デジタル双2次フィルタ

Second order recursive digital linear filter

信号処理において、デジタル双2次フィルタは、2つの極と2つの零点を持つ2次再帰 線形フィルタであり、アナログ双2次フィルタのトポロジをデジタル領域で 実装する。双2次とは双二次（biquadratic）の略語で、Z領域における伝達関数が2つの二次関数の比となることを指す。

${\displaystyle \ H(z)={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}{a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}}}$

係数は、多くの場合、a ₀ = 1 となるように正規化されます。

${\displaystyle \ H(z)={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}}}$

高次無限インパルス応答フィルタは、係数の量子化の影響を非常に受けやすく、不安定になりやすい。これは1次および2次フィルタではそれほど問題にならないため、高次フィルタは通常、直列接続された双2次セクション（および必要に応じて1次フィルタ）として実装される。双2次フィルタが安定するには、2つの極が単位円内に収まっている必要がある。一般に、これはすべての離散フィルタに当てはまる。つまり、フィルタが安定するには、Z領域のすべての極が単位円内に収まっている必要がある。

実装

直接形1

最も簡単な実装は直接形式 1 であり、次の差分方程式を持ちます。

${\displaystyle \ y[n]={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]\right)}$

または、正規化した場合:

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]}$

ここで、係数、は零点を決定し、係数、は極の位置を決定します。 ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

直接形式1の双二次フィルタのフローグラフ：

これらのセクションを2次以上のフィルタにカスケード接続する場合、あるセクションの出力遅延が次のセクションの入力に複製されることに注意することで、実装効率を向上させることができます。セクション間の2つのストレージ遅延コンポーネントを削除できます。 ${\displaystyle z^{-1}}$

直接形2

直接形式 2 は、直接形式 1 と同じ正規化された伝達関数を 2 つの部分に実装します。

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}w[n]+b_{1}w[n-1]+b_{2}w[n-2],}$

差分方程式を使用すると次のようになります 。

${\displaystyle \ w[n]=x[n]-a_{1}w[n-1]-a_{2}w[n-2].}$

直接形式2の双二次フィルタのフローグラフ:

直接形式 2 の実装では、 N 個の遅延ユニットのみが必要です。ここで、Nはフィルタの次数であり、潜在的には直接形式 1 の半分になります。正規化された直接形式 1 からの導出は次のとおりです。

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]}$

次の置換を仮定します。

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}w[n]+b_{1}w[n-1]+b_{2}w[n-2]}$

その結果は次のようになります:

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]-a_{1}(b_{0}w[n-1]+b_{1}w[n-2]+b_{2}w[n-3])-a_{2}(b_{0}w[n-2]+b_{1}w[n-3]+b_{2}w[n-4])}$

、係数を分離します。 ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}(x[n]-a_{1}w[n-1]-a_{2}w[n-2])+b_{1}(x[n-1]-a_{1}w[n-2]-a_{2}w[n-3])+b_{2}(x[n-2]-a_{1}w[n-3]-a_{2}w[n-4])}$

これを仮定すると、上記の結果が得られます。 ${\displaystyle \ w[n]=x[n]-a_{1}w[n-1]-a_{2}w[n-2]}$

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}w[n]+b_{1}w[n-1]+b_{2}w[n-2],}$

欠点は、直接形式 2 では、高Qまたは共振のフィルタで算術オーバーフローの可能性が高くなることです。^[1] Q が増加すると、両方の直接形式トポロジの丸めノイズが無制限に増加すること が示されています。 ^[2] これは、概念的には、信号が最初に全極フィルタ (通常は共振周波数でゲインをブーストする) を通過し、その結果が飽和し、次に全ゼロフィルタ (多くの場合、全極半分が増幅したものの多くを減衰する) を通過するためです。

直接形式 2 の実装は、遅延、加算器、乗算器の使用量が最小限で、直接形式 1 の実装と同じ伝達関数が得られるため、標準形式と呼ばれます。

転置された直接形

2つの直接形式はそれぞれ、フローグラフを反転させることで、伝達関数を変更することなく転置することができます。分岐点はサマーに、サマーは分岐点に変更されます。^[3]これらは、状態保存において精度が失われる可能性のある現実世界の実装において、数学的に重要な意味を持つ、同じ伝達関数を実現する修正実装を提供します。

転置された直接形式 2 の差分方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \ y[n]=b_{0}x[n]+s_{1}[n-1],}$

どこ

${\displaystyle \ s_{1}[n]=s_{2}[n-1]+b_{1}x[n]-a_{1}y[n]}$

そして

${\displaystyle \ s_{2}[n]=b_{2}x[n]-a_{2}y[n].}$

転置直接形1

直接形1転置される

転置直接形2

直接形2転置される

アナログ設計からデジタル設計への変換

アナログ双二次フィルタは、双一次変換によってデジタル設計に変換できます。アナログS領域で設計されたフィルタの場合、そのZ領域表現は次の置換集合から導出できます^[4]

Sドメイン	Zドメイン
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1+2z^{-1}+z^{-2})*(1-cos(w_{0}))}$
${\displaystyle S}$	${\displaystyle (1-z^{-2})*sin(w_{0})}$
${\displaystyle S^{2}}$	${\displaystyle (1-2z^{-1}+z^{-2})*(1+cos(w_{0}))}$
${\displaystyle 1+S^{2}}$	${\displaystyle 2*(1-2cos(w_{0})*z^{-1}+z^{-2})}$

デジタル双二次フィルタの係数は、次のように双一次変換を通じてアナログフィルタ設計から導き出すことができます。

${\displaystyle H(Z)={\frac {b_{0}+b_{1}*z^{-1}+b_{2}*z^{-2}}{a_{0}+a_{1}*z^{-1}+a_{2}*z^{-2}}}}$

双一次変換の例

双一次変換を使用すると、2 次ローパス フィルタのデジタル バイクワッド フィルタの係数は次のようになります。

${\textstyle b_{0}={\frac {1-cos(w_{0})}{2}}}$

${\displaystyle b_{1}=1-cos(w_{0})}$

${\displaystyle b_{2}={\frac {1-cos(w_{0})}{2}}}$

${\displaystyle a0=1+\alpha }$

${\displaystyle a_{1}=-2*cos(w_{0})}$

${\displaystyle a2=1-\alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {sin(w_{0})}{2*Q}}=sin(w_{0})(sinh({\frac {ln(2)}{2}}*BW*{\frac {w_{0}}{sin(w_{0})}})}$

量子化ノイズ

nビットのサンプルにmビットの係数を乗じると、積はn+mビットになります。これらの積は通常DSPレジスタに蓄積されますが、5つの積を加算すると3ビットのオーバーフロービットが必要になる場合があります。このレジスタは通常、n+m+3ビットを保持できる大きさです。z ⁻¹は、1サンプル時間分の値を保存することで実装されます。この保存レジスタは通常nビットで、アキュムレータレジスタはnビットに収まるように丸められます。これにより量子化ノイズが発生します。

直接形式1の配置では、単一の量子化/丸め関数Q(z)が存在します。

直接演算形式2の構成では、中間値に対する量子化/丸め関数も存在します。カスケード接続では、ステージ間では値の丸めは不要かもしれませんが、最終出力では丸めが必要になる場合があります。

固定小数点DSPは通常、非転置形式を優先し、ビット数の多いアキュムレータを備え、メインメモリに格納する際に丸め処理を行います。浮動小数点DSPは通常、転置形式を優先し、各乗算と場合によっては各加算が丸め処理されます。両オペランドの値が同等の場合、加算の方が精度が高くなります。

参照

• 双二次フィルタ
• デジタルフィルタ

参考文献

1. JO Smith III、直接フォーム II
2. LB Jackson、「デジタルフィルタにおける丸めノイズとダイナミックレンジの相互作用について」、Bell Sys. Tech. J.、vol. 49（1970年2月）、 LR RabinerとCM Rader編『デジタル信号処理』（IEEE Press、ニューヨーク、1972年）に再掲載。
3. 「転置された直接形式」。
4. TLV320AIC3xxxファミリーのデジタル双二次フィルタの係数設定。2010年アプリケーションレポート #SLAA447。Texas Instruments https://www.ti.com/lit/an/slaa447/slaa447.pdf?ts=1763268510214

外部リンク

• オーディオEQバイクアッドフィルタ係数のクックブック式
• デジタル信号処理に関するWikiBook
• 整合2次デジタルフィルタ

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