り合い方程式は次のように表される。
w , 1111 0 + 2 w , 1212 0 + w , 2222 0 = 0 {\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0} 直接テンソル記法では、
∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
板のミンドリン-ライスナー理論 この理論の特別な仮定は、変形後も中間面への法線は直線で伸長しないままであるが、必ずしも中間面に対して垂直であるとは限らないということである。板の変位は
u α ( x ) = − x 3 φ α ; α = 1 , 2 u 3 ( x ) = w 0 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}} で与えられる。ここで、 法線の回転である。 φ α {\displaystyle \varphi _{\alpha }}
これらの仮定から生じるひずみ-変位関係は
ε α β = − x 3 φ α , β ε α 3 = 1 2 κ ( w , α 0 − φ α ) ε 33 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}} ここで、 せん断補正係数である。 κ {\displaystyle \kappa }
釣り合い方程式は
M α β , β − Q α = 0 Q α , α + q = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}} ここで
Q α := κ ∫ − h h σ α 3 d x 3 {\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}
板の動的曲げ
薄いキルヒホッフ板の力学 板の力学理論は、板内の波の伝播、定在波、振動モードの研究を決定します。キルヒホッフ板の動的曲げを支配する方程式は
M α β , α β − q ( x , t ) = J 1 w ¨ 0 − J 3 w ¨ , α α 0 {\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}} ここで、密度の板の場合 、 ρ = ρ ( x ) {\displaystyle \rho =\rho (x)}
J 1 := ∫ − h h ρ d x 3 ; J 3 := ∫ − h h x 3 2 ρ d x 3 {\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}} および
w ¨ 0 = ∂ 2 w 0 ∂ t 2 ; w ¨ , α β 0 = ∂ 2 w ¨ 0 ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}} 下の図は、円板のいくつかの振動モードを示しています。
モード k = 0、 p = 1
モード k = 0、 p = 2
モード k = 1、 p = 2
参照
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外部リンク 曲げ公式 梁の応力とたわみ、梁たわみ表 曲げ応力とは？
![{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b17ad3e37e2553884da6fcb9dffd7487039774e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b65d649cab51d29f4b0bb8e69a8bbccb9364b44)
![{\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{長方形断面}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{円形断面}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c11a187caa54d9696a9077b73e9bcd49ea0962)
