双一次変換

Signal processing operation

双一次変換がZ平面をS平面に写像する方法。線形制御システムの極の不安定領域は網掛けで示されている。

双線形変換（アーノルド・タスティンにちなんでタスティン法とも呼ばれる）は、デジタル信号処理および離散時間制御理論において、連続時間システム表現を離散時間に変換したり、その逆を行ったりするために使用されます。

双線形変換は、等角写像の特殊なケース（つまり、メビウス変換）であり、連続時間領域の線形時間不変（LTI）フィルタ（多くの場合、アナログフィルタと呼ばれます）の伝達関数 を離散時間領域の線形シフト不変フィルタ（多くの場合、デジタルフィルタと呼ばれますが、離散時間フィルタであるスイッチドキャパシタで構成されたアナログフィルタもあります）の伝達関数に変換する場合によく使用されます。これは、 s 平面の軸上の位置、を z 平面の単位円、、にマッピングします。その他の双線形変換は、離散時間線形システムの周波数応答をワープするために使用でき（たとえば、人間の聴覚システムの非線形周波数分解能を近似するため）、システムの単位遅延を1 次オールパスフィルタで置き換えることによって離散領域に実装できます。 ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$

この変換は安定性を維持し、連続時間フィルタの周波数応答におけるすべての点を、離散時間フィルタの周波数応答における対応する点にマッピングします。ただし、以下の「周波数ワーピング」セクションに示すように、その周波数は多少異なります。つまり、アナログフィルタの周波数応答で確認できるすべての特徴に対して、デジタルフィルタの周波数応答にも、ゲインと位相シフトは同じですが、おそらく周波数が多少異なる対応する特徴が存在することになります。周波数の変化は低周波数ではほとんど目立ちませんが、ナイキスト周波数に近い周波数では顕著です。 ${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$ ${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$

離散時間近似

双線形変換は、 z平面からs平面への正確な写像である自然対数関数の1次パデ近似である。離散時間信号（離散時間系列の各要素に、対応する遅延単位インパルスが付加されている）に対してラプラス変換を実行すると、結果は離散時間系列のZ変換に次の置き換えを加えたものと正確に一致する。

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

ここで、は双線形変換の導出に用いられる台形則の数値積分ステップサイズである^[1]。言い換えれば、サンプリング周期である。上記の双線形近似は について解くことができ、また についても同様の近似を実行することができる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$

この写像の逆写像（およびその一次双線形近似）は

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

双線形変換は本質的にこの一次近似を使用し、連続時間伝達関数に代入する。 ${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

つまり

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

安定性と最小位相特性が維持される

連続時間因果フィルタは、その伝達関数の極が複素s平面の左半分に位置する場合に安定である。離散時間因果フィルタは、その伝達関数の極が複素z平面の単位円の内側に位置する場合に安定である。双線形変換は、複素s平面の左半分をz平面の単位円の内側に写像する。したがって、連続時間領域で設計された安定フィルタは、その安定性を維持する離散時間領域のフィルタに変換される。

同様に、連続時間フィルタは、その伝達関数の零点が複素s平面の左半分に位置する場合、最小位相フィルタと呼ばれます。離散時間フィルタは、その伝達関数の零点が複素z平面の単位円内に位置する場合、最小位相フィルタと呼ばれます。そして、同じ写像特性により、最小位相フィルタである連続時間フィルタは、最小位相フィルタであるという特性を保持する離散時間フィルタに変換されます。

一般的なLTIシステムの変革

一般的なLTI システムには、伝達関数があります。伝達関数の次数Nは、 PとQのうち大きい方です(伝達関数はシステムが安定するためにプロパーでなければならないため、実際にはPになる可能性が高いです)。 Kが2/ Tとして定義されるか、周波数ワーピングを使用する場合はそれ以外の場合に、双線形変換を適用すると、次のようになります。分子と分母に、存在する( z + 1) ⁻¹の最大の累乗( z + 1) ^{− N}を乗じる と、次のようになります。ここで、変換後、分子と分母の次数は両方ともNであることがわかります。 $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$ $${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$

次に、連続時間伝達関数の極零点形式を考えてみましょう。分子多項式と分母多項式の根ξ _iとp _iは、システムの零点と極です。双線形変換は1対1の写像であるため、これらをz領域に変換して、離散化伝達関数の零点と極の一部ξ' _iとp' _iを得ることができます 。前述のように、分子と分母の次数はどちらもNです。つまり、零点と極の数が同数になります。( z + 1) ^{− N}による乗算は、追加の零点または極が^[2]であることを意味します。 零点と極の完全なセットが与えられると、z領域伝達関数は次のようになります。 $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$ $${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

例

例として、単純なローパス RCフィルタを考えてみましょう。この連続時間フィルタの伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

このフィルタをデジタルフィルタとして実装する場合は、上記の式を代入して双線形変換を適用できます。少し手を加えると、次のフィルタ表現が得られます。 ${\displaystyle s}$

${\displaystyle H_{d}(z)\ }$	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{1+RC\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1+z}{(1-2RC/T)+(1+2RC/T)z}}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1+z^{-1}}{(1+2RC/T)+(1-2RC/T)z^{-1}}}.\ }$

分母の係数は「フィードバック」係数であり、分子の係数はリアルタイムデジタル フィルタの実装に使用される「フィードフォワード」係数です。

一般的な1次連続時間フィルタの変換

連続時間アナログフィルタの係数を、双線形変換処理によって作成された同様の離散時間デジタルフィルタの係数と関連付けることが可能です。一般的な1次連続時間フィルタを、与えられた伝達関数で変換すると、

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

双線形変換（周波数指定を事前にワープしない）を使用するには、

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

どこ

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$。

しかし、以下に説明する周波数ワーピング補正を双一次変換で使用して、アナログフィルタとデジタルフィルタのゲインと位相が周波数で一致するようにすると、 ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$。

これにより、元の連続時間フィルタの係数で表される係数を持つ離散時間デジタルフィルタが生成されます。

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

通常、分母の定数項は、対応する差分方程式を導く前に1に正規化する必要がある。その結果、

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

差分方程式（直接形Iを使用）は

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

一般的な2次双四次変換

同様のプロセスは、与えられた伝達関数を持つ一般的な2次フィルタにも適用できる。

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

これにより、元の連続時間フィルタの係数で表される係数を持つ離散時間デジタル双二次フィルタが生成されます。

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

ここでも、分母の定数項は、対応する差分方程式を導く前に、一般に1に正規化される。その結果、

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

差分方程式（直接形Iを使用）は

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

周波数ワーピング

連続時間フィルタの周波数応答を決定するには、が 軸上にあるにおける伝達関数 を評価します。同様に、離散時間フィルタの周波数応答を決定するには、が単位円 上にある における伝達関数を評価します。双線形変換は、の領域であるs平面の軸をの領域であるz平面の単位円にマッピングしますが、これは、軸を単位円にマッピングするのと同じマッピングではありません。 の実際の周波数が、双線形変換を使用して設計された離散時間フィルタに入力される場合、連続時間フィルタのどの周波数 にこれがマッピングされるかを知ることが望まれます。 ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{sT}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega _{d}T}-1}{e^{j\omega _{d}T}+1}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)/(2j)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)/2}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\sin(\omega _{d}T/2)}{\cos(\omega _{d}T/2)}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega _{d}T/2\right)\right)}$

これは、離散時間フィルタのz平面上の単位円上のすべての点が、連続時間フィルタのs平面上の軸上の点に写像されることを示しています。つまり、双一次変換の離散時間から連続時間への周波数写像は、 ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

そして逆写像は

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

離散時間フィルタは、周波数 において、連続時間フィルタが周波数 で動作する場合と同じように動作します。具体的には、離散時間フィルタが周波数 で持つゲインと位相シフトは、連続時間フィルタが周波数 で持つゲインと位相シフトと同じです。つまり、連続時間フィルタの周波数応答で見えるすべての特徴、すべての「隆起」は、離散時間フィルタでも見えますが、周波数は異なります。低周波数（つまり、 または の場合）では、特徴はわずかに異なる周波数にマッピングされます。 ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$

連続した周波数範囲全体にわたって

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

基本周波数間隔にマッピングされる

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

連続時間フィルタ周波数は離散時間フィルタ周波数に対応し、連続時間フィルタ周波数は離散時間フィルタ周波数に対応する。 ${\displaystyle \omega _{a}=0}$ ${\displaystyle \omega _{d}=0}$ ${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$ ${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T.}$

また、と の間には非線形関係があることも分かります。 この双線形変換の効果は周波数ワーピングと呼ばれます。連続時間フィルタは、設計者が制御できるすべての周波数仕様（コーナー周波数や中心周波数など）に対して を設定することで、この周波数ワーピングを補正するように設計できます。これはフィルタ設計のプリワーピングと呼ばれます。 ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}.}$ ${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

しかし、連続時間システムの周波数仕様（通常は共振周波数または周波数応答の最も重要な特徴の周波数）を事前にワーピングすることにより、周波数の歪みを補正することが可能です。これらの事前にワーピングされた仕様は、双線形変換で使用して、目的の離散時間システムを得ることができます。連続時間フィルタの近似としてデジタルフィルタを設計する場合、次の変換を連続フィルタの伝達関数に代入すると、デジタルフィルタの周波数応答（振幅と位相の両方）を、指定された周波数で連続フィルタの周波数応答と一致させることができ、DCでも一致させることができます。^[3]これは、上記のTustinの変換の修正版です。 ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

ただし、この変換は元の変換になることに注意してください

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

として。 ${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$

ワーピング現象の主な利点は、インパルス不変性で観察されるような周波数応答特性のエイリアシング歪みがないことです。

参照

• インパルス不変性
• マッチングZ変換法

参考文献

1. オッペンハイム、アラン (2010). 『離散時間信号処理 第3版』アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: ピアソン高等教育社、p. 504. ISBN 978-0-13-198842-2。
2. Bhandari, Ayush. 「DSPとデジタルフィルタの講義ノート」(PDF) 。 2022年3月3日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2022年8月16日閲覧。
3. アストロム、カール・J. (1990).コンピュータ制御システムの理論と設計（第2版）. プレンティス・ホール. p. 212. ISBN 0-13-168600-3。

外部リンク

• MIT OpenCourseWare 信号処理：連続から離散へのフィルタ設計
• 離散等価物に関する講義ノート
• VAフィルタ設計の芸術

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