二項定理

Algebraic expansion of powers of a binomial

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

二項係数は、 パスカルの三角形のn行目（上端が0行目）のk番目の要素として現れます。各要素は、その上にある2つの要素の和です。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

初等代数学において、二項式定理（または二項式展開）は、二項式のべき乗の代数展開を記述するものです。この定理によれば、べき乗は、項が⁠ ⁠の形式をとる多項式に展開されます。ここで、指数⁠ ⁠と⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠を満たす非負の整数であり、各項の係数⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠に依存する特定の正の整数です。例えば、⁠ ⁠の場合、 ${\displaystyle \textstyle (x+y)^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle ax^{k}y^{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k+m=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=4}$ $${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

各項⁠ ⁠の係数⁠ ${\displaystyle a}$⁠は、二項係数⁠ ⁠または⁠ ⁠（2つは同じ値）と呼ばれます。 ⁠ ⁠と⁠ ⁠を変化させるこれらの係数は、パスカルの三角形を形成するように配置できます。これらの数は組み合わせ論でも使用され、⁠ ⁠ は⁠ ⁠要素の集合から選択できる⁠ ⁠要素の異なる組み合わせ（つまり、部分集合）の数を表します。したがって、⁠ ⁠は通常「⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 」と発音されます。 ${\displaystyle \textstyle ax^{k}y^{m}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

声明

定理によれば、二項式x + yの任意の非負整数nの展開は、 それぞれ二項係数と呼ばれる正の整数である形式の和であり、次のように定義される。 $${\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}y^{0}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y^{1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{0}y^{n},}$$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

この式は二項式または二項恒等式とも呼ばれます。和の記法を用いると、より簡潔に次のように表すことができます。 $${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}.}$$

最後の式は、最初の式のxとyの対称性によって前の式から導かれ、比較すると、式の二項係数の順序が対称であることがわかります。^[注1] ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

二項式の簡単な変形は、 yに1を代入する ことで得られ、変数は1つだけとなる。この形では、式は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+1)^{n}&={\binom {n}{0}}x^{0}+{\binom {n}{1}}x^{1}+{\binom {n}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

例

二項定理の最初のいくつかのケースは次のとおりです。 一般に、 ( x + y ) ⁿの右側のn行目 の展開では(一番上の行が 0 行目になるように番号が付けられます)、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\end{aligned}}}$$

• 各項のxの指数はn、n − 1、...、 2、 1、 0です（最後の項には暗黙的にx ⁰ = 1が含まれます）。
• 各項のyの指数は0, 1, 2, ..., n − 1, n（最初の項には暗黙的にy ⁰ = 1が含まれる）である。
• 係数はパスカルの三角形のn行目を形成します。
• 同類項を結合する前、展開図には2 ^{n 個の}項x ⁱ y ^{jがあります (図示せず)。}
• 同類項を結合するとn + 1 個の項ができ、その係数の合計は2 ⁿになります。

最後の 2 つのポイントを示す例: 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

yの特定の正の値を使用した簡単な例: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

yの特定の負の値を使用した簡単な例: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

幾何学的な説明

4乗までの二項式展開の可視化

aとbが正の値の場合、 n = 2のときの二項定理は、辺a + bの正方形を辺aの正方形、辺bの正方形、および辺aとbを持つ2つの長方形に分割できるという幾何学的に明らかな事実です。n = 3 のときの定理は、辺a + bの立方体を辺aの立方体、辺bの立方体、3つのa × a × b の長方形、および3つのa × b × bの長方形に分割できることを示しています。

微積分学では、この図は微分 ^[1]の幾何学的証明も与えてくれる。を とし、b をaの微小変化と解釈すると、この図はn次元超立方体の体積の微小変化を示す。ここで、における線形項の係数は、各次元がn − 1であるn面の面積である。これを差分商を介して微分の定義に代入し、極限値をとると、より高次の項、およびより高次の項は無視できるようになり、 「 n立方体の辺の長さの変化に伴う体積の微小変化率は、その( n − 1)次元面のnの面積である」と解釈される式が得られる。この図を積分すると、微積分学の基本定理を適用することになり、カヴァリエリの求積法の公式、すなわち積分が得られる。詳細はカヴァリエリの求積法の公式の証明を参照のこと。 ^[1] ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$ ${\displaystyle a=x}$ ${\displaystyle b=\Delta x,}$ ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle nx^{n-1},}$ $${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$ ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$ ${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

二項係数

二項展開に現れる係数は二項係数と呼ばれます。これらは通常、「n choose k」と表記され、発音されます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

数式

x ^{n − k} y ^kの係数は、階乗関数n !を用いて定義される式で与えられます 。同様に、この式は分数の分子と分母の両方にk個の因数 を持つように書き表すこともできます。この式は分数を含んでいますが、二項係数は実際には整数です。 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$ $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

組み合わせ解釈

二項係数は、n要素の集合（組み合わせ）からk要素を選択する方法の数として解釈できます。 これは、次の理由で二項式に関連しています。( x + y ) ^{n を}積として書くと、分配法則に従って、積の各二項からxまたはyのいずれかを選択するたびに、展開式の項が 1 つあります。 たとえば、各二項からx を選択することに対応する項x ^{n は}1 つだけです。 ただし、 yに寄与するために正確に 2 つの二項を選択する方法ごとに 1 つずつ、形式の項x ^{n −2} y ²が複数あります。 したがって、同類項を結合した後、 x ^{n −2} y ²の係数は、n要素の集合から正確に2要素を選択する方法の数に等しくなります。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ $${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

証明

組み合わせ論的証明

( x + y ) ⁿを展開すると、 e ₁ e ₂ ... e _nの形の2 ⁿ個の積の和が得られます。ここで、各e _{i は}xまたは yです。因数を並べ替えると、各積は0から nまでのいずれかkに対してx ^{n − k} y ^kに等しいことがわかります。与えられたkに対して、以下の式が順に等しいことが証明されています。

• 展開式におけるx ^{n − k} y ^kに等しい項の数
• ちょうどk 個の位置にyを持つn文字のx , y文字列の数
• {1, 2, ..., n }のk要素部分集合の数
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$定義によって、あるいは短い組み合わせ論的議論によって、次のように定義する。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

これは二項定理を証明します。

例

におけるxy ²の係数は、長さ 3 のx、y文字列が3 つあり、それぞれ 2 つのyがあるため、つまり、 {1, 2, 3}の 3 つの 2 要素サブセットに対応し、つまり、 各サブセットが対応する文字列内のyの位置を指定するため、等しくなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$ $${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$ $${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

帰納的証明

帰納法によって二項定理の別の証明が得られます。n = 0 のとき、 x ⁰ = 1であり であるので、両辺は1に等しくなります。ここで、等式が特定のnに対して成り立つと仮定し、 n + 1について証明します。j、k ≥ 0の場合、[ f ( x、y )] _j、kを多項式f ( x、y )におけるx ^j y ^kの係数とします。 帰納的仮説により、( x + y ) ⁿはxおよびyの多項式で、j + k = nの場合は[( x + y ) ⁿ ] _j、k、それ以外の場合は0となります。 恒等式 から、 ( x + y ) ^{n +1}もxおよびyの多項式であることがわかり、 j + k = n + 1の場合は、( j − 1) + k = nかつj + ( k − 1) = nとなります。さて、右辺はパスカルの恒等式によって表されます。^[2]一方、j + k ≠ n + 1の場合、( j – 1) + k ≠ nかつj + ( k – 1) ≠ nとなるため、 0 + 0 = 0となります。したがって、 これはnを n + 1に置き換えた帰納的仮定であり、帰納的ステップが完了します。 ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$ $${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$ $${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$ $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

一般化

一般化二項定理

上述のように、標準的な二項定理は指数nが非負の整数である場合に関係します。一般化された二項定理は、有限和を無限級数に置き換えるという代償を払うことで、非整数、負、さらには複素数の指数も許容します。 ${\displaystyle (x+y)^{n}}$

これを実現するには、任意の上付き添字を持つ二項係数に意味を与える必要があるが、これは階乗の通常の公式では不可能である。しかし、任意の数rに対して、 最後の式で下降階乗の現代的な記法を導入する を定義することができる 。これは、 rが非負整数である場合の通常の定義と一致する。そして、 xとyが実数で| x | > | y | , ^{[注 2]}かつrが任意の複素数である場合、 $${\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

rが非負整数の場合、 k > rの二項係数はゼロとなるため、この式は通常の二項定理に帰着し、非ゼロ項は最大でr + 1 個存在する。rが他の値の場合、この級数は無限個の非ゼロ項を持つ。

たとえば、r = 1/2の場合、平方根は次のようになります。 $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

r = −1の場合、一般化二項級数は次のようになります。 これは収束する場合| x | < 1 の等比級数の和の公式であり、その公比は− xです。 $${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

より一般的には、r = − sのとき、 | x | < 1の場合、次式が成り立ちます。^[3] $${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-s}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}x^{k}.}$$

例えば、s = 1/2のとき、 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

x を-xに置き換えると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}x^{k}.}$$

例えば、s = 1/2のとき、 | x | < 1 のとき、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

さらなる一般化

一般化二項定理は、 xとyが複素数の場合にも拡張できます。このバージョンでは、再び| x | > | y | ^{[注 2]}を仮定し、 x を中心とする半径| x |の開円板上で定義されたlog の正則枝を用いて、x + yとxのべき乗を定義します。一般化二項定理は、 xy = yx、xが可逆、かつ‖ y / x ‖ < 1である限り、バナッハ代数の元xとyに対しても成立します。

二項定理のバージョンは、次のポッホハマー記号のような多項式族に対して有効です。与えられた実定数cに対して、とを定義します。すると[ ^4] c = 0の場合は通常の二項定理が回復されます。 ${\displaystyle x^{(0)}=1}$ $${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$ ${\displaystyle n>0.}$ $${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

より一般的には、多項式の列が二項型であるとは、 ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$すべてのために、 ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$、 そして
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$すべての、、 について。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$

多項式空間上の作用素は、すべての に対してとなるとき、数列 の基底作用素であるといわれる。数列が二項式となるのは、その基底作用素がデルタ作用素である場合に限る。^[5]シフト作用素について書くと、上記の「ポッホハマー」多項式族に対応するデルタ作用素は、については後方差分、 については常微分、については前方差分となる。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle Qp_{0}=0}$ ${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle E^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I-E^{-c}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle E^{-c}-I}$ ${\displaystyle c<0}$

多項式定理

二項定理は、2項以上の和のべき乗を含むように一般化できる。一般版は以下の通りである。

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

ここで、 k ₁からk _mまでのすべての非負整数の添え字列について、k _iの和がnとなる ような和をとる。（展開の各項について、指数は nとなる必要がある。）係数は多項式係数と呼ばれ、以下の式で計算できる 。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$ $${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

組み合わせ的には、多項式係数は、n要素セットをサイズk ₁、...、k _mの互いに素なサブセットに分割する異なる方法の数を数えます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

多二項定理

より高次元で作業する場合、二項式の積を扱うことがしばしば有用である。二項定理によれば、これは次の式に等しい。 $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

これをより簡潔に書くと、多重添字表記では次のように表される。 $${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

一般的なライプニッツの法則

一般的なライプニッツの定理は、 2つの関数の積のn次導関数を二項定理と同様の形で与える。^[6] $${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

ここで、上付き文字( n )は関数のn次導関数を表す。f ( x ) = eax 、 g ( x ) = ^ebxとおくと^、各項から共通因数e ^{( a + b ) x}を消去することで、通常の二項定理が得られる。 ^[7] ${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

歴史

二項定理の特殊なケースは、少なくとも紀元前4世紀にはギリシャの数学者 ユークリッドが指数 の二項定理の特殊なケースについて言及していたことから知られていました。^[8]ギリシャの数学者ディオファントスはを含む様々な二項式の立方体を計算しました。^[8]インドの数学者アリヤバタの510年頃の立方根を求める方法は、彼が指数 の二項式を知っていたことを示唆しています。^[8] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle n=3}$

二項係数は、 n 個の対象からk個を非置換で選択する方法の数(組み合わせ) を表す組み合わせ量として、古代インドの数学者の関心を集めました。ジャイナ教の『バガヴァティ・スートラ』(紀元前 300 年頃) には、哲学的範疇、感覚、その他の事物の組み合わせの数について、⁠ ⁠まで正しい結果が得られると記されており(おそらく、すべての可能性を列挙して数えることで得られたもの) ^[9]、さらに高い組み合わせも同様に見つけられる可能性があることが示唆されています。^[10]インドの叙情詩人ピガラ(紀元前 3 世紀または 2 世紀) による『チャンダシャーストラ』には、2 種類の音節を並べてさまざまな長さのメーターを作成し、それを数える方法がいくぶん謎めいた形で記されています。 10世紀のピンガラの注釈者ハラユダによって解釈され詳述された、彼のメートルを数える「ピラミッド展開法」（メル・プラスタラ）はパスカルの三角形と同等である。^[11]ヴァラーハミヒラ（6世紀）は、列に数字を追加することで組み合わせの数を計算する別の方法を説明しています。^[12]遅くとも9世紀までにはインドの数学者はこれを分数の積として表すことを学び、この規則の明確な記述はシュリーダラのパーティガニタ（8～9世紀）、マハーヴィーラのガニタ・サーラ・サングラハ（850年頃）、バースカラ2世のリーラーヴァティー（12世紀）に見出すことができる。^{[12] [9] [13]} ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}\times {\tfrac {n-1}{2}}\times \cdots \times {\tfrac {n-k+1}{n-k}}}$

ペルシャの数学者カラジー（953–1029）は、二項定理と二項係数表を収録した、現在は失われている本を著し、これがこれらの初出とされることが多い。^{[14] [15] [16] [17]}二項定理の明示的な記述は、アル・サマーワルの『アル・バヒル』 （12世紀）に見られ、そこではアル・カラジーの著作とされている。^{[14] [15]}アル・サマーワルは、二項式の平方、立方、4 乗をそれぞれ前の乗に基づいて代数展開し、同様の証明をより高い乗数に対しても提供できることを指摘した。これは数学的帰納法の初期の形式である。その後、彼は⁠ ⁠ ${\displaystyle n=12}$までのアル・カラジーの二項係数表（パスカルの三角形を横にした表）と、それらを再帰関係 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$と等価に生成する規則を提供した。^{[15] [18]}ペルシャの詩人で数学者のオマル・ハイヤームは、おそらく高次の式に精通していたが、彼の数学的な著作の多くは失われている。^[8]小さな次数の二項展開は、13世紀の楊回^[19]と朱世傑^[8]の数学的著作で知られていた。楊回はこの手法がはるか昔の11世紀の賈献のテキストに由来するとしているが、これらの著作も現在では失われている。^[20]

ヨーロッパでは、パスカルの三角形の構築に関する記述は、ジョルダヌス・デ・ネモーレの『算術論』（13世紀）に遡る。^[21] 1544年、ミヒャエル・スティフェルは「二項係数」という用語を導入し、 「パスカルの三角形」を用いてを用いて表す方法を示した。 ^[22]ニッコロ・フォンターナ・タルタリアやシモン・ステヴィンといった16世紀の数学者もパスカルの三角形を知っていました。^[22] 17世紀の数学者ブレーズ・パスカルは、著書『算術三角形論』の中で、この名を冠した三角形を包括的に研究しました。^[23] ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ ${\displaystyle (1+x)^{n-1}}$

正の整数指数に対する二項定理の発展は、1427 年までにアル=カシに帰せられます。正の整数指数に対する二項定理の最初の適切な証明はパスカルによって与えられました。 ^[24] 17 世紀初頭までに、 に対するなど、一般化された二項定理のいくつかの特定のケースがヘンリー・ブリッグスのArithmetica Logarithmica (1624)の著作の中に見ることができます。^[25]アイザック・ニュートンは、ジョン・ウォリスのArithmetic Infinitorumとその補間法の研究に触発されて、1664-65 年に一般化された二項定理を発見しました。^{[22] [26] [27] [25] [28]}分数指数定理の対数版はジェームズ・グレゴリーによって独立に発見され、1670年にその式を書き記した。^[25] ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}}$

アプリケーション

複数の角度からのアイデンティティ

複素数の場合、二項定理とド・モアブルの公式を組み合わせることで、正弦と余弦の多角公式が得られる。ド・モアブルの公式によれば、 $${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

二項定理を用いると、右辺の式を展開し、実部と虚部を取ることでcos( nx )とsin( nx )の公式が得られます。例えば、 となりますが、ド・モアブルの公式は左辺を と同一視するため、 となります。これらは通常の2倍角恒等式です。同様に、ド・モアブルの公式は となります。一般に、と なります。チェビシェフ多項式を用いた同様の公式もあります。 $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$ ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$ $${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$ $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$ $${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$ $${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$ $${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$

シリーズe

eという数値は、多くの場合、次の式で定義されます。 $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

この式に二項定理を適用すると、eについての通常の無限級数が得られる。具体的には、 $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

この合計のk番目の項は $${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

n → ∞のとき、右側の有理式は1に近づくので、 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

これは、e が級数として表せることを示しています。 $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

実際、二項展開の各項はnの増加関数であるため、級数の単調収束定理から、この無限級数の合計は eに等しいことがわかります。

確率

二項定理は負の二項分布の確率質量関数と密接に関連している。成功確率を持つ独立ベルヌーイ試行の（可算な）集合が全て起こらない 確率は、この量の上限は^{[29]である。} ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$ $${\displaystyle P{\biggl (}\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}{\biggr )}=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{\binom {|S|}{n}}(-p)^{n}.}$$ ${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

抽象代数学では

二項定理は、環、あるいは半環の2つの元xとyに対して、より一般的にはxy = yxが成り立つ限り成立する。例えば、2つのn × n行列に対しても成立するが、これらの行列は可換である。これは行列のべき乗を計算する際に有用である。^[30]

二項定理は、多項式列 {1, x , x ² , x ³ , ...}が二項型であると言うことで述べられます。

参照

• 数学ポータル

• 二項近似
• 二項分布
• 二項逆定理
• 二項係数
• スターリング近似
• タナリーの定理
• 等差数列の累乗の和を計算する多項式
• q二項定理

注記

1. 、そして第 2 等式の左側と右側の式にある同じ単項式の係数は同じでなければなりません。したがって、 、です。 ${\textstyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k'=0}^{n}{\binom {n}{k'}}x^{k'}y^{n-k'}}$ ${\textstyle x^{n-k}y^{k}=x^{k'}y^{n-k'}}$ ${\textstyle k'=n-k}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k'}}={\binom {n}{n-k}}}$
2. これは収束を保証するためです。r によっては、 | x | = | y |の場合でも級数が収束することがあります。

参考文献

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さらに読む

• グラハム、ロナルド、クヌース、オレン・パタシュニク(1994). 「二項係数」.コンクリート数学（第2版）. アディソン・ウェスレー. 第5章, pp. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9。

外部リンク

• Solomentsev, ED (2001) [1994]. 「ニュートン二項式」.数学百科事典. EMS Press .
• Stephen Wolfram著「二項定理」、および Bruce Colletti と Jeff Bryant 著「二項定理 (ステップバイステップ)」、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。
• この記事にはPlanetMathの二項定理の帰納的証明からの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

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