爆発する

Type of geometric transformation

アフィン平面の拡大。

数学において、ブローアップ（blowup）とは、与えられた空間の部分空間を、その部分空間から外向きに伸びるすべての方向の空間に置き換える幾何学的変換の一種である。例えば、平面上の点のブローアップは、その点をその点における射影接空間に置き換える。これは、爆発ではなく、写真にズームインして画像の一部を拡大する比喩である。逆の操作はブローダウンと呼ばれる。

ブローアップは双有理幾何学における最も基本的な変換である。なぜなら、射影多様体間のすべての双有理射はブローアップであるからだ。弱因数分解定理は、すべての双有理写像は特に単純なブローアップの合成として因数分解できることを述べている。平面の双有理自己同型群であるクレモナ群は、ブローアップによって生成される。

ブローアップは双有理変換を記述する上で重要であるだけでなく、新たな空間を構築する上でも重要な手段です。例えば、特異点を解決するためのほとんどの手順は、特異点が滑らかになるまでブローアップすることで進められます。この結果、ブローアップは双有理写像の特異点を解決するために用いることができます。

古典的には、ブローアップは外在的に定義されていた。まず、座標系における明示的な構成を用いて射影空間などの空間上のブローアップを定義し、次に埋め込みを用いて他の空間上のブローアップを定義した。これは、モノイド変換という古典的な用語など、いくつかの用語に反映されている。現代の代数幾何学では、ブローアップは代数多様体に対する本質的な演算として扱われる。この観点から、ブローアップは（圏論の意味で）部分多様体をカルティエ因子に変換する普遍的な方法である。

ブローアップは、モノイド変換、局所二次変換、膨張、σ過程、ホップ マップとも呼ばれます。

平面上の点の拡大

爆発の最も単純な例は、平面上の点の爆発です。爆発の一般的な特徴のほとんどがこの例に見られます。

爆発は、入射対応として総合的に記述される。グラスマン多様体は、平面上の点を通る直線全体の集合を媒介変数化することを思い出そう。 射影平面の点（ここでは と表記する）における爆発は、 ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {Gr} (1,2).}$

ここで はの別の点を表し、はグラスマン多様体の元です。は射影多様体の積の閉部分多様体なので射影多様体です。 はへの自然な射影を持ち、これにより対が に移ります。この射影は を持つすべての点の開部分集合上の同型です。なぜなら直線はこれらの2点によって決定されるからです。しかし、 の場合には、直線はを通る任意の直線になり得ます。これらの直線は を通る方向の空間に対応し、これは と同型です。これは例外因子と呼ばれ、定義によりにおける射影化された通常空間です。は点なので、通常空間は接空間と同じであり、例外因子は における射影化された接空間と同型です。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle (Q,\ell )}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (Q,\ell )\in X}$ ${\displaystyle Q\neq P}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle Q=P}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

爆発上の座標を与えるために、上記の入射対応関係の式を書き下すことができます。点 を同次座標とします。射影双対性により、は と同型なので、同次座標 を与えることができます。直線とは、となるすべての の集合です。したがって、爆発は次のように記述できます。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [P_{0}:P_{1}:P_{2}]}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$ ${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$ ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$ ${\displaystyle X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0}$

${\displaystyle X={\bigl \{}{\bigl (}[X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}]{\bigr )}\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

爆発は から離れた同型であり、射影平面ではなくアフィン平面で作業することで、爆発のより簡単な方程式を与えることができる。射影変換の後、 と仮定できる。アフィン平面 上の座標をと と書く。条件からが成り立つので、グラスマン多様体を に置き換えることができる。すると、爆発は 多様体 となる 。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P=[0:0:1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{X_{2}\neq 0\}}$ ${\displaystyle P\in \ell }$ ${\displaystyle L_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

${\displaystyle {\bigl \{}{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid xz+yw=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

座標を変換して符号を反転させる方が一般的です。その場合、展開図は次のように書き表されます。

${\displaystyle \left\{{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

この方程式は前の方程式よりも一般化しやすいです。

グラスマン多様体の無限大点を削除すると（例えば を設定して）、爆発は簡単に視覚化でき、 3D 空間で標準的な鞍型面が得られます。 ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle y=xz}$

爆発は、点への法線空間上の座標を用いて直接記述することもできる。ここでもアフィン平面 を扱います。原点への法線空間はベクトル空間 であり、は原点の最大イデアルです。代数的には、このベクトル空間の射影化はその対称代数のProj、すなわち ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)}$

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

この例では、具体的な説明は次のようになります。

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

ここで、と は次数 0、とは次数 1 です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

実数または複素数上で、ブローアップは連結和 として位相的に記述されます。が の原点であると仮定し、無限遠直線を と書きます。 にはを に送る反転写像があります。 は単位球面に関する円反転です。 を固定し、原点を通る各直線を保存し、球面の内部と外部を交換します。 は、無限遠直線を原点に送ることで連続写像に拡張されます。この拡張は とも表記され、ブローアップを作成するのに使用できます。 を単位球の補集合と表記します。ブローアップは、の 2 つのコピーを に沿って接続することで得られる多様体です。 には への写像があり、 は の最初のコピーとの 2 番目のコピー上の恒等写像です。この写像は から離れた同型であり、 上のファイバーはの 2 番目のコピーの無限遠直線です。この直線上の各点は原点を通る一意の直線に対応するため、 上のファイバーは原点を通る可能な法線方向に対応します。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\subseteq \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle {t}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \left({\frac {x}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}},{\frac {y}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\backslash \{0\}\to \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi }$

この過程は向き付けられた多様体を生成するはずである。これを実現するためには、 の2つのコピーに反対向きを与える必要がある。記号で表すとは であり、は標準の向きとは反対向きである。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

複素空間における点の爆発

n次元複素空間C ^nの原点をZとする。つまり、Zはn座標関数が同時に消滅する点である。P n ^{- 1}を同次座標を持つ( n - 1)次元複素射影空間とする。i , j = 1, ..., nに対して以下の式を同時に満たすC ⁿ × P ^{n - 1}の部分集合をPとする。射影は ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

${\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}$

自然に正則写像 を誘導する

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}$

この写像 π (または、多くの場合、空間) は、C ⁿのブローアップ(さまざまな綴りでblow upまたはblowup )と呼ばれます。 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

例外因子 Eは、πの点にお​​ける爆発軌跡Zの逆像として定義される。

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

は射影空間のコピーである。これは有効因子である。E から離れると、 π はC ⁿ \ Zと同型であり、 C ⁿと双有理写像である。 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

代わりに正則射影を考えるならば

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

の同語的直線束が得られ、例外的な因子をその零切断と同一視することができる。すなわち、上のファイバーの零元を各点に割り当てる となる。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

複素多様体における部分多様体の爆発

より一般的には、の任意の余次元複素部分多様体を分解することができます。を方程式 の軌跡とし、を 上の同次座標とします。すると、分解された部分は、 空間 におけるすべての に対する方程式 の軌跡となります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq k}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{k-1}}$

さらに一般的には、この構成を局所的に適用することで、任意の複素多様体の任意の部分多様体を爆発させることができます。その効果は、前述と同様に、爆発の軌跡を例外因子に置き換えることです。言い換えれば、爆発写像は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

は双有理写像であり、 から離れると同型写像を誘導し、 上ではファイバ を持つ局所自明なファイバ化を誘導する。実際、この制約はにおけるの正規バンドルの射影化として自然に捉えられる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$ ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

は滑らかな因子（余次元が 1）なので、その法線束は直線束 です。が自身と負に交差することを示すのは難しくありません。これは、その法線束が正則切断を持たないことを意味します。 は、におけるそのホモロジー類を代表する唯一の滑らかな複素数です。（ を同じ類の別の複素部分多様体へと自身から摂動させることができると仮定します。すると、複素部分多様体が常にそうであるように、2つの部分多様体は正に交差し、 の負の自己交差と矛盾します。）これが、この因子が例外的と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

以外の の部分多様体をとします。が と素である場合、 に沿って爆発しても本質的に影響を受けません。しかし、 が と交差する場合、爆発 におけるの2つの異なる類似体が存在します。1つはの閉包である の真（または厳密）変換です。における の通常バンドルは、におけるの通常バンドルとは異なります。もう1つはの一部またはすべてを組み込んだ全変換です。これは本質的に、コホモロジーにおけるの引き戻しです。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$

計画を吹き飛ばす

爆発を最も一般化するために、X をスキームとし、X上のイデアルのコヒーレント層とする。Xのに関する爆発は、射を伴うスキームである。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

プルバックは 可逆層であり、次の普遍的性質によって特徴付けられます。 が可逆層である任意の射f : Y → Xに対して、fはπ を介して一意に因数分解されます。 ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$

注意してください

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

はこの性質を持ちます。これが爆発の構成方法です（リース代数も参照）。ここでProjは可換環の次数付き層上のProj構成です。

例外的な約数

爆発の例外的因子は、イデアル層 の逆像によって定義される部分スキームであり、 と表記されることもある。Proj による爆発の定義から、この部分スキームEはイデアル層 によって定義されることがわかる。このイデアル層はπ の相対的因子でもある。 ${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

π は例外因子から離れたところでは同型であるが、例外因子は π の例外的軌跡内にある必要はない。つまり、 π はE上で同型となり得る。これは、例えば が既に可逆層であるような自明な状況で起こる。特に、このような場合には、射 π は例外因子を決定しない。例外的軌跡が例外因子より確実に小さくなる別の状況は、X が特異点を持つときである。例えば、X をP ¹ × P ¹上のアフィン円錐とする。X はA ⁴におけるxw − yzの消失軌跡として与えられる。イデアル( x , y )および( x , z )は、それぞれがXの頂点を通過する 2 つの平面を定義する。頂点から離れたところでは、これらの平面はXの超曲面であるため、そこでの爆発は同型となる。したがって、これらのいずれかの平面の爆発の例外的な軌跡は円錐の頂点の中心に位置し、その結果、例外的な約数よりも確実に小さくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

その他の例

線形部分空間の爆発

をn次元射影空間とする。次元dの線型部分空間Lを固定する。Lに沿ったの爆発を記述する明示的な方法はいくつかある。 が座標 を持つと仮定する。座標を変更した後、 と仮定することができる。爆発は に埋め込まれている可能性がある。 を第 2 因子上の座標とする。L は正則な数列で定義されるため、爆発は行列 の 2 行 2 列の小行列式の消失によって決定される。この連立方程式は、2 つの行が線型従属であると主張することと同等である。点がL内にあるのは、その座標を上記の行列の最初の行に代入したとき、その行が 0 である場合に限る。この場合、Qには条件がない。ただし、その行が 0 でない場合、線型従属であることから、2 行目は 1 行目のスカラー倍数となり、したがって爆発内に となるような点が 1 つだけ存在することになる。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle L=\{X_{0}=\dots =X_{n-d}=0\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d-1}}$ ${\displaystyle Y_{0},\dots ,Y_{n-d}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle (P,Q)}$

この爆発は、 が の - 次元部分空間のグラスマン多様体を表す場合の、接続対応 として総合的に記述することもできます 。前の座標化との関係を確認するには、 L を含むすべての の集合が射影空間 と同型であることに注目してください。これは、各部分空間MがLとLにない点Qとの線型結合であり、2 つの点QおよびQ' が同じMを決定するのは、それらがLから離れたの射影の下で同じ像を持つ場合のみであるためです。したがって、グラスマン多様体は のコピーで置き換えることができます。 のとき、 PとLとの線型結合を含む部分空間M は1 つしかありません。上記の座標では、が零ベクトルでない場合がこれに該当します。この場合は が零ベクトルであることに対応し、この場合は任意のQが許されます。つまり、Lを含む任意のMが可能です。 $${\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),}$$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ ${\displaystyle (n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle P\not \in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$ ${\displaystyle P\in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$

曲線の交差をスキーム理論的に爆破する

を次数 の一般同次多項式とします（つまり、それらの関連する射影多様体はベズーの定理により点で交差します）。次のスキームの射影写像は、点で爆発するモデルを与えます。ファイバーを見ると、これが正しい理由が分かります。点を取ると、プルバックダイアグラムは、または のときはいつでもファイバーが点であり、 のときはファイバーが であることを示します。 ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f(p)\neq 0}$ ${\displaystyle g(p)\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle f(p)=g(p)=0}$

関連する構成

上で述べたC ⁿの展開において、複素数の使用は必ずしも重要ではありません。展開は任意の体上で行うことができます。例えば、R ²を原点で実展開するとメビウスの帯が得られます。同様に、二次元球面S ^{2を展開すると}実射影平面が得られます。

正規円錐への変形は、代数幾何学における多くの結果を証明するために用いられる爆発的な手法である。スキームXと閉部分スキームVが与えられたとき、爆発的な変形は

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

それから

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

はファイバ化である。一般ファイバは自然にXと同型であるが、中心ファイバは2つのスキームの和集合である。1つはXをVに沿って拡大したもの、もう1つはファイバを射影空間まで完備化したVの法円錐である。

シンプレクティック圏でも、シンプレクティック多様体に互換性のあるほぼ複素構造を与え、複素ブローアップを進めることで、ブローアップを実行できます。これは、純粋に位相的なレベルでは意味を成します。しかし、ブローアップにシンプレクティック形式を与えるには、例外因子Eを越えてシンプレクティック形式を任意に拡張できないため、いくらか注意が必要です。 Eの近傍でシンプレクティック形式を変更するか、 Zの近傍を切り取って境界を明確な方法で崩壊させることでブローアップを実行する必要があります。これは、シンプレクティック切断の形式化を使用すると最もよく理解されます。シンプレクティック切断の特殊ケースはシンプレクティックブローアップです。シンプレクティック切断は、シンプレクティック和の逆演算とともに、滑らかな因子に沿った通常の円錐への変形のシンプレクティックな類似物です。

参照

• 無限に近い点 – 代数幾何学における概念
• 特異点の解決 – 代数幾何学における概念

参考文献

• フルトン、ウィリアム（1998年）『交差理論』シュプリンガー・フェアラーク社、ISBN 0-387-98549-2。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ (1978). 『代数幾何学の原理』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-32792-1。
• ハーツホーン、ロビン (1977).代数幾何学. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90244-9。
• マクダフ、デューサ、サラモン、ディートマー（1998年）『シンプレクティック・トポロジー入門』オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-850451-9。

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