二項過程

二項過程は確率論における特殊な点過程です。

意味

を確率分布、を固定された自然数とする。を分布 に従うiid確率変数とすると、すべての に対してとなる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X_{i}\sim P}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$

そして、 nとPに基づく二項過程はランダムな尺度となる。

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

どこ ${\displaystyle \delta _{X_{i}(A)}={\begin{cases}1,&{\text{if }}X_{i}\in A,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

プロパティ

名前

二項過程という名前は、すべての測定可能な集合に対して、確率変数がパラメータとを持つ二項分布に従うという事実に由来しています。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \xi (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \xi (A)\sim \operatorname {Bin} (n,P(A)).}$

ラプラス変換

二項過程のラプラス変換は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}}$

すべての正の測定可能な関数に対して。 ${\displaystyle f}$

強度測定

二項過程の強度尺度 は次のように与えられる。 ${\displaystyle \operatorname {E} \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =nP.}$

一般化

二項過程の一般化は混合二項過程である。これらの点過程においては、点の数は二項過程のように決定論的ではなく、確率変数によって決定される。したがって、 を条件とする混合二項過程は、およびに基づく二項過程である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

文学

• カレンベルグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. スイス: シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3。

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