2進化10進数

2進時計は、2進値を表すためにLEDを使用する場合があります。この時計では、LEDの各列は、伝統的な60進法の時刻の2進化10進数を表示します

コンピューティングおよび電子システムにおいて、 2進化10進数（BCD ）は、 10進数の2進符号化の一種であり、各桁は通常4または8ビットの固定ビット数で表されます。符号やその他の表示（エラーやオーバーフローなど）には、特別なビットパターンが使用される場合があります。

バイト指向システム（つまり、ほとんどの最新コンピュータ）では、アンパックBCD [1]という用語は通常、各桁が完全なバイト（多くの場合、符号を含む）であることを意味しますが、パックBCDは通常、0から9の範囲を表すのに4ビットで十分であるという事実を利用して、1バイト内に2桁をエンコードします。ただし、正確な4ビットエンコードは技術的な理由（例：Excess-3）により異なる場合があります。

BCDの桁を表す10個の状態は、テトラド[2] [3]と呼ばれることもあります（通常、それらを保持するために必要なニブルもテトラドと呼ばれます）。一方、未使用のドントケア状態は、疑似テトラド[de]、[4] [5] [6] [7] [8] 、 疑似10進数、[3]、または疑似10進数と呼ばれます。[9] [10] [注1]

2進位置システムと比較したBCDの主な利点は、10進数の量のより正確な表現と丸め、そして従来の人間が読める表現への変換の容易さです。主な欠点は、基本的な算術演算を実装するために必要な回路の複雑さがわずかに増加することと、ストレージ密度がわずかに低いことです

BCDは多くの初期の10進コンピュータで使用されており、IBM System/360シリーズとその後継機、DECのVAX、Burroughs B1700、Motorola 68000シリーズプロセッサ などのマシンの命令セットに実装されています

BCD自体は以前ほど広く使用されておらず、新しい命令セット（例：ARM、x86のロングモード）では利用できないか、制限されています。しかし、10進固定小数点形式と10進浮動小数点形式は依然として重要であり、金融​​、商業、産業用コンピューティングでは、 2進浮動小数点形式に固有の微妙な変換誤差や小数点の丸め誤差が許容されないため、引き続き使用されています。 [11]

背景

BCDは、任意の10進数を4ビットのパターンで表すことができるという事実を利用しています。数字をエンコードする明白な方法は、自然BCD（NBCD）です。これは、次の表に示すように、各10進数字が対応する4ビットの2進値で表されます。これは「8421」エンコードとも呼ばれます。

10進数BCD
8421
00000
10001
20010
30011
40100
50101
60110
70111
81000
91001

この方式は、単純2進化10進数（SBCD）またはBCD 8421とも呼ばれ、最も一般的な符号化方式です。[12]その他には、ビットの重み付けにちなんで名付けられた、いわゆる「4221」および「7421」符号化方式や、「Excess-3」符号化方式があります。[13]例えば、BCDの数字6は、0110'b8421表記では1100'b4221（2つの符号化方式が可能）、0110'b7421では（）ですが、Excess-3では1001'b（）です。

4ビットBCDコードと擬似4進数
ビット重み 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415        コメント        
4800000000111111112進数
340000111100001111
220011001100110011
110101010101010101
名称012345678910111213141510進数
8 4 2 1 (XS-0)0123456789101112131415[14] [15] [16] [17] [注2]
7 4 2 10123456 789     [18] [19] [20]
エイケン(2 4 2 1)01234      56789[14] [15] [16] [17] [注 3]
エクセス-3 (XS-3)-3-2-10123456789101112[14] [15] [16] [17] [注2]
エクセス-6 (XS-6)-6-5-4-3-2-10123456789[18] [注 2]
ジャンプ-アット-2 (2 4 2 1)01      23456789[16] [17]
ジャンプ-アット-8 (2 4 2 1)01234567      89[21] [22] [16] [17] [注 4]
4 2 2 1 (I)0123  45    6789[16] [17]
4 2 2 1 (II)0123  45  67  89[21] [22]
5 4 2 101234   56789   [18] [14] [16] [17]
5 2 2 10123  4 5678  9 [14] [16] [17]
5 1 2 10123   45678   9[19]
5 3 1 101 234  56 789  [16][17]
白 (5 2 1 1)01 2 3 456 7 8 9[23] [18] [14] [16] [17]
5 2 1 101 2 3 45 6 7 89[24]
 0123456789101112131415
磁気テープ 1234567890     [15]
ポール 1326754 0  89  [25]
グレー0132675415141213891110[26] [14] [15] [16] [17] [注2]
グリクソン013267549   8   [27] [14] [15] [16] [17]
レドリー01327645    8 9 [28]
4 3 1 101 23  54  67 89[19]
LARC01 2  4356 7  98[29]
クラール01 2  4398 7  56[2] [3]
ペザリック（RAE） 132 04  867 95 [30] [31] [注5]
オブライエン I（ワッツ）0132  4 9867  5 [32] [14] [16] [17] [注6]
5環式0132  4 5687  9 [28]
トンプキンス I0132  4  9  8756[33] [14] [16] [17]
リッペル0123  4  9  8765[34] [35] [14]
オブライエン2世 0214 3  9785 6 [32] [14] [16] [17]
トンプキンス2世  0143 2 79856  [33] [14] [16] [17]
エクセス-3 グレイ-3-20-1431212119105687[16] [17] [20] [注7] [注2]
6 3 −2 −1 (I)    3210 5489 76[29] [36]
6 3 −2 −1 (II)0   321 654 987 [29] [36]
8 4 −2 −10   43218765   9[29]
ルカル0151411232138769411105[37]
カウツ0  2 513 79 86 4[18]
カウツ2世 94 1 328 67 05 [18] [14]
サスキンド1世 0 1 432 9 85 67[35]
サスキンド2世 0 1 9 84 325 67[35]
 0123456789101112131415

次の表は、様々なBCD符号化方式における0から9までの10進数を表しています。ヘッダーの「 」は各ビットの重みを示しています。5列目（「BCD 8 4 −2 −1」）では、重みのうち2つが負の値です。また、ゾーンBCDの例である、各桁のASCIIおよびEBCDIC文字コードも示されています。8 4 2 1   

 
桁		BCD
8  4  2  1		スティビッツ コードまたはExcess-3エイケンコードまたはBCD
2  4  2  1		BCD
8  4  −2  −1		 IBM 702、 IBM 705、IBM 7080、IBM 1401 8421
   		ASCII
0000 8421		EBCDIC
0000 8421
0000000110000000010100011 00001111 0000
1000101000001011100010011 00011111 0001
2001001010010011000100011 00101111 0010
3001101100011010100110011 00111111 0011
4010001110100010001000011 01001111 0100
5010110001011101101010011 01011111 0101
6011010011100101001100011 01101111 0110
7011110101101100101110011 01111111 0111
8100010111110100010000011 10001111 1000
9100111001111111110010011 10011111 1001

ほとんどのコンピュータは8ビットバイトでデータを扱うため、BCD数値をエンコードするには以下のいずれかの方法を使用できます。

  • アンパック：各10進数は1バイトにエンコードされ、4ビットで数値を表し、残りのビットは意味を持ちません。
  • パック：2つの10進数字が1バイトにエンコードされ、1つの数字が最下位ニブル（ビット0～3）に、もう1つの数字が最上位ニブル（ビット4～7）に配置されます。[注 8]

例として、91アンパックBCDを使用して10進数をエンコードすると、次の2バイトのバイナリパターンになります。

10進数：9 12進数：0000 1001 0000 0001

パックBCDでは、同じ数値が1バイトに収まります。

10進数：9 12進数：1001 0001

したがって、アンパックBCDの1バイトの数値範囲は0から9までですが、パックBCDの1バイトの範囲は0から99までです。

1バイトの範囲よりも大きな数値を表すには、任意の数の連続バイトを使用できます。たとえば、ビッグエンディアン12345形式を使用してパックBCDで10進数を表すには、プログラムは次のようにエンコードします。

10進数：0 1 2 3 4 52進数：0000 0001 0010 0011 0100 0101

ここでは、最上位バイトの最上位ニブルがゼロとしてエンコードされているため、数値は次のように格納されます012345（ただし、フォーマットルーチンによって先頭のゼロが置き換えられたり削除されたりする場合があります）。パックBCDは、アンパックBCDよりもストレージの使用効率が高くなります。同じ数値（先頭にゼロがある）をアンパック形式でエンコードすると、2倍のストレージを消費します。

シフト操作とマスキング操作は、パックBCDの数字をパックまたはアンパックするために使用されます。その他のビット演算は、数値を同等のビットパターンに変換したり、その逆のプロセスをしたりするために使用されます。

パックBCD

現代のIBMメインフレームシステムなど、ワードがオクテット（8ビットバイト）の倍数である一部のコンピュータは、パックBCD（またはパック10進数[38]）数値表現をサポートしています。パックBCDでは、各ニブルが10進数または符号を表します。[注8]パックBCDは少なくとも1960年代から使用されており、それ以降のすべてのIBMメインフレームハードウェアに実装されています。ほとんどの実装はビッグエンディアンです。つまり、各バイトの上位半分に上位桁が配置され、左端のバイト（最下位のメモリアドレスに存在）にパック10進数値の最上位桁が含まれます。右端のバイトの下位ニブルは通常、符号フラグとして使用されますが、符号なし表現の中には符号フラグがないものもあります

例えば、4バイトの値は8ニブルで構成され、上位7ニブルは7桁の10進数値の桁を格納し、最下位ニブルは10進整数値の符号を示します。標準的な符号値は、正（+）の場合は1100（16進数C）、負（-）の場合は1101（D）です。この規則は、 EBCDIC文字のゾーンフィールドと符号付きオーバーパンチ表現 に由来します

他に許容される符号は、正の場合は1010 (A) と 1110 (E)、負の場合は1011 (B) です。IBM System/360プロセッサは、PSWのAビットがセットされている場合、1010 (A) と 1011 (B) の符号を使用します。これは、ASCII-8規格（この規格は未だ採用されていません）のためです。ほとんどの実装では、符号ニブルが1111 (F) の符号なしBCD値も提供されています。[39] [40] [41] ILE RPGは、正の場合は1111 (F)、負の場合は1101 (D) を使用します。[42]これらは、符号オーバーパンチのない数字のEBCDICゾーンと一致します。パックBCDでは、127は0001 0010 0111 1100（127C）で表され、-127は0001 0010 0111 1101（127D）で表されます。バローズシステムでは1101（D）を負の値として使い、それ以外の値は正の符号値とみなされます（プロセッサは正の符号を1100（C）に正規化します）。

符号
桁		BCD
8 4 2 1		符号備考
A1 0 1 0+ 
B1 0 1 1- 
C1 1 0 0+推奨
D1 1 0 1-推奨
E1 1 1 0+ 
F1 1 1 1+符号なし

ワードの幅が何バイトであっても、各バイトには2つのニブルがあるため、常に偶数個のニブルが存在します。したがって、nバイトのワードには最大(2 n )−1桁の10進数を格納でき、これは常に奇数桁です。d桁の10進数は、1/2⁠(d+1) bytes of storage space.

たとえば、4バイト（32ビット）のワードは、7桁の10進数と符号を保持でき、±9,999,999の範囲の値を表すことができます。したがって、-1,234,567は7桁の幅で、次のようにエンコードされます。

0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 11011 2 3 4 5 6 7 −

文字列と同様に、パック10進数の最初のバイト（最上位2桁）は、マシンのエンディアンに関係なく、通常、メモリの最下位アドレスに格納されます。

対照的に、4バイトの2の補数2進整数は、-2,147,483,648から+2,147,483,647までの値を表現できます。

パックBCDはストレージを最適に使用しません（同じ数値を格納するために2進表記よりも約20%多くのメモリを使用します）が、算術演算が不要なため、 ASCII 、EBCDIC、またはUnicodeのさまざまなエンコーディングへの変換は簡単です。追加のストレージ要件は通常、固定小数点10進演算が提供する精度と電卓または手計算との互換性の必要性によって相殺されます。ストレージのペナルティを回避し、一般的な変換に算術演算を必要としない、 より高密度のBCDパックが存在します

パックBCDは、COBOLプログラミング言語では「COMPUTATIONAL-3」（多くの他のコンパイラベンダーが採用したIBM拡張）または「PACKED-DECIMAL」（1985 COBOL標準の一部）データ型としてサポートされています。PL /Iでは「FIXED DECIMAL」としてサポートされています。IBM System/360以降の互換メインフレームに加え、パックBCDはDigital Equipment CorporationのオリジナルVAXプロセッサとSDS Sigmaシリーズメインフレームの一部モデルのネイティブ命令セットに実装されており、Burroughs Medium Systemsメインフレームシリーズ（1950年代のElectrodata 200シリーズから派生） のネイティブ形式です

負の数の10の補数表現は、パックBCD数値（およびその他のBCD数値）の符号をエンコードするための代替アプローチを提供します。この場合、正の数は常に0から4（両端を含む）の最上位桁を持ち、負の数は対応する正の数の10の補数で表されます

その結果、このシステムでは32ビットのパックBCD数値の範囲は-50,000,000から+49,999,999までとなり、-1は99999999として表されます。（2の補数2進数と同様に、範囲はゼロを中心に対称ではありません。）

固定小数点パック10進数

固定小数点10進数は、一部のプログラミング言語（COBOLやPL/Iなど）でサポートされています。これらの言語では、プログラマーは数字の前に暗黙の小数点を指定できます。

例えば、12 34 56 7Cというバイトでエンコードされたパック10進値は、暗黙の小数点が4桁目と5桁目の間にある場合、固定小数点値+1,234.567を表します。

12 34 56 7C 12 34.56 7+

パックBCDストレージ形式では小数点はサポートされていないため、実際にはメモリに格納されません。小数点の位置はコンパイラによって認識され、生成されたコードはそれに応じてさまざまな算術演算を行います。

高密度エンコーディング

10進数の桁に4ビットが必要な場合、3つの10進数の桁には12ビットが必要です。しかし、2の10乗（1,024）は10の3乗（1,000）よりも大きいため、3つの10進数を一緒にエンコードする場合、必要なビット数は10ビットだけです。このようなエンコーディングには、Chen-Hoエンコーディングと高密度パック10進数（DPD）の2つがあります。後者には、エンコーディングのサブセットによって、通常のBCDと同様に、2つの桁を最適な7ビットでエンコードし、1つの桁を4ビットでエンコードするという利点があります。

ゾーン10進数

IBMメインフレームシステムなど、一部の実装ではゾーン10進数表現をサポートしています。各10進数は8ビット[nb 9]バイトに格納され、下位4ビットはBCD形式で数値をエンコードします。上位4ビット[nb 10]は「ゾーン」ビットと呼ばれ、通常は固定値に設定され、バイトには数値に対応する文字値、またはプラスまたはマイナスを表す値が保持されます。 EBCDIC [nb 11]システムでは、ゾーン値1111 2 (F 16 ) を使用し、F0 16～F9 16（0～9のコード）を生成します。正の場合にはゾーン値1100 2 (C 16 ) を使用し、C0 16～C9 16（{～Iのコード）を生成します。負の場合にはゾーン値1110 2 (D 16 ) を使用し、D0 16～D9 16（}～Rのコード）を生成します。同様に、ASCIIシステムではゾーン値0011 (16進数3) を使用し、文字コード30～39 (16進数) を生成します。

符号付きゾーン10進数値の場合、右端（最下位）のゾーンニブルは符号桁を保持します。これは、符号付きパック10進数値（上記参照）で使用される値と同じです。したがって、16進バイト F1 F2 D3 としてエンコードされたゾーン10進数値は、符号付き10進数値 -123 を表します。

F1 F2 D31 2 -3

EBCDICゾーン10進変換表

BCD桁16進EBCDIC文字
0+C0A0E0F0{ (*) \ (*)0
1+C1A1E1F1A~ (*) 1
2+C2A2E2F2BsS2
3+C3A3E3F3CtT3
4+C4A4E4F4DuU4
5+C5A5E5F5EvV5
6+C6A6E6F6FwW6
7+C7A7E7F7GxX7
8+C8A8E8F8HyY8
9+C9A9E9F9IzZ9
0−D0B0  } (*)^ (*)  
1−D1B1  J   
2−D2B2  K   
3−D3B3  L   
4−D4B4  M   
5−D5B5  N   
6−D6B6  O   
7−D7B7  P   
8−D8B8  Q   
9−D9B9  R   

（*）注：これらの文字は、ローカル文字コードページの設定によって異なります。

固定小数点ゾーン10進数

一部の言語（COBOLやPL/Iなど）は、固定小数点ゾーン10進数を直接サポートしており、数値の小数点間のどこかに暗黙的な小数点を割り当てます。

例えば、4桁目の右側に暗黙的な小数点を持つ6バイトの符号付きゾーン10進数が与えられた場合、16進バイト F1 F2 F7 F9 F5 C0 は +1,279.50 という値を表します。

F1 F2 F7 F9 F5 C01 2 7 9. 5 +0

BCDによる演算

加算

最初に2進数で加算し、その後BCDに変換することで加算を行うことができます。2桁の単純な和の変換は、2桁の数字を加算した5ビットの結果が9より大きい値になる場合、6（つまり、16 - 10）を加算することで行うことができます。6を加算する理由は、4ビットBCDの値は16通り（2の4乗= 16なので）ありますが、有効な値は10通り（0000から1001）しかないためです。例えば：

1001 + 1000 = 10001 9 + 8 = 17

10001は、望ましい結果の10進数ではなく2進数表現ですが、最上位の1（「キャリー」）は4ビットの2進数には収まりません。10進数と同様に、BCDでは1桁あたり9（1001）を超える値は存在できません。これを修正するために、合計に6（0110）を加算し、結果を2つのニブルとして扱います。

10001 + 0110 = 00010111 => 0001 0111 17 + 6 = 23 1 7

結果の2つのニブル、0001と0111は、数字の「1」と「7」に対応します。これにより、BCDでは「17」となり、正しい結果となります

この手法は、右から左へグループで加算し、2桁目をキャリーとして伝播させ、各桁のペアの合計の5ビット結果を常に9と比較することで、複数の桁を加算することに拡張できます。一部のCPUは、2進加算および減算演算後のBCD算術調整を容易にするために、ハーフキャリーフラグを提供しています。Intel 8080、Zilog Z80、およびx86ファミリーのCPUは、DAA（10進調整アキュムレータ）オペコードを提供しています。

減算

減算は、減数の10の補数を被減数に加算することによって行われます。BCDで数値の符号を表すには、正の数を表すには0000を使用し、負の数を表すには1001を使用します。残りの14の組み合わせは無効な符号です。符号付きBCD減算を説明するために、次の問題を考えてみましょう：357 − 432

符号付きBCDでは、357は0000 0011 0101 0111です。432の10の補数は、432の9の補数に1を加えることで得られます。したがって、999 - 432 = 567、567 + 1 = 568です。BCDで568の前に負の符号コードを付けることで、-432を表すことができます。したがって、符号付きBCDでの-432は1001 0101 0110 1000です。

両方の数が符号付きBCDで表されたので、これらを足し合わせることができます。

 0000 0011 0101 0111 0 3 5 7+ 1001 0101 0110 1000 9 5 6 8= 1001 1000 1011 1111 9 8 11 15

BCDは10進数表現の一種であるため、上記の数字の合計のいくつかは無効です。無効なエントリ（1001より大きいBCD桁）が存在する場合、6が加算されてキャリービットが生成され、合計が有効なエントリになります。したがって、無効なエントリに6を加算すると、次のようになります。

 1001 1000 1011 1111 9 8 11 15+ 0000 0000 0110 0110 0 0 6 6= 1001 1001 0010 0101 9 9 2 5

したがって、減算の結果は1001 1001 0010 0101 (-925) です。結果を確認するために、最初の桁が9であることに注目してください。これは負の数を意味します。357 − 432 は負の数になるはずなので、これは正しいようです。残りのニブルはBCDなので、1001 0010 0101 は925です。925の10の補数は1000 − 925 = 75なので、計算された答えは-75です。

加算するニブルの数が異なる場合（1053 − 2など）、10の補数を取るか減算する前に、桁数の少ない数の前に0を付ける必要があります。したがって、1053 − 2の場合、まず2をBCDで0002として表し、0002の10の補数を計算する必要があります

コンピュータにおけるBCD

IBM

IBMは、数字、大文字、特殊文字を表す6ビットの英数字コードに、 2進化10進数交換コード（BCDIC、単にBCDと呼ばれることもあります）という用語を使用していました。BCDIC英数字のいくつかのバリエーションは、 IBM 1620（1959年発売）、IBM 1400シリーズ、およびIBM 700/7000シリーズの非10進アーキテクチャー製品など、初期のIBMコンピュータのほとんどで使用されています

IBM 1400 シリーズは文字アドレス指定可能なマシンで、各位置はB、A、8、4、2、1とラベル付けされた 6 ビットと、奇数パリティ チェック ビット ( C ) およびワード マーク ビット ( M ) で構成されています。1から9までの数字をエンコードする場合、BとAはゼロで、ビット8から1は標準の 4 ビット BCD で表される数字の値です。 その他のほとんどの文字の場合、ビットBとAは、パンチカード文字コードの「12」、「11」、「0」の「ゾーン パンチ」から単純に導出され、ビット8から1は1から9 のパンチから導出されます。 「12 ゾーン」パンチはBとAの両方を設定し、「11 ゾーン」パンチはBを設定し、「0 ゾーン」（0 パンチと他のパンチの組み合わせ）はAを設定します。パンチカード内の通貨記号$（11,8,3）は、メモリ内では（B,8,2,1）としてエンコードされていました。これにより、パンチカード形式と内部ストレージ形式間の変換回路は、いくつかの特殊なケースを除いて非常にシンプルになります。重要な特殊なケースの1つは数字0で、カードでは1つの0がパンチされ、コアメモリでは（8,2）で表されます。[43]

IBM 1620のメモリは、通常の8、4、2、1に加えて、フラグビットとして使用されるFと、奇数パリティチェックビットであるCで構成される6ビットのアドレス指定可能な桁で構成されています。BCD英数字は桁のペアを使用してエンコードされ、「ゾーン」は偶数アドレスの桁に、「数字」は奇数アドレスの桁に配置されます。「ゾーン」は、1400シリーズと同様に、12、11、0の「ゾーンパンチ」に関連付けられています。入出力変換ハードウェアは、内部の桁ペアと外部の標準6ビットBCDコードの間で変換を行います

IBM 7070、IBM 7072、およびIBM 7074の 10進アーキテクチャでは、英数字は10桁のワードの数字ペア（ BCDではなく、数字の2/5コードを使用）を使用してエンコードされ、左の数字に「ゾーン」、右の数字に「数字」が配置されます。入出力変換ハードウェアは、内部の数字ペアと外部標準の6ビットBCDコード間の変換を行います。

System/360の導入により、IBMは6ビットBCD英数字を8ビットEBCDICに拡張し、より多くの文字（小文字など）を追加できるようになりました。可変長のパックBCD数値データ型も実装されており、パック10進データに対して直接演算を実行する機械語命令を提供しています。

IBM 1130および1800では、パックBCDはIBMの商用サブルーチン・パッケージによってソフトウェアでサポートされています

今日でも、BCDデータはIBM Db2などのIBMデータベースや、 z/Architecture、POWER6以降のPower ISAプロセッサーなどのプロセッサーで広く使用されています。これらの製品では、BCDは通常、ゾーンBCD（EBCDICまたはASCII）、パックBCD（1バイトあたり2桁の10進数）、または「純粋な」BCDエンコーディング（各バイトの下位4ビットに1桁の10進数をBCDとして格納）です。これらはすべて、ハードウェアレジスタと処理装置、およびソフトウェアで使用されます。

その他のコンピューター

Digital Equipment CorporationのVAXシリーズには、パックBCDデータに対して直接演算を実行したり、パックBCDデータと他の整数表現との間で変換を実行できる命令が含まれています。 [41] VAXのパックBCD形式は、IBM System/360およびIBMの後継互換プロセッサの形式と互換性があります。MicroVAX以降のVAX実装では、CPUからこの機能は削除されましたが、不足している命令をオペレーティングシステムが提供するソフトウェアライブラリに実装することで、以前のマシンとのコード互換性を維持しました。これは、廃止された命令に遭遇すると例外処理によって自動的に呼び出されるため、それらを使用するプログラムは新しいマシンで変更なしに実行できます

多くのプロセッサは、 BCDエンコードされた整数演算をハードウェアでサポートしています。例えば、6502、[44] [45]、 Motorola 68000シリーズ、[46] 、 x86シリーズなどです。[47] Intel x86アーキテクチャは、浮動小数点レジスタへのロードとストアが可能な独自の18桁（10バイト）BCD形式をサポートしており、そこから計算を実行できます。[48]

最近のコンピュータでは、このような機能はCPUの命令セットではなくソフトウェアで実装されることがほとんどですが、BCD数値データは商用および金融アプリケーションでは依然として非常に一般的です

短いながらも理解しにくいワード並列ロジックと2進算術演算のシーケンスを使用して、パックBCDとゾーン10進数の加減算を実装するためのトリックがあります。[49]例えば、次のコード（C言語で記述）は、32ビット2進演算を使用して、符号なし8桁のパックBCD加算を計算します

uint32_t BCDadd ( uint32_t a , uint32_t b ) { uint32_t t1 , t2 ; // 符号なし32ビットの中間値         t1 = a + 0x06666666 ; t2 = t1 ^ b ; // キャリー伝播なしの合計t1 = t1 + b ; // 暫定的な合計t2 = t1 ^ t2 ; // すべてのバイナリキャリービットt2 = ~ t2 & 0x11111110 ; // BCDキャリービットのみt2 = ( t2 >> 2 ) | ( t2 >> 3 ); // 修正return t1 - t2 ; // 修正されたBCD合計}

電子工学におけるBCD

BCDは、数値を表示する電子システム、特にマイクロプロセッサを搭載せず、デジタルロジックのみで構成されたシステムで広く使用されています。BCDを採用することで、各桁を独立したサブ回路として扱うことができ、表示のための数値データの操作が大幅に簡素化されます。

これは、ディスプレイハードウェアの物理的な現実に非常によく一致しています。たとえば、設計者は、メータリング回路を構築するために、一連の同一の7セグメントディスプレイを使用することを選択する場合があります。数値が純粋な2進数として保存および操作される場合、そのようなディスプレイとのインターフェースには複雑な回路が必要になります。したがって、計算が比較的単純な場合、BCDで作業する方が、2進数との間で変換するよりも全体的にシンプルなシステムになる可能性があります。ほとんどのポケット電卓は、すべての計算をBCDで行います。

このタイプのハードウェアが組み込みマイクロコントローラやその他の小型プロセッサを使用する場合にも、同じ議論が当てはまります。多くの場合、数値を内部的にBCD形式で表現すると、コードが小さくなります。これは、このような限られたプロセッサでは、バイナリ表現との変換にコストがかかる可能性があるためです。このようなアプリケーション向けに、一部の小型プロセッサには専用の算術モードが搭載されており、BCD量を操作するルーチンの作成に役立ちます。 [50] [51]

純粋な2進数との比較

利点

デメリット

  • 既存のBCD実装は、ネイティブBCD演算に対するプロセッサのサポートが限られているため、特に組み込みシステムでは、バイナリ表現での演算よりも遅くなるのが一般的です。[52]
  • 一部の演算は実装がより複雑です。加算器は、ラップさせて早期にキャリーを生成するための追加ロジックを必要とします。また、BCD加算には、純粋なバイナリと比較して15～20%多くの回路が必要です。[要出典]乗算には、シフトマスク加算よりもやや複雑なアルゴリズムを使用する必要があります（バイナリ乗算では、バイナリシフトと加算、またはそれに相当する桁ごとまたは桁グループごとの演算が必要です）。
  • 標準BCDでは、桁ごとに4ビットが必要で、バイナリエンコードよりも約20%多くのスペースが必要です（4ビットとlog 2 10ビットの比率は1.204です）。3桁を10ビットでエンコードするようにパックすると、ストレージのオーバーヘッドは大幅に削減されますが、既存のハードウェアで一般的な8ビットバイト境界と一致しないエンコードが必要になるため、これらのシステムでの実装が遅くなります。

表現のバリエーション

数値に他の表現を採用する様々なBCD実装が存在します。Texas Instruments、Hewlett-Packard、その他のメーカーが製造するプログラマブル電卓は、通常、浮動小数点BCD形式を採用しており、（10進）指数には通常2桁または3桁を使用します。符号桁の追加ビットは、無限大、アンダーフロー／オーバーフロー、エラー（点滅表示）などの特殊な数値を示すために使用される場合があります。

符号付きバリエーション

符号付き10進値は、いくつかの方法で表現できます。たとえば、 COBOLプログラミング言語は5つのゾーン10進形式をサポートしており、それぞれが異なる方法で数値の符号をエンコードします。

型説明例
符号なし符号ニブルなしF1 F2 F3
符号付き末尾（標準形式）最後の（最下位）バイトに符号ニブルF1 F2 C3
符号付き先頭（オーバーパンチ）最初の（最上位）バイトに符号ニブルC1 F2 F3
符号付き末尾セパレート数字バイトの後に続くセパレート符号文字バイト（'+'または）'−'F1 F2 F3 2B
符号付き先頭セパレート数字バイトの前にある別の符号文字バイト（'+'または）'−'2B F1 F2 F3

電話2進化10進数（TBCD）

3GPPはTBCD [53]を開発しました。これは、残りの（未使用の）ビットの組み合わせを使用して特定の電話記号を追加するBCDの拡張であり、[54] [55]、電話のキーパッド設計に似ています。

10進
数		TBCD
8 4 2 1
*1 0 1 0
#1 0 1 1
a1 1 0 0
b1 1 0 1
c1 1 1 0
桁数が奇数の場合のフィラーとして使用されます1 1 1 1

前述の3GPP文書では、各バイトのニブルを入れ替えたTBCD-STRINGを定義しています。ビット、オクテット、および数字は1からインデックス付けされ、右からビット、左から数字とオクテットが付けられます。

オクテットnのビット8765は数字2 nをエンコードします

オクテットnのビット4321は数字2( n -1)+1 をエンコードします

数字を意味するので、 TBCDでは1234次のようになります。21 43

この形式は、現代の携帯電話でダイヤル番号だけでなく、オペレータID（MCC/MNCタプル）、IMEI、IMSI（SUPI）などを送信するために使用されています。[56] [57]

代替エンコーディング

表現と計算における誤差が、ディスプレイとの間の変換速度よりも重要な場合は、スケーリングされた2進表現を使用できます。これは、10進数を2進数でエンコードされた整数と、2進数でエンコードされた符号付き10進指数として格納します。たとえば、0.2は2 × 10−1と表現できます。

この表現は、乗算と除算を高速に行うことができますが、小数点を揃えるために、加算と減算中に10の累乗でシフトする必要がある場合があります。これは、小数点以下の桁数が固定で、この調整を必要としないアプリケーション、特に小数点以下2桁または4桁で十分な金融アプリケーションに適しています。実際、基数点の位置が暗黙的に示される ため、これはほぼ固定小数点演算の一種です

ヘルツ符号化とチェン・ホー符号化は、 BCD符号化された3桁の数字のグループを10ビット値[注1]との間で変換するためのブール変換を提供します。これらの値は、わずか2～3ゲートの遅延でハードウェアで効率的に符号化できます。高密度パック10進数（DPD）は同様の方式[注1]であり、 IEEE 754-2008浮動小数点規格で規定されている2つの代替10進符号化の1つで、先頭桁を除く仮数部のほとんどに使用されます

応用

多くのパーソナルコンピュータのBIOSは、日付と時刻をBCD形式で保存します。これは、オリジナルのIBM PC ATマザーボードで使用されていたMC6818リアルタイムクロックチップがBCDでエンコードされた時刻を提供していたためです。この形式は、表示用にASCIIに簡単に変換できます。 [58] [59]

Atariの8ビットコンピュータは、浮動小数点数にBCD形式を使用しています。MOS Technology 6502プロセッサは、加算と減算の命令にBCDモードを備えています。Psion Organiser 1ハンドヘルドコンピュータのメーカー提供ソフトウェアも、浮動小数点の実装にBCDを使用しています。後期のPsionモデルは、2進数のみを使用しています。

PlayStation 3の初期モデルは、日付と時刻をBCDで保存していました。そのため、2010年3月1日にコンソールが世界中で停止しました。BCDで保存された年号の下2桁が16と誤って解釈され、本体の日付にエラーが発生し、ほとんどの機能が動作しなくなりました。これは2010年問題と呼ばれています。

1972年のGottschalk対Benson事件において、米国最高裁判所は、 BCDエンコードされた数値をコンピュータ上で2進数に変換する特許を認めた下級裁判所の判決を覆しました

この判決では、特許は「数式を完全に先取りし、実質的にはアルゴリズム自体に対する特許となる」と指摘されています。[60]これは、ソフトウェアとアルゴリズムの特許性を決定した画期的な判決でした。

参照

注釈

  1. ^ abc 標準的なパックされた4ビット表現では、10個のテトラドと6個の擬似テトラドを含む16の状態（各桁に4ビット）がありますが、ヘルツ、チェン・ホー、DPDエンコーディングなどのより高密度にパックされた方式では、 1024状態（3桁に10ビット）のうち未使用の状態はわずか24状態です
  2. ^ abcde 0～9の10進範囲外のコード状態（黒で表示）は、非BCDコードの変種における追加の状態を示します。ここで説明するBCDコードの変種では、これらは擬似テトラードです。
  3. ^ エイケンコードは、2 4 2 1コードの一つです。2* 4 2 1コードとも呼ばれます。
  4. ^ 8ジャンプコードは、非対称2 4 2 1コードとも呼ばれます。
  5. ^ ペザリックコードは、英国王立航空機協会（RAE）コードとも呼ばれます
  6. ^ オブライエン符号タイプIは、ワッツ符号またはワッツ反射10進数（WRD）符号としても知られています。
  7. ^ エクセス3グレイ符号は、グレイ・スティビッツ符号としても知られています。
  8. ^ ab 同様に、ミニコンピュータでは複数の文字がマシンワードにパックされることがよくありました。IBM SQUOZEおよびDEC RADIX 50を参照してください。
  9. ^ 古いマシンでは6ビット。
  10. ^ 古いマシンでは2ビット。
  11. ^ C0 16およびD0 16に示されている値は、コードページ037のものです。

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  • Java用BCD
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