双線形写像

Function of two vectors linear in each argument

数学において、双線型写像とは、 2つのベクトル空間の要素を結合して3つ目のベクトル空間の要素を生成する関数であり、その各引数について線型である。行列の乗算がその一例である。

双線形写像はモジュールに対しても定義できます。詳しくは、pairing の記事を参照してください。

意味

ベクトル空間

とを同じ基底体上の3つのベクトル空間とします。双線型写像とは、すべての に対して写像が からへの線型写像であり、すべての に対して写像が からへの線型写像であるような関数です。言い換えれば、双線型写像の2番目の要素を固定し、最初の要素を変化させて とすると、結果は線型演算子となり、同様に最初の要素を固定すると となります。 ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle B:V\times W\to X}$$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle B_{w}}$ $${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle B_{v}}$ $${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B_{w}}$

このようなマップは次の特性を満たします。 ${\displaystyle B}$

• いずれの場合も、 ${\displaystyle \lambda \in F}$ ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• マップは両方のコンポーネントで加算されます: ifとthenと ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

かつ、すべての場合においてB ( v , w ) = B ( w , v )が成り立つとき、 Bは対称であると言える。Xが基底体Fである場合、写像は双線型形式と呼ばれ、よく研究されている（例えば、スカラー積、内積、二次形式など）。 ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle v,w\in V,}$

モジュール

体F上のベクトル空間の代わりに可換環R上の加群を用いても、定義は変更なく成立する。これはn元関数に一般化され、その適切な項は多重線型となる。

非可換環RとS、左R加群M、右S加群Nに対して、双線型写像とは、 Tが( R , S )双加群である写像B  : M × N → Tであり、これに対してNの任意のn , m ↦ B ( m , n )はR加群準同型であり、Mの任意のmに対してn ↦ B ( m , n )はS加群準同型である。これは次式を満たす。

B ( r ⋅ m , n ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

Mのm、Nのn、Rのr、Sのsのすべてについて、また各引数においてBは加算的です。

プロパティ

定義から直接導かれる結論は、v = 0 _Vまたはw = 0 _Wの場合には常にB ( v , w ) = 0 _Xとなることである。これは、零ベクトル0 _Vを0 ⋅ 0 _{V （ 0 W}についても同様）と書き、スカラー 0 を線形性によってBの「外側」、つまり前方に移動させることで確認できる。

すべての双線形写像の集合L ( V , W ; X )は、 V × WからXへのすべての写像の空間 (つまりベクトル空間、モジュール) の線形部分空間です。

V、W、Xが有限次元であれば、L ( V、W ; X )も有限次元です。つまり、双線型形式では、この空間の次元はdim V × dim Wです（線型形式の空間L ( V × W ; F )は次元dim V + dim Wです）。これを確認するには、VとWの基底を選択します。すると、各双線型写像は行列B ( e _i、f _j )で一意に表すことができ、その逆も同様です。ここで、X が高次元の空間であれば、明らかにdim L ( V、W ; X ) = dim V × dim W × dim Xが成り立ちます。 ${\displaystyle X=F,}$

例

• 行列の乗算は双線形写像M( m , n )×M( n , p )→M( m , p )です。
• 実数上のベクトル空間 Vが内積を持つ場合、その内積は双線型写像である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• 一般に、体F上のベクトル空間Vに対して、V上の双線型形式は双線型写像V × V → Fと同じである。
• V が双対空間 V ^{∗ を}持つベクトル空間である場合、標準評価写像b ( f , v ) = f ( v )はV ^∗ × Vから基本体への双線型写像です。
• VとWを同じ基底体F上のベクトル空間とする。fがV ^∗の元であり、gがW ^∗の元であるとき、b ( v , w ) = f ( v ) g ( w )は双線型写像V × W → Fを定義する。
• のクロス積は双線形写像である ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• を双線型写像、を線型写像とすると、( v , u ) ↦ B ( v , Lu )はV × U上の双線型写像です。 ${\displaystyle B:V\times W\to X}$ ${\displaystyle L:U\to W}$

連続性と分離した連続性

とを位相ベクトル空間とし、を双線型写像とする。このときbは ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$次の 2 つの条件が満たされる場合、別々に連続します。

1. によって与えられるすべての写像は連続である。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. によって与えられるすべてのマップは連続です。 ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

連続ではないが別々に連続する双線型写像の多くは、追加の性質である「亜連続性」を満たします。^[1] すべての連続双線型写像は亜連続です。

継続性のための十分な条件

現実に現れる多くの双線型写像は別々に連続ですが、すべてが連続であるとは限りません。ここでは、別々に連続な双線型写像が連続であるための十分条件を挙げます。

• Xがベール空間でYが計量化可能ならば、すべての別々に連続な双線型写像は連続である。^[1] ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• がフレシェ空間の強双対であるとき、すべての別々に連続な双線型写像は連続である。^[1] ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• 双線形写像が(0, 0)で連続であれば、それはどこでも連続である。^[2]

構成マップ

を局所凸ハウスドルフ空間とし、を合成写像とすると 、一般に双線型写像は連続ではない（線型写像の空間がどのような位相で与えられても）。しかし、以下の結果が得られる。 ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ ${\displaystyle C}$

線型写像の 3 つの空間すべてに、次の位相のいずれかを与えます。

1. これら 3 つすべてに有界収束の位相を与える。
2. これら3つすべてにコンパクト収束の位相を与える。
3. これら 3 つすべてに点単位収束の位相を与えます。

• が の等連続部分集合である場合、制約は3つの位相すべてに対して連続である。^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L(Y;Z)}$ ${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• が樽型空間である場合、におけるに収束するすべての列とにおけるに収束するすべての列に対して、におけるはに収束する^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L(Y;Z),}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v\circ u}$ ${\displaystyle L(Y;Z).}$

参照

• テンソル積 – ベクトル空間上の数学演算
• セクスティリニア形式 – 複素内積の一般化
• 双線形フィルタリング - 2次元グリッド上の関数を補間する方法Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 多重線形写像 – 各引数が線形である複数のベクトルのベクトル値関数

参考文献

1. Treves 2006、pp. 424–426。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、118ページ。

参考文献

• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

外部リンク

• 「双線形写像」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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