Mathematical function
ベータ関数の 等高線図 数学 において 、 ベータ関数 （第一種 オイラー積分 とも呼ばれる）は、 ガンマ関数 や 二項係数 と密接に関連する 特殊関数 である。これは 積分によって定義される。
B ( z 1 , z 2 ) = ∫ 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt} 複素数 入力 の場合は 次のようになります 。 z 1 , z 2 {\displaystyle z_{1},z_{2}} Re ( z 1 ) , Re ( z 2 ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (z_{1}),\operatorname {Re} (z_{2})>0}
ベータ関数は、 レオンハルト・オイラー および アドリアン・マリー・ルジャンドルによって研究され、 ジャック・ビネ によってその名前が付けられました 。その記号 Βは ギリシャ文字の 大文字の ベータ です 。
プロパティ ベータ関数は 対称で あり、 すべての入力 およびに対して成り立つことを意味する 。 [1] B ( z 1 , z 2 ) = B ( z 2 , z 1 ) {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})} z 1 {\displaystyle z_{1}} z 2 {\displaystyle z_{2}}
ベータ関数の重要な特性は ガンマ関数 との密接な関係である： [1]
B ( z 1 , z 2 ) = Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}
証明は下記の「ガンマ関数との関係」に記載されています。
ベータ関数は 二項係数 とも密接に関係している。m（または対称性によりn）が正の整数のとき 、 ガンマ 関数 Γ の定義から [1] が成り立つ。
B ( m , n ) = ( m − 1 ) ! ( n − 1 ) ! ( m + n − 1 ) ! = m + n m n / ( m + n m ) {\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}
ガンマ関数との関係 この関係式を導くには、2つの階乗の積を積分として書きます。これらは2つの別々の変数の積分なので、 反復積分 としてまとめることができます。
Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) = ∫ u = 0 ∞ e − u u z 1 − 1 d u ⋅ ∫ v = 0 ∞ e − v v z 2 − 1 d v = ∫ v = 0 ∞ ∫ u = 0 ∞ e − u − v u z 1 − 1 v z 2 − 1 d u d v . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}
変数を u = st 、 v = s (1 − t ) とすると、 u + v = s 、 u / ( u + v ) = tなので、 s の積分の極限は0から∞、 t の積分の極限は 0から1であることがわかります。したがって、
Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) = ∫ s = 0 ∞ ∫ t = 0 1 e − s ( s t ) z 1 − 1 ( s ( 1 − t ) ) z 2 − 1 s d t d s = ∫ s = 0 ∞ e − s s z 1 + z 2 − 1 d s ⋅ ∫ t = 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t = Γ ( z 1 + z 2 ) ⋅ B ( z 1 , z 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\[1ex]&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}
両辺を で割ると、 目的の結果が得られます。 Γ ( z 1 + z 2 ) {\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}
述べられている恒等式は、畳み込みの積分 に対する恒等式の特別なケースと見ることができる 。
f ( u ) := e − u u z 1 − 1 1 R + g ( u ) := e − u u z 2 − 1 1 R + , {\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}
1つは:
Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) = ∫ R f ( u ) d u ⋅ ∫ R g ( u ) d u = ∫ R ( f ∗ g ) ( u ) d u = B ( z 1 , z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) . {\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}
この関係式の導出については 「ガンマ関数」 18～19ページ [2] を参照。
ベータ関数の微分 我々は持っています
∂ ∂ z 1 B ( z 1 , z 2 ) = B ( z 1 , z 2 ) ( Γ ′ ( z 1 ) Γ ( z 1 ) − Γ ′ ( z 1 + z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) ) = B ( z 1 , z 2 ) ( ψ ( z 1 ) − ψ ( z 1 + z 2 ) ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}
∂ ∂ z m B ( z 1 , z 2 , … , z n ) = B ( z 1 , z 2 , … , z n ) ( ψ ( z m ) − ψ ( ∑ k = 1 n z k ) ) , 1 ≤ m ≤ n , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi {\left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)}\right),\quad 1\leq m\leq n,}
ここで は ディガンマ関数 を表します 。 ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)}
近似 スターリング近似は 漸近式を与える。
B ( x , y ) ∼ 2 π x x − 1 / 2 y y − 1 / 2 ( x + y ) x + y − 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}
xが大きく y が大きい 場合 。
一方、 x が大きく y が固定されている場合、
B ( x , y ) ∼ Γ ( y ) x − y . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
ベータ関数を定義する積分は、次のようにさまざまな方法で書き直すことができます。 B ( z 1 , z 2 ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( sin θ ) 2 z 1 − 1 ( cos θ ) 2 z 2 − 1 d θ , = ∫ 0 ∞ t z 1 − 1 ( 1 + t ) z 1 + z 2 d t , = n ∫ 0 1 t n z 1 − 1 ( 1 − t n ) z 2 − 1 d t , = ( 1 − a ) z 2 ∫ 0 1 ( 1 − t ) z 1 − 1 t z 2 − 1 ( 1 − a t ) z 1 + z 2 d t for any a ∈ R ≤ 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}
ここで、最後から2番目の恒等式において、 n は任意の正の実数です。最初の積分から2番目の積分へは、 を代入することで移ることができます 。 t = tan 2 ( θ ) {\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}
値については 次のようになります。 z = z 1 = z 2 ≠ 1 {\displaystyle z=z_{1}=z_{2}\neq 1}
B ( z , z ) = 1 z ∫ 0 π / 2 1 ( sin θ z + cos θ z ) 2 z d θ {\displaystyle \mathrm {B} (z,z)={\frac {1}{z}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt[{z}]{\sin \theta }}+{\sqrt[{z}]{\cos \theta }}\right)^{2z}}}\,d\theta }
ベータ関数は無限和として表すことができる [3] とが 数に等しい
場合、次式 を得る。 ここで は 階乗 であり、無限積として B ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) n ( y + n ) n ! {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} B ( z , z ) = 2 ∑ n = 0 ∞ ( 2 z + n − 1 ) n ( − 1 ) n ( z + n ) n ! = lim x → 1 − 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 2 z ) n x n ( z + n ) n ! {\displaystyle \mathrm {B} (z,z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2z+n-1)_{n}(-1)^{n}}{(z+n)n!}}=\lim _{x\to 1^{-}}2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2z)_{n}x^{n}}{(z+n)n!}}} ( x ) n {\displaystyle (x)_{n}} B ( x , y ) = x + y x y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}
ベータ関数は、 パスカルの恒等式のバージョンを含む、二項係数の対応する恒等式に類似したいくつかの恒等式を満たす。
B ( x , y ) = B ( x , y + 1 ) + B ( x + 1 , y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)}
一つの座標上の単純な回帰： [4]
B ( x + 1 , y ) = B ( x , y ) ⋅ x x + y , B ( x , y + 1 ) = B ( x , y ) ⋅ y x + y . {\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}
ベータ関数の正の整数値は、2次元関数の偏微分でもある。すべての非負整数およびに対して 、 で
ある。 ここで
、 上記のパスカルのような恒等式は、この関数が 1階偏微分方程式の解であることを意味する。 m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} B ( m + 1 , n + 1 ) = ∂ m + n h ∂ a m ∂ b n ( 0 , 0 ) , {\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),} h ( a , b ) = e a − e b a − b . {\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.} h = h a + h b . {\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}
の場合、ベータ関数は 、切断されたべき乗関数 を含む 畳み込み として表すことができます 。 x , y ≥ 1 {\displaystyle x,y\geq 1} t ↦ t + x {\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}} B ( x , y ) ⋅ ( t ↦ t + x + y − 1 ) = ( t ↦ t + x − 1 ) ∗ ( t ↦ t + y − 1 ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}
特定の時点での評価は大幅に簡素化される可能性がある。例えば、 [ 5] B ( 1 , x ) = 1 x {\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}} B ( x , 1 − x ) = π sin ( π x ) , x ∉ Z {\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }
この最後の式を 取り入れると、 が成り立ちます 。これをベータ関数の積の二変数恒等式に一般化すると、次のようになります。 x = 1 2 {\displaystyle x={\frac {1}{2}}} Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}} B ( x , y ) ⋅ B ( x + y , 1 − y ) = π x sin ( π y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}
ベータ関数のオイラー積分は、ポッホハマー曲線 C 上の積分に変換することができる 。
( 1 − e 2 π i α ) ( 1 − e 2 π i β ) B ( α , β ) = ∫ C t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t . {\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}
このポッホハマーの等高線積分は、 α と β のすべての値に対して収束し、 ベータ関数の 解析接続を与えます。
整数のガンマ関数が 階乗 を記述するのと同様に、ベータ関数はインデックスを調整した後に 二項係数 を定義できます。 ( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) . {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,\,k+1)}}.}
さらに、整数 n に対して、 Βを因数分解して k の連続値に対する閉じた形式の補間関数を与えることができる 。 ( n k ) = ( − 1 ) n n ! ⋅ sin ( π k ) π ∏ i = 0 n ( k − i ) . {\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
逆ベータ関数 逆 ベータ関数は 、次のような形に関する 関数 である。
f ( x , y ) = 1 B ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}
興味深いことに、それらの積分表現は、 三角 関数の 累乗と 倍角の 積分 と密接に関係している。 [6]
∫ 0 π sin x − 1 θ sin y θ d θ = π sin y π 2 2 x − 1 x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) ∫ 0 π sin x − 1 θ cos y θ d θ = π cos y π 2 2 x − 1 x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) ∫ 0 π cos x − 1 θ sin y θ d θ = π cos y π 2 2 x − 1 x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) ∫ 0 π 2 cos x − 1 θ cos y θ d θ = π 2 x x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\end{aligned}}}
不完全ベータ関数 不完全 ベータ関数は ベータ関数の一般化であり、次のように定義される [7] [8]
B ( x ; a , b ) = ∫ 0 x t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}
x = 1 の場合 、不完全ベータ関数は完全ベータ関数と一致します。正の整数 a と b の場合、不完全ベータ関数は有理数係数を持つ 次数 a + b − 1の多項式になります。
とを 代入することにより 、 t = sin 2 θ {\displaystyle t=\sin ^{2}\theta } t = 1 1 + s {\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}} B ( x ; a , b ) = 2 ∫ 0 arcsin x sin 2 a − 1 θ cos 2 b − 1 θ d θ = ∫ 1 − x x ∞ s b − 1 ( 1 + s ) a + b d s {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x;\,a,b)&=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,d\theta \\[1ex]&=\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{b-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,ds\end{aligned}}}
正規 化不完全ベータ関数 （または略し て正規化ベータ関数 ）は、不完全ベータ関数と完全ベータ関数に基づいて定義されます。
I x ( a , b ) = B ( x ; a , b ) B ( a , b ) . {\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}
正規化不完全ベータ関数は ベータ分布 の 累積分布関数 であり、 単一成功確率 p とベルヌーイ試行回数 nの 二項分布 に従う ランダム変数 X の 累積分布関数 と関連している。 F ( k ; n , p ) {\displaystyle F(k;\,n,p)}
F ( k ; n , p ) = Pr ( X ≤ k ) = I 1 − p ( n − k , k + 1 ) = 1 − I p ( k + 1 , n − k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}F(k;\,n,p)&=\Pr \left(X\leq k\right)\\[1ex]&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\[1ex]&=1-I_{p}(k+1,n-k).\end{aligned}}}
プロパティ I 0 ( a , b ) = 0 , I 1 ( a , b ) = 1 , I x ( a , 1 ) = x a , I x ( 1 , b ) = 1 − ( 1 − x ) b , I x ( a , b ) = 1 − I 1 − x ( b , a ) , I x ( a + 1 , b ) = I x ( a , b ) − x a ( 1 − x ) b a B ( a , b ) , I x ( a , b + 1 ) = I x ( a , b ) + x a ( 1 − x ) b b B ( a , b ) , ∫ B ( x ; a , b ) d x = x B ( x ; a , b ) − B ( x ; a + 1 , b ) , B ( x ; a , b ) = ( − 1 ) a B ( x x − 1 ; a , 1 − a − b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0,\\I_{1}(a,b)&=1,\\I_{x}(a,1)&=x^{a},\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b},\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a),\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}},\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}},\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\,dx&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b),\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right).\end{aligned}}}
連分数展開 連分数 展開 は
B ( x ; a , b ) = x a ( 1 − x ) b a ( 1 + d 1 1 + d 2 1 + d 3 1 + ⋯ ) , {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+{\frac {{d}_{2}}{1+{\frac {{d}_{3}}{1+\cdots }}}}}}\right)}},}
奇数係数と偶数係数は次のように与えられる。
d 2 m + 1 = − ( a + m ) ( a + b + m ) x ( a + 2 m ) ( a + 2 m + 1 ) , d 2 m = m ( b − m ) x ( a + 2 m − 1 ) ( a + 2 m ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{d}_{2m+1}&=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}},\\[1ex]{d}_{2m}&={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}.\end{aligned}}}
および の 収束は より小さく 、 および の 収束は より大きくなります 。 4 m {\displaystyle 4m} 4 m + 1 {\displaystyle 4m+1} B ( x ; a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)} 4 m + 2 {\displaystyle 4m+2} 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} B ( x ; a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
は急速に収束する 。 またはについては 、関係式 を通してより効率的に関数を評価できる 。 [8] x < ( a + 1 ) / ( a + b + 2 ) {\displaystyle x<(a+1)/(a+b+2)} x > ( a + 1 ) / ( a + b + 2 ) {\displaystyle x>(a+1)/(a+b+2)} 1 − x < ( b + 1 ) / ( a + b + 2 ) {\displaystyle 1-x<(b+1)/(a+b+2)} B ( x ; a , b ) = B ( a , b ) − B ( 1 − x ; b , a ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)}
多変量ベータ関数 ベータ関数は、2 つ以上の引数を持つ関数に拡張できます。
B ( α 1 , α 2 , … α n ) = Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) ⋯ Γ ( α n ) Γ ( α 1 + α 2 + ⋯ + α n ) . {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}
この多変数ベータ関数は、ディリクレ分布 の定義に用いられます。ベータ関数との関係は、 多項式係数 と二項式係数の関係に類似しています 。例えば、パスカルの恒等式と同様の式を満たします。
B ( α 1 , α 2 , … α n ) = B ( α 1 + 1 , α 2 , … α n ) + B ( α 1 , α 2 + 1 , … α n ) + ⋯ + B ( α 1 , α 2 , … α n + 1 ) . {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}
アプリケーション ベータ関数は、 レッジェ軌道 の 散乱振幅の計算と表現に役立ちます。さらに、これは 弦理論 における 最初の 散乱振幅 として知られ、 ガブリエーレ・ヴェネツィアーノ によって初めて 予想されました。また、確率的 壷過程 の一種である 優先付着 過程の理論にも現れます 。ベータ関数は統計学においても重要であり、例えば ベータ分布 や ベータプライム分布 などに用いられます。前述のように、ベータ関数は ガンマ関数と密接に結びついており、 微積分学 において重要な役割を果たします 。
ソフトウェア実装 直接入手できない場合でも、スプレッドシート や コンピュータ代数システム に一般的に含まれている関数を使用して、完全ベータ関数と不完全ベータ関数の値を計算できます 。
たとえば、 Microsoft Excel では、完全なベータ関数は GammaLn 関数 (または special.gammalnPython の SciPy パッケージ) を使用して計算できます。
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))この結果は、上記の特性から導き出されたものです。
不完全ベータ関数は、このような関係式を用いて直接計算することはできないため、他の方法を用いる必要があります。GNU Octaveでは、 連分数 展開を用いて計算されます。
不完全ベータ関数は、一般的な言語で既に実装されています。例えば、 MATLAB と GNU Octave betaincでは (不完全ベータ関数) 、 R と SymPy では (ベータ分布の確率)が実装されています 。SciPy では 、 正規 化された不完全ベータ関数 （実際には累積ベータ分布）を計算します。実際の不完全ベータ関数を得るには、 の 結果に、対応する関数の 戻り値を掛け合わせます 。Mathematica では 、 、 はそれぞれ と を 返します 。 pbetabetaincspecial.betaincspecial.betaincbetaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b] B ( x ; a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)} I x ( a , b ) {\displaystyle I_{x}(a,b)}
参照
参考文献 ^ abc Davis, Philip J. (1972)、「6. ガンマ関数と関連関数」、 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (編)、『数式、グラフ、数学表付き数学関数ハンドブック』、ニューヨーク： Dover Publications 、p. 258、 ISBN 978-0-486-61272-0 具体的には、6.2 ベータ関数を参照してください。 ^ Artin, Emil, The Gamma Function (PDF) 、pp. 18– 19、 2016年11月12日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ、 2016 年11月11日取得 ^ ベータ関数：級数表現（式06.18.06.0007） ^ Mäklin, Tommi (2022), 高解像度メタゲノミのための確率的手法 (PDF) 、出版物シリーズA / ヘルシンキ大学コンピュータサイエンス学部、ヘルシンキ：Unigrafia、p. 27、 ISBN 978-951-51-8695-9 、 ISSN 2814-4031 ^ 「オイラーの反射公式 - ProofWiki」 proofwiki.org 、 2020年9月2日 閲覧 ^ Paris, RB (2010)、「ベータ関数」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 ^ Zelen, M.; Severo, NC (1972)、「26. 確率関数」、 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (編)、『 数式、グラフ、数学表付き数学関数ハンドブック』 、ニューヨーク： Dover Publications 、pp. 944、 ISBN 978-0-486-61272-0 ^ ab Paris, RB (2010)、「不完全ベータ関数」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 Askey, RA ; Roy, R. (2010)「ベータ関数」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)「セクション6.1 ガンマ関数、ベータ関数、階乗」、 Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-88068-8 、2021年10月27日にオリジナルからアーカイブ、 2011年8月9日 取得
外部リンク 「ベータ関数」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] PlanetMath でのラプラス変換を使用したベータ関数の評価 。 任意の正確な値は以下から取得できます。 Wolfram関数サイト: ベータ正規化不完全ベータの評価 danielsoper.com: 不完全ベータ関数計算機、正規化不完全ベータ関数計算機
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-uv}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0602e0665bdaf2c38b4056fa812ae684ba773b53)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\[1ex]&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b141f671e9f67f3d213a8020a0d2a515646924b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{任意の }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0163d50bcc0f2359f68f9ac5acc1fccbf45a262f)
![{\displaystyle \mathrm {B} (z,z)={\frac {1}{z}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt[{z}]{\sin \theta }}+{\sqrt[{z}]{\cos \theta }}\right)^{2z}}}\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece6f40c6430a3d2370dcfa023380f64943572fa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}}、{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}}、{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1803bb636788436ad1bb2fae0e35bc82cb7373d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x;\,a,b)&=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,d\theta \\[1ex]&=\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{b-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,ds\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2241c5060a5ea8622fb0ccf7421de9b93dee411b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(k;\,n,p)&=\Pr \left(X\leq k\right)\\[1ex]&=I_{1-p}(nk,k+1)\\[1ex]&=1-I_{p}(k+1,nk).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d955e7f296b2df69b7a649480ac0f6456cfd73db)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{d}_{2m+1}&=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}},\\[1ex]{d}_{2m}&={\frac {m(bm)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c3c4577f493a0b6ddea6e1ce4043999c70f3ba)
