順序

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(双無限列からリダイレクト)

数学において、数列とは、繰り返しが許され、順序が重要な、オブジェクトの列挙された集合です。集合と同様に、数列にはメンバー（要素または項とも呼ばれる）が含まれます。集合とは異なり、数列では同じ要素が複数回、異なる位置に出現することができ、また、集合とは異なり、順序が重要です。数列の概念は、任意の添字集合からの関数として定義される添字付き族へと一般化できます。

例えば、(M, A, R, Y) は、文字「M」が先頭で文字「Y」が最後に位置する文字のシーケンスです。このシーケンスは (A, R, M, Y) とは異なります。また、2 つの異なる位置に数字「1」が含まれるシーケンス (1, 1, 2, 3, 5, 8) も有効なシーケンスです。シーケンスは、これらの例のように有限である場合もあれば、偶数の正の整数シーケンス( 2, 4, 6, ...) のように各要素がその位置の 2 倍の値を持つ無限である場合もあります。

有限数列の長さは、数列の要素数として定義されます。数列における要素の位置は、その階数またはインデックスで表されます。これは、その要素がの像となる自然数です。最初の要素のインデックスは、文脈または特定の規則に応じて 0 または 1 になります。数学的解析では、数列は、、などの文字で表されることが多く、添え字nは数列のn番目の要素を表します。例えば、フィボナッチ数列のn番目の要素は、一般的にと表されます。 $a_{n}$ $b_{n}$ $c_{n}$ $F$ $F_{n}$

コンピューティングとコンピュータサイエンスにおいて、有限シーケンスは通常、文字列、ワード、またはリストと呼ばれます。これらの専門用語は、シーケンスが列挙するオブジェクトの種類と、コンピュータメモリ内でシーケンスを表現する様々な方法に応じて選択されます。無限シーケンスはストリームと呼ばれます。

空シーケンス（）は、ほとんどのシーケンスの概念に含まれます。文脈によっては除外される場合もあります。

例と表記

数列は、特定の順序を持つ要素のリストと考えることができます。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}数列は、関数、空間、その他の数学的構造を数列の収束特性を用いて研究するための多くの数学分野において有用です。特に、数列は、微分方程式や解析学において重要な級数の基礎となります。数列はそれ自体でも興味深いものであり、素数の研究のように、パターンやパズルとして研究することができます。

シーケンスを表す方法はいくつかありますが、特定の種類のシーケンスに特に便利なものがあります。シーケンスを指定する方法の一つは、そのすべての要素をリストすることです。例えば、最初の4つの奇数はシーケンス(1, 3, 5, 7)を形成します。この表記法は無限シーケンスにも使用されます。例えば、正の奇数の無限シーケンスは(1, 3, 5, 7, ...)と表記されます。シーケンスを省略記号で表記すると曖昧さが生じるため、最初の数要素から容易に認識できる慣習的な無限シーケンスには、リスト表記が最も有効です。シーケンスを表すその他の方法については、例の後で説明します。

例

素数とは、1とそれ自身以外に約数を持たない1より大きい自然数のことです。これらを自然数順に並べると、(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) という数列になります。素数は数学、特に数論において広く用いられており、関連する多くの結果が存在します。

フィボナッチ数は、各要素が前の2つの要素の和となる整数列です。最初の2つの要素は0と1、または1と1のいずれかであり、数列は(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)となります。^{[ 1 ]}

数列の他の例としては、有理数、実数、複素数から構成される数列があります。たとえば、数列 (.9, .99, .999, .9999, ...) は数値 1 に近づきます。実際、すべての実数は有理数数列の極限として表すことができます (たとえば、その小数展開を介して、実数の完全性も参照)。別の例として、 $π$ は、増加する数列 (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) の極限です。関連する数列は、 $π$ の小数の桁の列、つまり (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...) です。前の数列とは異なり、この数列には検査によって容易に識別できるパターンはありません。

他の例としては、要素が数値ではなく関数である関数のシーケンスがあります。

オンライン整数列百科事典には整数列の膨大な例が掲載されている。^{[ 3 ]}

インデックス作成

パターンを容易に推測できないシーケンスや、 $π$ の数字のようなパターンを持たないシーケンスには、他の表記法が役立つ場合があります。そのような表記法の1つは、 n番目の項をnの関数として計算する一般的な式を書き、それを括弧で囲み、nが取り得る値の集合を示す添字を含めることです。たとえば、この表記法では、偶数のシーケンスはと表記できます。平方数のシーケンスはと表記できます。変数nはインデックスと呼ばれ、それが取り得る値の集合はインデックス集合と呼ばれます。 ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

この表記法を、シーケンスの要素を個別の変数として扱う手法と組み合わせると便利な場合がよくあります。これにより、のような式が得られます。これは、 n番目の要素が変数で与えられるシーケンスを表します。例えば、 ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ $a_{n}$

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{n 番目の要素 }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd 要素 }}\\a_{3}&=3{\text{rd 要素 }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th 要素}}\\a_{n}&=n{\text{th 要素}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th 要素}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

異なる変数を用いることで、複数のシーケンスを同時に考えることができます。例えば、はとは異なるシーケンスである可能性があります。シーケンスのシーケンスを考えることもできます。は、m番目の項がシーケンスであるシーケンスを表します。 ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

数列の定義域を下付き文字で表記する代わりに、インデックスの取り得る値の範囲を、その最大値と最小値を列挙することによって示す方法もあります。例えば、という表記は、平方数の10項数列を表します。極限とは許容されますが、これらはインデックスの有効な値を表すものではなく、それぞれそのような値の上限と下限を表すだけです。例えば、という数列はという数列と同じであり、「無限大」という追加の項は含まれていません。という数列は双無限数列であり、と表記することもできます。 ${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ $\infty$ $-\infty$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

添え字の集合が理解できる場合、添え字と上付き文字は省略されることが多い。つまり、任意の数列を表すために単に記述する。添え字kは1から∞までの範囲であると理解されることが多い。しかし、数列は0から始まる添え字で表されることも多い。例えば、 ${\textstyle (a_{k})}$

{(a_{k})}_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).

場合によっては、数列の要素が、パターンを容易に推測できる整数の列と自然に関連していることがあります。このような場合、最初のいくつかの抽象要素を列挙することで、添え字集合を暗示することができます。例えば、奇数の平方数の数列は、次のいずれかの方法で表記できます。

$(1,9,25,\ldots )$
$(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
${\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }$

さらに、添え字集合が自然数であると理解されていれば、3番目、4番目、5番目の表記法では下付き文字と上付き文字を省略することもできた。2番目と3番目の箇条書きでは、明確に定義された数列が存在するが、それは式で表される数列と同じではない。 ${\textstyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty }}$

再帰によるシーケンスの定義

要素が前の要素と直接的に関連付けられているシーケンスは、多くの場合、再帰を用いて定義されます。これは、要素のシーケンスをその位置の関数として定義することとは対照的です。

再帰によってシーケンスを定義するには、各要素をその前の要素に基づいて構築するための、再帰関係と呼ばれる規則が必要です。さらに、シーケンスの以降のすべての要素が再帰関係の連続的な適用によって計算できるように、十分な初期要素を用意する必要があります。

フィボナッチ数列は、再帰関係によって定義される単純な古典的な例である。

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},

初期項はおよびです。簡単な計算により、この数列の最初の10項は0、1、1、2、3、5、8、13、21、34であることがわかります。 $a_{0}=0$ $a_{1}=1$

再帰関係によって定義される数列の複雑な例としては、レカマンの数列^{[ 4 ]}があり、これは再帰関係によって定義される。

{\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}

初期期間付き $a_{0}=0.$

定数係数の線形回帰は、次のような形式の回帰関係である。

a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

ここでは定数です。このような数列の一般項を $nの関数として表す一般的な方法があります。$ 線形回帰を参照してください。フィボナッチ数列の場合、となり、結果として得られる $nの関数は$ ビネの公式で与えられます。 $c_{0},\dots ,c_{k}$ $a_{n}$ $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$

ホロノミック列は、次の形式の再帰関係によって定義される列である。

a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

ここで、は $n$ の多項式です。ほとんどのホロノミック列には、 $n$ の関数として表す明示的な式はありません。しかしながら、ホロノミック列は数学の様々な分野で重要な役割を果たします。例えば、多くの特殊関数は、係数列がホロノミックなテイラー級数を持ちます。漸化式を用いることで、このような特殊関数の値を高速に計算することができます。 $c_{1},\dots ,c_{k}$ $a_{n}$

すべての数列が漸化式で指定できるわけではありません。例えば、自然数列（2、3、5、7、11、13、17、…）は、その自然数列にあたります。

正式な定義と基本的な性質

意味

形式的には、数列は自然数（数列の要素の位置）から各位置の要素への関数として定義できます。本稿では、数列は整数の区間を定義域とする関数として正式に定義されます。この定義は、「数列」という語の様々な用法、例えば片側無限数列、双無限数列、有限数列（これらの数列の定義については後述）を網羅しています。しかし、多くの著者は、数列の定義域を自然数の集合とすることで、より狭義の定義を用いています。この狭義の定義には、有限数列と双無限数列（どちらも標準的な数学の実践では数列と呼ばれます）を排除してしまうという欠点があります。また、数列の最初の項を削除した場合、この定義に適合させるために残りの項の添字付けをし直す必要があるという欠点もあります。文脈によっては、説明を簡略化するために、数列の余りの定義域が文脈によって固定されることがあります。例えば、実数の集合^[⁵^] 、複素数の集合^[⁶^]、または位相空間であることが要求されます。^[⁷^] $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

シーケンスは関数の一種ですが、通常、入力が括弧ではなく添え字として記述される（つまり、 $($ $n ) ではなく n$ $）$ $という$ $点$ で $、$ 表記上は関数と区別されます。用語上の違いもあります。最も小さい入力（多くの場合 1）でのシーケンスの値はシーケンスの「最初の要素」と呼ばれ、2 番目に小さい入力（多くの場合 2）での値は「2 番目の要素」などと呼ばれます。また、入力から抽象化された関数は通常、fのように 1 文字で表されますが、入力から抽象化されたシーケンスは通常、、または単になどの表記で表されます。ここで、 $A$ はシーケンスのドメイン、またはインデックスセットです。 ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$ ${\textstyle (a_{n}).}$

シーケンスとその極限（下記参照）は、位相空間を研究する上で重要な概念です。シーケンスの重要な一般化として、ネットの概念があります。ネットとは、（おそらくは非可算な）有向集合から位相空間への関数です。シーケンスの表記法は通常、ネットにも適用されます。

有限と無限

シーケンスの長さは、シーケンス内の項の数として定義されます。

有限長のシーケンスは有限シーケンスと呼ばれます。長さ $n$ の有限シーケンスは $n$ 組とも呼ばれます。有限シーケンスには、要素を持たない空シーケンス $（ ( )$ と表記）が含まれます。

通常、無限列という用語は、一方向には無限で、他方向には有限な列を指します。このような列には最初の要素がありますが、最後の要素はなく、明確に区別する必要がある場合は単無限列または片側無限列と呼ばれます。対照的に、両方向に無限である列、つまり最初の要素も最後の要素もない列は、双無限列、双方向無限列、または二重無限列と呼ばれます。すべての整数の集合から集合、たとえばすべての偶数の整数の列 (...、-4、-2、0、2、4、6、8、...) への関数は双無限です。この列はと表記されます。 $\mathbb {Z}$ ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$

増加と減少

数列の各項がその前の項以上である場合、その数列は単調増加であるといいます。たとえば、数列が単調増加である場合と、すべての項が次の式を満たす場合とで同じです。連続する各項が前の項より厳密に大きい (>) 場合、数列は厳密に単調増加であるといいます。連続する各項が前の項以下である場合、数列は単調減少であり、各項が前の項より厳密に小さい場合、数列は厳密に単調減少です。数列が増加または減少する場合、それは単調数列と呼ばれます。これは、より一般的な単調関数の概念の特殊なケースです。 ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ $n\in \mathbf {N} .$

非減少および非増加という用語は、それぞれ厳密に増加するおよび厳密に減少するとの混同を避けるために、増加するおよび減少する代わりによく使用されます。

境界付き

実数列 ( a _n ) のすべての項がある実数Mより小さい場合、その列は上から有界であると言われます。言い換えると、すべてのnに対してa _n ≤ MとなるM が存在することを意味します。このようなMは上限と呼ばれます。同様に、ある実数mに対して、あるNより大きいすべてのnに対してa _n ≥ mである場合、その列は下から有界であり、そのようなmは下限と呼ばれます。列が上からも下からも有界である場合、その列は有界であると言われます。

部分列

与えられた数列の部分列とは、与えられた数列からいくつかの要素を削除することで、残りの要素の相対的な位置を変えずに形成された数列のことです。例えば、正の偶数の数列 (2, 4, 6, ...) は、正の整数の数列 (1, 2, 3, ...) の部分列です。他の要素を削除すると、一部の要素の位置は変化しますが、相対的な位置は保持されます。

正式には、シーケンスの部分シーケンスは、という形式のシーケンスです。ここで、は正の整数の厳密に増加するシーケンスです。 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$

その他の種類のシーケンス

簡単に定義できる他のタイプのシーケンスには次のものがあります。

整数シーケンスは、項が整数であるシーケンスです。
多項式列は、項が多項式である列です。
正の整数列は、nとmが互いに素であるすべてのn、mのペアに対してa _nm = a _n a _mが成り立つとき、乗法的と呼ばれることがある。^[⁸^]また、すべてのnに対してa _n = na ₁が成り立つとき、その列は乗法的と呼ばれることが多い。さらに、乗法フィボナッチ数列^[⁹^]は、再帰関係a _n = a _n₋₁a _n₋₂を満たす。
バイナリシーケンスとは、その項が 2 つの離散値のいずれかを持つシーケンスです。たとえば、2 進数の値 (0、1、1、0、...)、一連のコイン投げ (表/裏) H、T、H、H、T、...、一連の True または False の質問に対する回答 (T、F、T、T、...) などです。

限界と収束

数列の重要な性質の一つに収束性があります。数列が収束する場合、それは極限と呼ばれる特定の値に収束します。数列が何らかの極限に収束する場合、それは収束性があります。収束しない数列は発散性があります。

非公式には、シーケンスの要素がある値（シーケンスの極限と呼ばれる）にどんどん近づいていき、に任意に近い値を維持している場合、シーケンスには極限があります。つまり、0 より大きい実数が与えられると、シーケンスの有限個を除くすべての要素はからまでの距離が未満になります。 $L$ $L$ $d$ $L$ $d$

たとえば、右に示すシーケンスは値 0 に収束します。一方、シーケンス(1、8、27、... で始まる) とシーケンス (-1、1、-1、1、... で始まる) はどちらも発散します。 ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ $c_{n}=(-1)^{n}$

数列が収束する場合、収束する値は一意です。この値は数列の極限と呼ばれます。収束数列の極限は通常と表記されます。が発散数列の場合、この式は意味を持ちません。 $(a_{n})$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ $(a_{n})$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

収束の正式な定義

実数の列が実数に収束するとは、すべてのに対して、すべてのに対してとなる自然数が存在するときである^[⁵^] $(a_{n})$ $L$ $\varepsilon >0$ $N$ $n\geq N$

|a_{n}-L|<\varepsilon .

が実数列ではなく複素数列の場合でも、が複素係数を表すという条件付きで、この最後の式を使用して収束を定義できます。つまり、が距離空間内の点の列である場合、式をとの間の距離を表す式に置き換えると、式を使用して収束を定義できます。 $(a_{n})$ $|\cdot |$ $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ $(a_{n})$ $|a_{n}-L|$ $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ $a_{n}$ $L$

応用と重要な結果

とが収束する列である場合、以下の極限が存在し、次のように計算できる：^[⁵^]^[¹⁰^] $(a_{n})$ $(b_{n})$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ すべての実数について $c$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$ ただし、 $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}$ すべての人のために $p>0$ $a_{n}>0$

さらに：

すべてのに対してがいくつかより大きい場合、となります。^[^a^] $a_{n}\leq b_{n}$ $n$ $N$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$
(スクイーズ定理)がすべてのおよびに対してとなる数列である
場合、は収束し、となります。 $(c_{n})$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $n>N$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$
$(c_{n})$ $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$
シーケンスが有界かつ単調である場合、それは収束します。
シーケンスが収束するのは、そのサブシーケンスがすべて収束する場合のみです。

コーシー列

コーシー列とは、nが非常に大きくなるにつれて項が任意に接近する列である。コーシー列の概念は、距離空間における列の研究、特に実解析において重要である。実解析における特に重要な結果の一つは、列の収束に関するコーシーの特徴づけである。

実数列は、コーシーである場合に限り、実数収束（実数において）します。

対照的に、有理数において収束しない有理数のコーシー列も存在します。例えば、とで定義される列はコーシー列ですが、有理数極限を持ちません（コーシー列 § 非例：有理数を参照）。より一般的には、無理数に収束する有理数列はすべてコーシー列ですが、有理数集合における列として解釈した場合には収束しません。 $x_{1}=1$ $x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}$

シーケンスの収束に関するコーシーの特徴を満たす距離空間は、完全距離空間と呼ばれ、分析に特に適しています。

無限の限界

微積分学では、上で述べた意味で収束せず、代わりに任意の大きさになり、その大きさを維持したり、任意の負の値になり、その大きさを維持したりする数列の表記法を定義することが一般的です。がとして任意の大きさになる場合、次のように書きます。 $a_{n}$ $n\to \infty$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .

この場合、数列は発散する、あるいは無限大に収束すると言います_。このような数列の例として、n = nが挙げられます。

が任意に負（つまり負で大きさが大きい）になるとき、 $a_{n}$ $n\to \infty$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty

そして、その数列は負の無限大に発散または収束すると言えます。

シリーズ

級数とは、非公式には、数列の項の和です。つまり、またはという形式の式です。ここでは実数または複素数の列です。級数の部分和は、無限大記号を有限数に置き換えた式です。つまり、級数のN番目の部分和は次の数です。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ $a_{1}+a_{2}+\cdots$ $(a_{n})$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.

部分和自体は列を形成し、これは級数の部分和の列と呼ばれます。部分和の列が収束する場合、級数は収束すると言い、その極限は級数の値と呼ばれます。級数とその値を表すのに同じ表記法が用いられ、つまりと書きます。 $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

他の数学分野での活用

トポロジー

シーケンスは位相幾何学、特に距離空間の研究において重要な役割を果たします。例えば：

距離空間がコンパクトであるとは、それが逐次コンパクトであるときとまったく同じです。
ある距離空間から別の距離空間への関数は、収束するシーケンスを収束するシーケンスに変換するときに正確に連続になります。
距離空間が連結空間となるのは、空間が 2 つの集合に分割されるとき、その 2 つの集合の 1 つに、もう 1 つの集合の点に収束するシーケンスが含まれる場合のみです。
位相空間は、点の稠密な列が存在する場合に正確に分離可能です。

シーケンスはネットやフィルタに一般化できます。これらの一般化により、上記の定理のいくつかを計量を持たない空間に拡張することができます。

製品トポロジー

位相空間の列の位相積は、積位相と呼ばれる自然な位相を備えたそれらの空間の直積です。

より正式には、空間の列が与えられたとき、積空間 $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$

X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},

は、各iに対してがの元となるようなすべての列の集合として定義されます。標準的な射影は、方程式によって定義される写像p _i : X → X _iです。すると、X上の積位相は、すべての射影p _iが連続となるような最も粗い位相（つまり、開集合が最も少ない位相）として定義されます。積位相は、ティコノフ位相と呼ばれることもあります。 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $x_{i}$ $X_{i}$ $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$

分析

解析におけるシーケンスについて議論する場合、一般的に次のようなシーケンスが考えられます。

(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )

つまり、自然数でインデックス付けされた要素の無限シーケンスです。

シーケンスは、1 または 0 以外のインデックスで始まる場合があります。たとえば、x _n = 1/ log ( n ) で定義されるシーケンスは、 n ≥ 2に対してのみ定義されます。このような無限シーケンスについて話すときは、シーケンスのメンバーが少なくとも十分に大きいすべてのインデックス、つまり、特定のNよりも大きいすべてのインデックスに対して定義されていると想定すれば、通常は十分です (ほとんどの考慮事項ではあまり変わりません) 。

最も基本的な数列は数値数列、すなわち実数または複素数の数列である。この数列は、あるベクトル空間の元の数列に一般化できる。解析学では、ベクトル空間はしばしば関数空間として扱われる。さらに一般的には、ある位相空間の元を持つ数列を研究することができる。

シーケンス空間

数列空間は、実数または複素数の無限数列を要素とするベクトル空間である。同様に、数列空間は、自然数から体Kへの関数を要素とする関数空間でもある。ここで、Kは実数体または複素数体である。このような関数全体の集合は、Kを要素とするすべての可能な無限数列の集合と自然に同一視され、関数の点ごとの加法および点ごとのスカラー乗算の演算によってベクトル空間に変換できる。すべての数列空間はこの空間の線型部分空間である。数列空間は通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。

解析学において最も重要な列空間は、 p乗の加法列から成り、 pノルムを持つ ℓ ^p空間である。これらは、自然数集合上の計数測度に対するL ^p 空間の特殊なケースである。収束列やヌル列といった他の重要な列のクラスは、それぞれcおよびc ₀と表記され、sup ノルムを持つ列空間を形成する。任意の列空間は点収束の位相を備えることができ、その場合、FK空間と呼ばれる特殊な種類のフレシェ空間となる。

線形代数

体上の数列は、ベクトル空間のベクトルとして見ることもできます。具体的には、 F値数列（Fは体）の集合は、自然数集合上のF値関数の関数空間（実際には積空間）です。

抽象代数

抽象代数学では、群や環などの数学的オブジェクトのシーケンスを含む、いくつかの種類のシーケンスが使用されます。

自由モノイド

A が集合である場合、 A上の自由モノイド（A ^*と表記され、Aのクリーネスターとも呼ばれる）は、 Aの零個以上の要素からなる有限列（または文字列）すべてを含み、二項演算として連結できるモノイドである。自由半群A ⁺は、空列を除くすべての要素を含むA ^*の部分半群である。

正確なシーケンス

群論の文脈では、列

G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}

群と群準同型のは、各準同型の像（または値域）が次のの核に等しいとき、正確と呼ばれます。

\mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})

群と準同型のシーケンスは有限または無限のいずれかになります。

同様の定義は、他の代数構造にも適用できます。例えば、ベクトル空間と線型写像の正確な列、あるいは加群と加群準同型の正確な列などです。

スペクトル列

ホモロジー代数と代数的位相幾何学において、スペクトル列は逐次近似によってホモロジー群を計算する手段である。スペクトル列は完全列の一般化であり、ジャン・ルレー ( 1946 ) によって導入されて以来、特にホモトピー理論において重要な研究ツールとなっている。

集合論

順序数列は、列の一般化です。α が極限順序数でX が集合である場合、 Xの要素の α インデックス列は、 α からXへの関数です。この用語では、 ω インデックス列は通常の列です。

コンピューティング

コンピュータサイエンスでは、有限のシーケンスはリストと呼ばれます。潜在的に無限のシーケンスはストリームと呼ばれます。文字または数字の有限のシーケンスは文字列と呼ばれます。

ストリーム

有限のアルファベットから抽出された数字（または文字）の無限列は、理論計算機科学において特に興味深いものです。これらは、有限の文字列とは対照的に、単に列またはストリームと呼ばれることがよくあります。例えば、無限二進列は、ビット（アルファベット{0, 1}から抽出された文字）の無限列です。すべての無限二進列の集合C = {0, 1} ^∞は、カントール空間と呼ばれることもあります。

無限二進数列は、n番目の文字列（shortlex順）がその言語に含まれる場合にのみ、n番目のビットを1に設定することで、形式言語（文字列の集合）を表すことができる。この表現は、証明のための対角化法において有用である。^[¹¹^]

参照

オペレーション

コーシー積

例

種類

関連概念

注記

^ 不等式を厳密な不等式に置き換えると、これは偽になります。すべてのに対してとなるシーケンスが存在しますが、となります。 $a_{n}<b_{n}$ $n$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

参考文献

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外部リンク

数学において、数列とは、繰り返しが許され、順序が重要な、オブジェクトの列挙された集合です。集合と同様に、数列にはメンバー（要素または項とも呼ばれる）が含まれます。集合とは異なり、数列では同じ要素が複数回、異なる位置に出現することができ、また、集合とは異なり、順序が重要です。数列の概念は、任意の添字集合からの関数として定義される添字付き族へと一般化できます。

例えば、(M, A, R, Y) は、文字「M」が先頭で文字「Y」が最後に位置する文字のシーケンスです。このシーケンスは (A, R, M, Y) とは異なります。また、2 つの異なる位置に数字「1」が含まれるシーケンス (1, 1, 2, 3, 5, 8) も有効なシーケンスです。シーケンスは、これらの例のように有限である場合もあれば、偶数の正の整数シーケンス( 2, 4, 6, ...) のように各要素がその位置の 2 倍の値を持つ無限である場合もあります。

有限数列の長さは、数列の要素数として定義されます。数列における要素の位置は、その階数またはインデックスで表されます。これは、その要素がの像となる自然数です。最初の要素のインデックスは、文脈または特定の規則に応じて 0 または 1 になります。数学的解析では、数列は、、などの文字で表されることが多く、添え字nは数列のn番目の要素を表します。例えば、フィボナッチ数列のn番目の要素は、一般的にと表されます。 $a_{n}$ $b_{n}$ $c_{n}$ $F$ $F_{n}$

コンピューティングとコンピュータサイエンスにおいて、有限シーケンスは通常、文字列、ワード、またはリストと呼ばれます。これらの専門用語は、シーケンスが列挙するオブジェクトの種類と、コンピュータメモリ内でシーケンスを表現する様々な方法に応じて選択されます。無限シーケンスはストリームと呼ばれます。

空シーケンス（）は、ほとんどのシーケンスの概念に含まれます。文脈によっては除外される場合もあります。

例と表記

数列は、特定の順序を持つ要素のリストと考えることができます。^[1]^{[2]数列は、}関数、空間、その他の数学的構造を数列の収束特性を用いて研究する多くの数学分野において有用です。特に、数列は級数の基礎であり、級数は微分方程式や解析において重要です。数列はそれ自体でも興味深いものであり、素数の研究のように、パターンやパズルとして研究することができます。

シーケンスを表す方法はいくつかありますが、特定の種類のシーケンスに特に便利なものがあります。シーケンスを指定する方法の一つは、そのすべての要素をリストすることです。例えば、最初の4つの奇数はシーケンス(1, 3, 5, 7)を形成します。この表記法は無限シーケンスにも使用されます。例えば、正の奇数の無限シーケンスは(1, 3, 5, 7, ...)と表記されます。シーケンスを省略記号で表記すると曖昧さが生じるため、最初の数要素から容易に認識できる慣習的な無限シーケンスには、リスト表記が最も有効です。シーケンスを表すその他の方法については、例の後で説明します。

例

素数とは、1とそれ自身以外に約数を持たない1より大きい自然数のことです。これらを自然数順に並べると、(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) という数列になります。素数は数学、特に数論において広く用いられており、関連する多くの結果が存在します。

フィボナッチ数は、各要素が前の2つの要素の和となる整数列です。最初の2つの要素は0と1、または1と1のいずれかであり、数列は(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)となります。^[1]

数列の他の例としては、有理数、実数、複素数から構成される数列があります。たとえば、数列 (.9, .99, .999, .9999, ...) は数値 1 に近づきます。実際、すべての実数は有理数数列の極限として表すことができます (たとえば、その小数展開を介して、実数の完全性も参照)。別の例として、 $π$ は、増加する数列 (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) の極限です。関連する数列は、 $π$ の小数の桁の列、つまり (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...) です。前の数列とは異なり、この数列には検査によって容易に識別できるパターンはありません。

他の例としては、要素が数値ではなく関数である関数のシーケンスがあります。

オンライン整数列百科事典には整数列の膨大な例が掲載されている。^[3]

インデックス作成

パターンを容易に推測できないシーケンスや、 $π$ の数字のようなパターンを持たないシーケンスには、他の表記法が役立つ場合があります。そのような表記法の1つは、 n番目の項をnの関数として計算する一般的な式を書き、それを括弧で囲み、nが取り得る値の集合を示す添字を含めることです。たとえば、この表記法では、偶数のシーケンスはと表記できます。平方数のシーケンスはと表記できます。変数nはインデックスと呼ばれ、それが取り得る値の集合はインデックス集合と呼ばれます。 ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

この表記法を、シーケンスの要素を個別の変数として扱う手法と組み合わせると便利な場合がよくあります。これにより、のような式が得られます。これは、 n番目の要素が変数で与えられるシーケンスを表します。例えば、 ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ $a_{n}$

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

異なる変数を用いることで、複数のシーケンスを同時に考えることができます。例えば、はとは異なるシーケンスである可能性があります。シーケンスのシーケンスを考えることもできます。は、m番目の項がシーケンスであるシーケンスを表します。 ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

数列の定義域を下付き文字で表記する代わりに、インデックスの取り得る値の範囲を、その最大値と最小値を列挙することによって示す方法もあります。例えば、という表記は、平方数の10項数列を表します。極限とは許容されますが、これらはインデックスの有効な値を表すものではなく、それぞれそのような値の上限と下限を表すだけです。例えば、という数列はという数列と同じであり、「無限大」という追加の項は含まれていません。という数列は双無限数列であり、と表記することもできます。 ${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ $\infty$ $-\infty$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

添え字の集合が理解できる場合、添え字と上付き文字は省略されることが多い。つまり、任意の数列を表すために単に記述する。添え字kは1から∞までの範囲であると理解されることが多い。しかし、数列は0から始まる添え字で表されることも多い。例えば、 ${\textstyle (a_{k})}$

{(a_{k})}_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).

場合によっては、数列の要素が、パターンを容易に推測できる整数の列と自然に関連していることがあります。このような場合、最初のいくつかの抽象要素を列挙することで、添え字集合を暗示することができます。例えば、奇数の平方数の数列は、次のいずれかの方法で表記できます。

$(1,9,25,\ldots )$
$(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
${\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }$

さらに、添え字集合が自然数であると理解されていれば、3番目、4番目、5番目の表記法では下付き文字と上付き文字を省略することもできた。2番目と3番目の箇条書きでは、明確に定義された数列が存在するが、それは式で表される数列と同じではない。 ${\textstyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty }}$

再帰によるシーケンスの定義

要素が前の要素と直接的に関連付けられているシーケンスは、多くの場合、再帰を用いて定義されます。これは、要素のシーケンスをその位置の関数として定義することとは対照的です。

再帰によってシーケンスを定義するには、各要素をその前の要素に基づいて構築するための、再帰関係と呼ばれる規則が必要です。さらに、シーケンスの以降のすべての要素が再帰関係の連続的な適用によって計算できるように、十分な初期要素を用意する必要があります。

フィボナッチ数列は、再帰関係によって定義される単純な古典的な例である。

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},

初期項はおよびです。簡単な計算により、この数列の最初の10項は0、1、1、2、3、5、8、13、21、34であることがわかります。 $a_{0}=0$ $a_{1}=1$

再帰関係によって定義されるシーケンスの複雑な例としては、再帰関係によって定義されるレカマンシーケンス^[4]が挙げられる。

{\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}

初期期間付き $a_{0}=0.$

定数係数の線形回帰は、次のような形式の回帰関係である。

a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

ここでは定数です。このような数列の一般項を $nの関数として表す一般的な方法があります。$ 線形回帰を参照してください。フィボナッチ数列の場合、となり、結果として得られる $nの関数は$ ビネの公式で与えられます。 $c_{0},\dots ,c_{k}$ $a_{n}$ $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$

ホロノミック列は、次の形式の再帰関係によって定義される列である。

a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

ここで、は $n$ の多項式です。ほとんどのホロノミック列には、 $n$ の関数として表す明示的な式はありません。しかしながら、ホロノミック列は数学の様々な分野で重要な役割を果たします。例えば、多くの特殊関数は、係数列がホロノミックなテイラー級数を持ちます。漸化式を用いることで、このような特殊関数の値を高速に計算することができます。 $c_{1},\dots ,c_{k}$ $a_{n}$

すべての数列が漸化式で指定できるわけではありません。例えば、自然数列（2、3、5、7、11、13、17、…）は、その自然数列にあたります。

正式な定義と基本的な性質

意味

形式的には、数列は自然数（数列の要素の位置）から各位置の要素への関数として定義できます。本稿では、数列は整数の区間を定義域とする関数として正式に定義されます。この定義は、「数列」という語の様々な用法、例えば片側無限数列、双無限数列、有限数列（これらの数列の定義については後述）を網羅しています。しかし、多くの著者は、数列の定義域を自然数の集合とすることで、より狭義の定義を用いています。この狭義の定義には、有限数列と双無限数列（どちらも標準的な数学の実践では数列と呼ばれます）を排除してしまうという欠点があります。また、数列の最初の項を削除した場合、この定義に適合させるために残りの項の添字付けをやり直す必要があるという欠点もあります。文脈によっては、説明を簡略化するために、数列の余定域が文脈によって固定されることがあります。例えば、実数の集合^[5] 、複素数の集合^[6] 、または位相空間^[7]であることが要求されます。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

シーケンスは関数の一種ですが、通常、入力が括弧ではなく添え字として記述される（つまり、 $($ $n ) ではなく n$ $）$ $という$ $点$ で $、$ 表記上は関数と区別されます。用語上の違いもあります。最も小さい入力（多くの場合 1）でのシーケンスの値はシーケンスの「最初の要素」と呼ばれ、2 番目に小さい入力（多くの場合 2）での値は「2 番目の要素」などと呼ばれます。また、入力から抽象化された関数は通常、fのように 1 文字で表されますが、入力から抽象化されたシーケンスは通常、、または単になどの表記で表されます。ここで、 $A$ はシーケンスのドメイン、またはインデックスセットです。 ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$ ${\textstyle (a_{n}).}$

シーケンスとその極限（下記参照）は、位相空間を研究する上で重要な概念です。シーケンスの重要な一般化として、ネットの概念があります。ネットとは、（おそらくは非可算な）有向集合から位相空間への関数です。シーケンスの表記法は通常、ネットにも適用されます。

有限と無限

シーケンスの長さは、シーケンス内の項の数として定義されます。

有限長のシーケンスは有限シーケンスと呼ばれます。長さ $n$ の有限シーケンスは $n$ 組とも呼ばれます。有限シーケンスには、要素を持たない空シーケンス $（ ( )$ と表記）が含まれます。

通常、無限列という用語は、一方向には無限で、他方向には有限な列を指します。このような列には最初の要素がありますが、最後の要素はなく、明確に区別する必要がある場合は単無限列または片側無限列と呼ばれます。対照的に、両方向に無限である列、つまり最初の要素も最後の要素もない列は、双無限列、双方向無限列、または二重無限列と呼ばれます。すべての整数の集合から集合、たとえばすべての偶数の整数の列 (...、-4、-2、0、2、4、6、8、...) への関数は双無限です。この列はと表記されます。 $\mathbb {Z}$ ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$

増加と減少

数列の各項がその前の項以上である場合、その数列は単調増加であるといいます。たとえば、数列が単調増加である場合と、すべての項が次の式を満たす場合とで同じです。連続する各項が前の項より厳密に大きい (>) 場合、数列は厳密に単調増加であるといいます。連続する各項が前の項以下である場合、数列は単調減少であり、各項が前の項より厳密に小さい場合、数列は厳密に単調減少です。数列が増加または減少する場合、それは単調数列と呼ばれます。これは、より一般的な単調関数の概念の特殊なケースです。 ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ $n\in \mathbf {N} .$

非減少および非増加という用語は、それぞれ厳密に増加するおよび厳密に減少するとの混同を避けるために、増加するおよび減少する代わりによく使用されます。

境界付き

実数列 ( a _n ) のすべての項がある実数Mより小さい場合、その列は上から有界であると言われます。言い換えると、すべてのnに対してa _n ≤ MとなるM が存在することを意味します。このようなMは上限と呼ばれます。同様に、ある実数mに対して、あるNより大きいすべてのnに対してa _n ≥ mである場合、その列は下から有界であり、そのようなmは下限と呼ばれます。列が上からも下からも有界である場合、その列は有界であると言われます。

部分列

与えられた数列の部分列とは、与えられた数列からいくつかの要素を削除することで、残りの要素の相対的な位置を変えずに形成された数列のことです。例えば、正の偶数の数列 (2, 4, 6, ...) は、正の整数の数列 (1, 2, 3, ...) の部分列です。他の要素を削除すると、一部の要素の位置は変化しますが、相対的な位置は保持されます。

正式には、シーケンスの部分シーケンスは、という形式のシーケンスです。ここで、は正の整数の厳密に増加するシーケンスです。 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$

その他の種類のシーケンス

簡単に定義できる他のタイプのシーケンスには次のものがあります。

整数シーケンスは、項が整数であるシーケンスです。
多項式列は、項が多項式である列です。
正の整数列は、nとmが互いに素であるすべてのn、mのペアに対してa _nm = a _n a _mが成り立つとき、乗法的と呼ばれることがあります。^[8]また、すべてのnに対してa _n = na ₁が成り立つとき、その列は乗法的と呼ばれることがよくあります。さらに、乗法的なフィボナッチ数列^[9]は、再帰関係a _n = a _n₋₁a _n₋₂を満たします。
バイナリシーケンスとは、その項が 2 つの離散値のいずれかを持つシーケンスです。たとえば、2 進数の値 (0、1、1、0、...)、一連のコイン投げ (表/裏) H、T、H、H、T、...、一連の True または False の質問に対する回答 (T、F、T、T、...) などです。

限界と収束

数列の重要な性質の一つに収束性があります。数列が収束する場合、それは極限と呼ばれる特定の値に収束します。数列が何らかの極限に収束する場合、それは収束性があります。収束しない数列は発散性があります。

非公式には、シーケンスの要素がある値（シーケンスの極限と呼ばれる）にどんどん近づいていき、に任意に近い値を維持している場合、シーケンスには極限があります。つまり、0 より大きい実数が与えられると、シーケンスの有限個を除くすべての要素はからまでの距離が未満になります。 $L$ $L$ $d$ $L$ $d$

たとえば、右に示すシーケンスは値 0 に収束します。一方、シーケンス(1、8、27、... で始まる) とシーケンス (-1、1、-1、1、... で始まる) はどちらも発散します。 ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ $c_{n}=(-1)^{n}$

数列が収束する場合、収束する値は一意です。この値は数列の極限と呼ばれます。収束数列の極限は通常と表記されます。が発散数列の場合、この式は意味を持ちません。 $(a_{n})$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ $(a_{n})$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

収束の正式な定義

実数の列が実数に収束するとは、すべてのに対して、すべてのに対して成り立つ自然数が存在するときである^[5] $(a_{n})$ $L$ $\varepsilon >0$ $N$ $n\geq N$

|a_{n}-L|<\varepsilon .

が実数列ではなく複素数列の場合でも、が複素係数を表すという条件付きで、この最後の式を使用して収束を定義できます。つまり、が距離空間内の点の列である場合、式をとの間の距離を表す式に置き換えると、式を使用して収束を定義できます。 $(a_{n})$ $|\cdot |$ $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ $(a_{n})$ $|a_{n}-L|$ $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ $a_{n}$ $L$

応用と重要な結果

とが収束する列である場合、以下の極限が存在し、次のように計算できる：^[5]^[10] $(a_{n})$ $(b_{n})$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ すべての実数について $c$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$ ただし、 $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}$ すべての人のために $p>0$ $a_{n}>0$

さらに：

すべてのに対してがあるより大きい場合、となります。^[a] $a_{n}\leq b_{n}$ $n$ $N$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$
(スクイーズ定理)がすべてのおよびに対してとなる数列である
場合、は収束し、となります。 $(c_{n})$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $n>N$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$
$(c_{n})$ $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$
シーケンスが有界かつ単調である場合、それは収束します。
シーケンスが収束するのは、そのサブシーケンスがすべて収束する場合のみです。

コーシー列

コーシー列とは、nが非常に大きくなるにつれて項が任意に接近する列である。コーシー列の概念は、距離空間における列の研究、特に実解析において重要である。実解析における特に重要な結果の一つは、列の収束に関するコーシーの特徴づけである。

実数列は、コーシーである場合に限り、実数収束（実数において）します。

対照的に、有理数において収束しない有理数のコーシー列も存在します。例えば、とで定義される列はコーシー列ですが、有理数極限を持ちません（コーシー列 § 非例：有理数を参照）。より一般的には、無理数に収束する有理数列はすべてコーシー列ですが、有理数集合における列として解釈した場合には収束しません。 $x_{1}=1$ $x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}$

シーケンスの収束に関するコーシーの特徴を満たす距離空間は、完全距離空間と呼ばれ、分析に特に適しています。

無限の限界

微積分学では、上で述べた意味で収束せず、代わりに任意の大きさになり、その大きさを維持したり、任意の負の値になり、その大きさを維持したりする数列の表記法を定義することが一般的です。がとして任意の大きさになる場合、次のように書きます。 $a_{n}$ $n\to \infty$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .

この場合、数列は発散する、あるいは無限大に収束すると言います_。このような数列の例として、n = nが挙げられます。

が任意に負（つまり負で大きさが大きい）になるとき、 $a_{n}$ $n\to \infty$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty

そして、その数列は負の無限大に発散または収束すると言えます。

シリーズ

級数とは、非公式には、数列の項の和です。つまり、またはという形式の式です。ここでは実数または複素数の列です。級数の部分和は、無限大記号を有限数に置き換えた式です。つまり、級数のN番目の部分和は次の数です。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ $a_{1}+a_{2}+\cdots$ $(a_{n})$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.

部分和自体は列を形成し、これは級数の部分和の列と呼ばれます。部分和の列が収束する場合、級数は収束すると言い、その極限は級数の値と呼ばれます。級数とその値を表すのに同じ表記法が用いられ、つまりと書きます。 $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

他の数学分野での活用

トポロジー

シーケンスは位相幾何学、特に距離空間の研究において重要な役割を果たします。例えば：

距離空間がコンパクトであるとは、それが逐次コンパクトであるときとまったく同じです。
ある距離空間から別の距離空間への関数は、収束するシーケンスを収束するシーケンスに変換するときに正確に連続になります。
距離空間が連結空間となるのは、空間が 2 つの集合に分割されるとき、その 2 つの集合の 1 つに、もう 1 つの集合の点に収束するシーケンスが含まれる場合のみです。
位相空間は、点の稠密な列が存在する場合に正確に分離可能です。

シーケンスはネットやフィルタに一般化できます。これらの一般化により、上記の定理のいくつかを計量を持たない空間に拡張することができます。

製品トポロジー

位相空間の列の位相積は、積位相と呼ばれる自然な位相を備えたそれらの空間の直積です。

より正式には、空間の列が与えられたとき、積空間 $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$

X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},

は、各iに対してがの元となるようなすべての列の集合として定義されます。標準的な射影は、方程式によって定義される写像p _i : X → X _iです。すると、X上の積位相は、すべての射影p _iが連続となるような最も粗い位相（つまり、開集合が最も少ない位相）として定義されます。積位相は、ティコノフ位相と呼ばれることもあります。 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $x_{i}$ $X_{i}$ $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$

分析

解析におけるシーケンスについて議論する場合、一般的に次のようなシーケンスが考えられます。

(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )

つまり、自然数でインデックス付けされた要素の無限シーケンスです。

シーケンスは、1 または 0 以外のインデックスで始まる場合があります。たとえば、x _n = 1/ log ( n ) で定義されるシーケンスは、 n ≥ 2に対してのみ定義されます。このような無限シーケンスについて話すときは、シーケンスのメンバーが少なくとも十分に大きいすべてのインデックス、つまり、特定のNよりも大きいすべてのインデックスに対して定義されていると想定すれば、通常は十分です (ほとんどの考慮事項ではあまり変わりません) 。

最も基本的な数列は数値数列、すなわち実数または複素数の数列である。この数列は、あるベクトル空間の元の数列に一般化できる。解析学では、ベクトル空間はしばしば関数空間として扱われる。さらに一般的には、ある位相空間の元を持つ数列を研究することができる。

シーケンス空間

数列空間は、実数または複素数の無限数列を要素とするベクトル空間である。同様に、数列空間は、自然数から体Kへの関数を要素とする関数空間でもある。ここで、Kは実数体または複素数体である。このような関数全体の集合は、Kを要素とするすべての可能な無限数列の集合と自然に同一視され、関数の点ごとの加法および点ごとのスカラー乗算の演算によってベクトル空間に変換できる。すべての数列空間はこの空間の線型部分空間である。数列空間は通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。

解析学において最も重要な列空間は、 p乗の加法列から成り、 pノルムを持つ ℓ ^p空間である。これらは、自然数集合上の計数測度に対するL ^p 空間の特殊なケースである。収束列やヌル列といった他の重要な列のクラスは、それぞれcおよびc ₀と表記され、sup ノルムを持つ列空間を形成する。任意の列空間は点収束の位相を備えることができ、その場合、FK空間と呼ばれる特殊な種類のフレシェ空間となる。

線形代数

体上の数列は、ベクトル空間のベクトルとして見ることもできます。具体的には、 F値数列（Fは体）の集合は、自然数集合上のF値関数の関数空間（実際には積空間）です。

抽象代数

抽象代数学では、群や環などの数学的オブジェクトのシーケンスを含む、いくつかの種類のシーケンスが使用されます。

自由モノイド

A が集合である場合、 A上の自由モノイド（A ^*と表記され、Aのクリーネスターとも呼ばれる）は、 Aの零個以上の要素からなる有限列（または文字列）すべてを含み、二項演算として連結できるモノイドである。自由半群A ⁺は、空列を除くすべての要素を含むA ^*の部分半群である。

正確なシーケンス

群論の文脈では、列

G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}

群と群準同型のは、各準同型の像（または値域）が次のの核に等しいとき、正確と呼ばれます。

\mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})

群と準同型のシーケンスは有限または無限のいずれかになります。

同様の定義は、他の代数構造にも適用できます。例えば、ベクトル空間と線型写像の正確な列、あるいは加群と加群準同型の正確な列などです。

スペクトル列

ホモロジー代数と代数的位相幾何学において、スペクトル列は逐次近似によってホモロジー群を計算する手段である。スペクトル列は完全列の一般化であり、ジャン・ルレー（1946）によって導入されて以来、特にホモトピー理論において重要な研究ツールとなっている。

集合論

順序数列は、列の一般化です。α が極限順序数でX が集合である場合、 Xの要素の α インデックス列は、 α からXへの関数です。この用語では、 ω インデックス列は通常の列です。

コンピューティング

コンピュータサイエンスでは、有限のシーケンスはリストと呼ばれます。潜在的に無限のシーケンスはストリームと呼ばれます。文字または数字の有限のシーケンスは文字列と呼ばれます。

ストリーム

有限のアルファベットから抽出された数字（または文字）の無限列は、理論計算機科学において特に興味深いものです。これらは、有限の文字列とは対照的に、単に列またはストリームと呼ばれることがよくあります。例えば、無限二進列は、ビット（アルファベット{0, 1}から抽出された文字）の無限列です。すべての無限二進列の集合C = {0, 1} ^∞は、カントール空間と呼ばれることもあります。

無限二進数列は、n番目の文字列（shortlex順）がその言語に含まれる場合にのみ、n番目のビットを1に設定することで、形式言語（文字列の集合）を表すことができます。この表現は、証明のための対角化法において有用です。^[11]

参照

オペレーション

コーシー積

例

種類

関連概念

注記

^ 不等式を厳密な不等式に置き換えると、これは偽になります。すべてのに対してとなるシーケンスが存在しますが、となります。 $a_{n}<b_{n}$ $n$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

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外部リンク

「数列」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
整数列のオンライン百科事典
整数列ジャーナル（無料）

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[11] 不等式を厳密な不等式に置き換えると、これは偽になります。すべてのに対してとなるシーケンスが存在しますが、となります。 $a_{n}<b_{n}$ $n$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

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v t e 関数
歴史具体的な機能一覧
ドメインとコドメインによる型	$X \to 𝔹$ $𝔹 \to X$ $𝔹ⁿ \to X$ $X \to ℤ$ $ℤ \to X$ $X \to ℝ$ $ℝ \to X$ $ℝⁿ \to X$ $X \to ℂ$ $ℂ \to X$ $ℂⁿ \to X$
クラス/プロパティ	絶え間ない身元リニア多項式ラショナル代数的分析的スムーズ連続測定可能単射射影的全単射
建設	制限構成 λ 逆
一般化	関係（二項関係）設定値多値部分的暗黙空間高次のモルフィズムファンクタ
カテゴリ

権限管理データベース
国際的	GND 速い
全国	アメリカ合衆国フランス BnFデータチェコ共和国スペインイスラエル
他の	イェール・ラックス

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ドメインとコドメインによる型	$X \to 𝔹$ $𝔹 \to X$ $𝔹ⁿ \to X$ $X \to ℤ$ ℤ → X $X \to ℝ$ $ℝ \to X$ $ℝⁿ \to X$ $X \to ℂ$ $ℂ \to X$ $ℂⁿ \to X$
クラス/プロパティ	絶え間ない身元リニア多項式ラショナル代数的分析的スムーズ連続測定可能単射射影的全単射
建設	制限構成 λ 逆
一般化	関係（二項関係）設定値多値部分的暗黙空間高次のモルフィズムファンクタ
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全国	アメリカ合衆国フランス BnFデータチェコ共和国スペインイスラエル
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