ローレンツ変換

Family of linear transformations

1916年のヘンドリック・ローレンツ。

物理学において、ローレンツ変換とは、時空のある座標系から、それに対して一定速度で移動する別の座標系への、6つのパラメータを持つ線型 変換の族である。それぞれの逆変換は、この速度の負の値をパラメータとする。これらの変換は、オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられている。

変換の最も一般的な形式は、x方向に制限された速度を表す実定数でパラメータ化され、次のように表現されます^{[1] [2]。}ここで、 ( t、x、y、z )および( t ′、x ′、y ′、z ′)は、空間原点がt = t ′ = 0で一致する 2 つのフレームにおけるイベントの座標です。プライム付きフレームは、プライムなしフレームからx軸に沿って速度vで移動しているように見えます。ここで、cは光速、 はローレンツ因子です。速度vがcよりもはるかに小さい場合、ローレンツ因子は 1 とほとんど変わりませんが、v がcに近づくにつれて、は無制限に大きくなります。変換が意味を成すためには、 vの値がcよりも小さくなければなりません。 ${\displaystyle v,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$

速度を光速の割合として表すと、変換の同等の形は次のようになる^[3]。 ${\textstyle \beta =v/c,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}}$$

参照系は、慣性系（等速度の相対運動）と非慣性系（加速、曲線運動、等角速度の回転運動など）の2つのグループに分けられます。「ローレンツ変換」という用語は、通常、特殊相対論の文脈において、慣性系間の変換のみを指します。

各参照系において、観測者は長さを測定するために局所座標系（この文脈では通常直交座標系）を用い、時間間隔を測定するために時計を用いる。事象とは、ある瞬間に空間の一点、より正式には時空のある点で起こる事象である。これらの変換は、各参照系において観測者が測定した事象の空間座標と時間座標を結び付ける。 ^{[注 1]}

これらは、絶対空間と絶対時間を仮定するニュートン物理学のガリレイ変換に取って代わるものです(ガリレイ相対性理論を参照)。ガリレイ変換は、光速よりはるかに遅い相対速度でのみ適切な近似となります。ローレンツ変換には、ガリレイ変換には現れない、直感に反する特徴がいくつかあります。たとえば、ローレンツ変換は、異なる速度で移動する観測者は異なる距離、経過時間、さらには異なる事象の順序を測定する可能性がありますが、光速は常にすべての慣性系で同じであるという事実を反映しています。光速不変性は特殊相対性理論の公理の1 つです。

歴史的に、これらの変換は、ローレンツらが、光速度が基準系に依存しないことが観測される理由を説明し、電磁気学の法則の対称性を理解しようとした試みの結果である。これらの変換は後に特殊相対性理論の基礎となった。

ローレンツ変換は線型変換である。空間の回転を含むこともある。回転を伴わないローレンツ変換はローレンツブーストと呼ばれる。ミンコフスキー空間（特殊相対論における時空の数学モデル）において、ローレンツ変換は任意の2つの事象間の時空間隔を保存する。ローレンツ変換は、原点における時空事象が固定された変換のみを記述する。ローレンツ変換はミンコフスキー空間の双曲回転と考えることができる。並進も含むより一般的な変換集合は、ポアンカレ群として知られている。

歴史

ウォルデマール・フォークト、ジョージ・フィッツジェラルド、ジョセフ・ラーモア、そしてヘンドリック・ローレンツ^[4]自身を含む多くの物理学者が、1887年以来、これらの方程式が示唆する物理について議論してきた。^[5] 1889年の初めに、オリバー・ヘヴィサイドはマクスウェル方程式から、電荷が光伝導エーテルに対して運動すると、球状分布の電荷を囲む電場は球対称性を失うはずであることを示した。その後、フィッツジェラルドは、ヘヴィサイドの歪みの結果が分子間力の理論に適用できるのではないかと推測した。数か月後、フィッツジェラルドは、1887年のマイケルソンとモーリーによるエーテル風の実験の不可解な結果を説明するために、運動している物体は収縮しているという推測を発表した。 1892年、ローレンツは独立して同じ考えをより詳細な形で提示し、後にフィッツジェラルド・ローレンツ収縮仮説と呼ばれるようになった。^[6]彼らの説明は1905年以前には広く知られていた。^[7]

光伝導エーテル仮説を信じていたローレンツ（1892–1904）とラーモア（1897–1900）もまた、エーテルから運動系への変換においてマクスウェル方程式が不変となる変換を模索した。彼らはフィッツジェラルド・ローレンツ収縮仮説を拡張し、時間座標も修正する必要があることを発見した（「局所時間」）。アンリ・ポアンカレは、運動系における光速度は一定であるという仮定の下、時計同期の結果として局所時間（v / c（2つの基準系間の相対速度を光速に正規化した値）の一次）を物理的に解釈した。^{[8]ラーモアは、自身の方程式に内在する重要な}時間の遅れという性質を初めて理解した人物として知られている。^[9]

1905年、ポアンカレは、この変換が数学的な群の性質を持つことを初めて認識し、ローレンツにちなんでこの変換をローレンツと名付けました。^[10]同年後半、アルベルト・アインシュタインは、相対性原理と慣性系における光速度の不変性を仮定してローレンツ変換を導き、機械論的エーテルを不要として放棄することで、現在では特殊相対性理論と呼ばれている理論を​​発表しました。^[11]

ローレンツ変換群の導出

イベントとは、時空のある点、あるいはより一般的には時空のある点自体で起こる出来事です。任意の慣性系において、イベントは時間座標ctと、その慣性系における空間の位置を表す直交座標 x、y、zの組によって指定されます。添え字は個々のイベントを表します。

アインシュタインの相対性理論の第二公準（cの不変性）から次のようになります。

$${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(lightlike separated events 1, 2)}}}$$

D1

光信号で結ばれた事象のすべての慣性系において、左側の量は事象間の時空間隔a ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ )およびa ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ )と呼ばれます。光信号で区切られる必要のない任意の2つの事象間の間隔は実際には不変であり、つまり、空間の均質性と等方性を用いて示されるように、異なる慣性系における観測者の相対運動の状態とは無関係です。したがって、求められる変換は次の特性を持つ必要があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}&=&\\[6pt]c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}&&\quad {\text{(all events 1, 2)}}.\end{aligned}}}$$

D2

ここで、( t , x , y , z )は1つのフレームでイベントを定義するために使用される時空座標であり、( t ′, x ′, y ′, z ′)は別のフレームの座標です。まず、任意の4組の数値bをイベントa ₁とa ₂に追加すると、 ( D2 )が満たされることがわかります。このような変換は時空変換と呼ばれ、ここではこれ以上扱いません。次に、より単純な問題の原点を保存する線形解が、一般的な問題も解決することがわかります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}&=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}&\quad {\text{or}}\\[6pt]c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}&=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}&\end{aligned}}}$$

D3

（最初の式を満たす解は、自動的に2番目の式も満たします。分極恒等式を参照してください）。より単純な問題の解を見つけるには、様々なシグネチャの双線型形式を保存する古典群の理論を調べるだけで済みます。^{[注 2]}（D3）の最初の方程式は、より簡潔に次のように書くことができます。

$${\displaystyle (a,a)=(a',a')\quad {\text{or}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',}$$

D4

ここで、(·, ·)は、( D3 )の右辺の式で示されるR ⁴上の署名 (1, 3)の双線型形式を指します。右側で定義されている別の表記は、相対論的ドット積と呼ばれます。この双線型形式を備えたR ⁴として数学的に見た時空は、ミンコフスキー空間Mとして知られています。したがって、ローレンツ変換は、グループO(1, 3)、ローレンツ グループ、または、他のメトリック署名を好む人のために、O(3, 1) (ローレンツ グループとも呼ばれる) の要素です。^{[nb 3]}次の式が成り立ちます。

$${\displaystyle (a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,}$$

D5

これはまさに双線型形式( D3 )の保存であり、Λの線型性と形式の双線型性により( D2 )が満たされることを意味する。ローレンツ群の要素は回転とブースト、そしてそれらの混合である。時空並進運動を含めると、非同次ローレンツ群、あるいはポアンカレ群が得られる。

一般論

プライム付き時空座標とプライムなし時空座標の関係はローレンツ変換であり、一方の系における各座標は他方の系におけるすべての座標の線形関数であり、その逆関数は逆変換である。系が互いにどのように移動するか、また空間内でどのように向き合うかに応じて、方向、速度、および向きを表す他のパラメータが変換方程式に入力される。

一定（一様）速度で空間座標軸を回転させずに相対運動を記述する変換は、ローレンツ ブーストまたは単にブーストと呼ばれ、フレーム間の相対速度が変換のパラメータとなります。ローレンツ変換のもう 1 つの基本的なタイプは、空間座標における回転のみです。ブーストとは異なり、相対運動がなく、フレームが単に傾いている（連続的に回転しているわけではない）ため、これらは慣性変換です。この場合、回転を定義する量は変換のパラメータとなります（たとえば、軸と角度の表現、オイラー角など）。回転とブーストを組み合わせたものが同次変換であり、原点を原点に戻します。

完全なローレンツ群O(3, 1)には、回転でもブーストでもない、原点を通る平面における鏡映変換という特殊な変換も含まれる。これらのうち、特に注目すべきは、すべてのイベントの空間座標の符号が反転する空間反転と、各イベントの時間座標の符号が反転する時間反転である。

ブーストは単なる時空変位と混同すべきではありません。この場合、座標系が単にシフトするだけで、相対運動は発生しません。しかし、これらは時空間隔を不変に保つため、特殊相対論によって強制される対称性としても数えられます。回転とブースト、そしてそれに続く時空シフトの組み合わせは、非同次ローレンツ変換であり、ポアンカレ群の元であり、非同次ローレンツ群とも呼ばれます。

ローレンツブーストの物理的定式化

座標変換

各観測者が慣性座標系（標準構成）で測定した事象の時空座標が吹き出しで示されている。
上：フレームF ′ はフレームF ′のx軸に沿って速度vで移動する。下：フレームF ′はフレームF ′のx軸に沿って速度 − vで移動する。^[12]

フレームFにおける「静止」観測者は、座標t、x、y、zを用いて事象を定義します。別のフレームF ′ はFに対して速度vで移動しており、この「移動」フレームF ′における観測者は、座標t ′、x ′、y ′、z ′を用いて事象を定義します。

各フレームの座標軸は平行（x 軸とx ′軸は平行、y軸とy ′軸は平行、z軸とz ′軸は平行）であり、互いに垂直であり、相対運動は一致するxx ′軸に沿って行われます。 t = t ′ = 0において、両方の座標系の原点は一致し、( x , y , z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) となります。つまり、このイベントでは時刻と位置が一致しています。これらすべてが成り立つ場合、座標系は標準構成にある、または同期されていると言われます。

Fの観測者がイベントt、x、y、zを記録する場合、 F ′の観測者は同じイベントを座標^[13]で記録します。

ローレンツブースト（x 方向）

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

ここで、vはx方向のフレーム間の相対速度、cは光速、 (小文字のgamma ) はローレンツ因子です。 $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

ここで、vは変換パラメータであり、与えられたブーストに対しては定数ですが、連続した値の範囲を取ることができます。ここで使用されている設定では、正の相対速度v > 0はxx ′軸の正方向に沿った運動であり、相対速度0は相対運動がなく、負の相対速度v < 0はxx ′軸の負方向に沿った相対運動です。相対速度vの大きさはc と等しいかそれを超えることはできないため、光速以下の速度− c < v < cのみが許可されます。対応するγの範囲は1 ≤ γ < ∞です。

vがこれらの限界外にある場合、変換は定義されません。光速（v = c）ではγは無限大であり、光速（v > c）ではγは複素数であり、これらのいずれの場合も変換は非物理的です。空間座標と時間座標は測定可能な量であり、数値的には実数でなければなりません。

能動的な変換として、 F ′内の観測者は、変換における− vにより、イベントの座標がxx ′軸の負の方向に「ブースト」されることに気づく。これは、座標系F ′がxx ′軸の正の方向にブーストされたのと同等の効果を持つが、イベントは変化せず、単に別の座標系、すなわち受動的な変換で表される。

逆関係（t、x、y、zをt ′、x ′、y ′、z ′に関して）は、元の方程式を代数的に解くことで見つけることができます。より効率的な方法は、物理法則を用いることです。ここで、F ′は「静止」座標系であり、Fは「移動」座標系です。相対性原理によれば、優先座標系は存在しないため、F ′からFへの変換は、 FからF ′への変換と全く同じ形をとる必要があります。唯一の違いは、F がF ′に対して速度− vで移動する点です（つまり、相対速度の大きさは同じですが、方向が逆です）。したがって、F ′の観測者がt ′、x ′、y ′、z ′という事象を観測する場合、 Fの観測者は同じ事象を座標で観測します。

逆ローレンツブースト（x 方向）

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}}$

γの値は変化しません。相対速度の大きさはそのままに、その方向を反転させ、プライム付き変数とプライムなし変数を交換するというこの「トリック」は、あらゆる方向へのブーストの逆変換を求める際に常に適用されます。^{[14] [15]}

場合によっては、 vの代わりにβ = v / c（小文字のベータ）を使用する方が便利なことがあります。これにより、変換の対称性がより明確になります。vの許容範囲とβの定義から、 −1 < β < 1となります。 βとγの使用は、文献全体で標準です。ブーストがx方向である3 つの空間次元[ ct、x、y、z ]の場合、変換の固有状態は、固有値 の[1, 1, 0, 0]、固有値 の[1, −1, 0, 0]、および[ 0, 0, 1, 0]と[0, 0, 0, 1]で、最後の 2 つは固有値 1 です。  $${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$

ブースト速度がブーストベクトルを持つ任意のベクトル方向にあるとき、プライムなしの時空座標系からプライムありの座標系への変換は^{[16] [17]で与えられる。} ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}/c}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'{\vphantom {-\gamma \beta _{\text{x}}}}\\x'{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}}}\\y'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}}}\\z'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{\text{x}}&-\gamma \beta _{\text{y}}&-\gamma \beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{x}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{y}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{z}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{z}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{z}}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct{\vphantom {-\gamma \beta _{\text{x}}}}\\x{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}}}\\y{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}}}\\z{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}}}\end{bmatrix}},}$$

ここでローレンツ因子は である。変換行列の行列式は +1 であり、そのトレースは である。変換の逆変換は の符号を反転することで得られる。この量は変換に対して不変である。すなわち である。 ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}^{2}}}}$ ${\displaystyle 2(1+\gamma )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ ${\displaystyle (ct'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2})=(ct^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})}$

ローレンツ変換は、双曲関数を用いた3次元空間における円回転に似た方法でも導出できる。x方向のブーストについては、結果は次のようになる。

ローレンツブースト（x 方向、ラピディティ ζ）

${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\x'&=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

ここで、ζ (小文字のゼータ) はラピディティと呼ばれるパラメータです( θ、ϕ、φ、η、ψ、ξなど、他の多くの記号も使用されます)。3次元空間の直交xy、yz、zx平面における空間座標の回転と非常によく似ていることから、ローレンツブーストは、 4次元ミンコフスキー空間の xt、 yt、 zt 直交時間平面における時空座標の双曲回転と考えることができます。パラメータζは、円回転の通常の角度に類似した、双曲回転角です。この変換は、ミンコフスキー図で示すことができます。

双曲関数は、時空区間における時間座標と空間座標の平方の差から生じるものであり、和から生じるものではない。双曲関数の幾何学的意味は、変換においてx = 0またはct = 0とすることで視覚化できる。結果を二乗して減算することで、座標値は一定だがζが変化する双曲曲線が得られる。これは、曲線を恒等式に従ってパラメータ化する 。 $${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$$

逆に、ct軸とx軸は、 ζが一定で座標が変化するものとして構成することができる。この定義は、ラピディティの定数と時空におけるct軸の傾きとの関係を示している。結果として、これら2つの双曲式は、ローレンツ因子と一致する恒等式となる。 $${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$$ $${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$$

相対速度とラピディティの観点からローレンツ変換を比較すると、または上記の式を使用すると、β、γ、ζの関係は $${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}}$$

逆双曲正接をとるとラピディティが得られる。 $${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$$

−1 < β < 1なので、 −∞ < ζ < ∞となる。ζとβの関係から、正のラピディティζ > 0はxx ′軸の正方向に沿った運動であり、ラピディティζが 0の場合は相対運動がない。一方、負のラピディティζ < 0はxx ′軸の負方向に沿った相対運動である。

逆変換は、座標系を反転するために、プライム付きとプライムなしの量を交換してラピディティζを反転し、相対速度を反転することと等価なζ → − ζとすることで得られる。したがって、

逆ローレンツブースト（x 方向、ラピディティ ζ）

${\displaystyle {\begin{aligned}ct&=ct'\cosh \zeta +x'\sinh \zeta \\x&=x'\cosh \zeta +ct'\sinh \zeta \\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

逆変換は、 x ′ = 0およびct ′ = 0の場合を考慮することで同様に視覚化できます。

これまで、ローレンツ変換は1つのイベントに適用されてきました。イベントが2つある場合、それらの間には空間的な分離と時間的な間隔があります。ローレンツ変換の線形性から、空間座標と時間座標の2つの値を選択し、それぞれにローレンツ変換を適用し、それらを減算することで差のローレンツ変換を得ることができます。Δ （大文字のデルタ）は量の差を表します。例えば、 2つのx座標値の場合、 Δ x = x ₂ − x ₁となります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$$

空間的な点や瞬間ではなく差異に基づくこれらの変換は、いくつかの理由で有用です。

• 計算や実験では、測定されたり関心の対象になったりする2点間の長さや時間間隔（例えば、移動している車両の長さや、ある場所から別の場所まで移動するのにかかる時間）
• 速度の変換は、差を無限小にして方程式を割ることによって容易に導き出すことができ、このプロセスを加速度の変換についても繰り返すことができる。
• 座標系が決して一致しない場合（つまり、標準構成ではない場合）、両方の観測者がFのイベントt ₀、x ₀、y ₀、z ₀とF ′のイベントt ′ ₀、x ′ ₀、y ′ ₀、z ′ ₀に同意できる場合、そのイベントを原点として使用でき、時空座標の差は、それぞれの座標とこの原点の差になります（たとえば、Δ x = x − x ₀、Δ x ′ = x ′ − x ′ ₀など）。

物理的な影響

ローレンツ変換の重要な要件は光速度の不変性であり、この事実は変換の導出に用いられ、変換自体にも含まれています。F において x 方向の光パルスの式が x = ct である場合、F ′においてローレンツ変換はx ′ = ct ′ を与え、その逆もまた成り立ちます（任意の− c < v < cの場合） 。

光速よりもはるかに遅い相対速度の場合、ローレンツ変換はガリレイ変換に帰着する：^{[18] [19]これは}対応原理に従う。非相対論的物理学は「遠隔瞬間作用」の物理学であると言われることがある。^[20] $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$$

直感に反するが正しい、変換の 3 つの予測は次のとおりです。

同時性の相対性

Fにおいて、 x 軸に沿って2つの事象が同時に（Δ t = 0）発生するが、それらの事象間の変位Δ xは非ゼロであるとする。すると、 F′においては となり、移動する観測者から見ると、これらの事象はもはや同時ではないことがわかる。 ${\displaystyle \Delta t'=-\gamma {v\,\Delta x}/{c^{2}}}$

時間の遅れ

F内に静止した時計があるとします。そのフレーム内の同じ点で時間間隔が測定され、Δ x = 0となる場合、変換によりF ′内のこの間隔はΔ t ′ = γ Δ tとなります。逆に、 F ′内に静止した時計があるとします。そのフレーム内の同じ点で時間間隔が測定され、Δ x ′ = 0となる場合、変換によりF内のこの間隔はΔ t = γ Δ t ′となります。いずれの場合も、各観測者は、動いている時計の刻み間の時間間隔を、自分の時計の刻み間の時間間隔よりも係数γだけ長く測定します。

長さの収縮

F内に、 x軸に沿って長さΔ xの棒が静止しているとします。F ′では、棒は速度− vで動くため、その長さは、反対側の端で同時に ( Δ t ′ = 0 ) 測定を行う必要があります。これらの条件下では、逆ローレンツ変換によりΔ x = γ Δ x ′となります。Fでは、 2 つの測定は同時ではありませんが、棒はF内で静止しているので、これは問題になりません。そのため、各観測者は、動いている棒の端点間の距離が、自身のフレーム内で静止している同一の棒の端点間の距離よりも係数1/ γだけ短いと測定します。長さの収縮は、長さに関連するあらゆる幾何学的量に影響するため、動いている観測者から見ると、面積と体積も運動の方向に沿って縮小して見えるでしょう。

ベクトル変換

系Fの観測者はF ′ が速度vで運動しているのを観測し、一方F ′ はF が速度− vで運動しているのを観測する。各系における座標軸は依然として平行^{（誰の見解か？）かつ直交である。各系で測定された位置ベクトルは、相対速度ベクトル}vに平行な成分と垂直な成分に分割される。
左：標準配置。右：逆配置。

ベクトルを用いることで、任意の方向における位置と速度を簡潔に表現することができます。任意の方向への単一のブーストは、絶対値| v | = vを持つ完全な相対速度ベクトル vに依存します。v はc と等しいかそれを超えることはなく、0 ≤ v < cとなります。

相対運動の方向に平行な座標と時間のみが変化し、垂直な座標は変化しません。これを念頭に置き、Fで測定された空間位置ベクトル rとF ′で測定されたr ′をそれぞれvに垂直な成分 ( ⊥ ) と平行な成分 ( || )に分割すると、変換は 次のようになります。ここで·はドット積です。ローレンツ因子γは相対速度の大きさのみに依存するため、どの方向へのブーストに対しても定義が保持されます。大きさが 0 ≤ β < 1である定義β = v / cも、一部の著者によって使用されています。 $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$$

相対運動の方向に単位ベクトル n = v / v = β / βを導入すると、相対速度は大きさvと方向nを持つv = v nとなり、ベクトルの射影と除去はそれぞれ $${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

結果を累積すると完全な変換が得られる。

ローレンツブースト（方向 n 、大きさ v）

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.\end{aligned}}}$

投影と拒絶はr ′にも適用される。逆変換では、rとr ′を交換して観測座標を入れ替え、相対速度v → − v （または、大きさvは常に正な ので単位ベクトルn → − n ）を反転して、

逆ローレンツブースト（方向 n 、大きさ v）

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+(\gamma -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\gamma t'v\mathbf {n} \,,\end{aligned}}}$

単位ベクトルには、単一のブーストに対する方程式を簡素化できるという利点があり、必要に応じてvまたはβ のいずれかを復元でき、βとβγを置き換えることでラピディティパラメータ化を直ちに得ることができる。しかし、複数のブーストに対しては不便である。

相対速度とラピディティのベクトル関係は^[21]で示されており、「ラピディティベクトル」は次のように定義される。これらは文脈によっては便利な略語として用いられる。ζの大きさは、ラピディティスカラーの絶対値であり、0 ≤ ζ < ∞ の範囲に限定され、 0 ≤ β < 1の範囲と一致する。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$$

速度の変換

速度の変換により、相対論的速度の加算 ⊕ の定義が提供され、ベクトルの順序は速度の加算の順序を反映するように選択されます。最初にv ( F ′のFに対する相対的な速度)、次にu ′ ( F ′に対するXの相対的な速度) が選択され、u = v ⊕ u ′ ( Fに対するXの相対的な速度) が得られます。

ベクトル変換の座標と時間の微分をとって座標速度とローレンツ因子を定義し 、方程式を割ると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$$

速度uとu ′ は、質量のある物体の速度です。これらは、第3の慣性系（例えばF′）の速度でもあり、その場合は定数でなければなりません。どちらかの物体をXで表します。すると、X はFに対して速度uで移動します。つまり、 F′に対して速度u ′で移動します。一方、F′ はFに対して速度vで移動します。逆変換も同様の方法で取得できます。または、位置座標と同様に、uとu ′を交換し、vを− vに変更します。

速度の変換は恒星の光行差、フィゾーの実験、相対論的ドップラー効果に役立ちます。

加速度のローレンツ変換は、速度ベクトルの微分をとり、それを時間微分で割ることによって同様に得ることができます。

他の量の変換

一般に、4 つの量AとZ = ( Z _x、Z _y、Z _z )とそれらのローレンツブーストされた対応物A′とZ ′ = ( Z ′ _x、Z ′ _y、Z ′ _z )が与えられている場合、形式の関係は、量が時空座標の変換と同様にローレンツ変換を受けて変換されることを意味します。 $${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$$

Z (およびZ ′ ) をvに垂直な成分と平行な成分に分解するプロセスは、位置ベクトルの場合とまったく同じです。また、逆変換を取得するプロセスも同様です (観測量を反転するために( A , Z )と( A ′, Z ′)を交換し、 n ↦ − nを代入して相対運動の方向を反転します)。

量( A , Z )は全体で4元ベクトルを構成します。ここで、Aは「時間的要素」、Z は「空間的要素」です。AとZの例を以下に示します。

4ベクトル	あ	Z
位置4ベクトル	時間（cを乗じた値）、ct	位置ベクトル、r
4つの運動量	エネルギー（cで割ったもの）、E / c	運動量、p
4波ベクトル	角周波数（cで割ったもの）、ω / c	波数ベクトル、k
4スピン	（名前なし）、s t	スピン、s
4つの電流	電荷密度（cを乗じた値）、ρc	電流密度、j
電磁四ポテンシャル	電位（ cで割ったもの）、φ / c	磁気ベクトルポテンシャル、A

与えられた物体（粒子、流体、場、物質など）について、AまたはZ が、電荷密度、質量密度、スピンなど、物体に固有の特性に対応する場合、その特性はその物体の静止系で固定できます。次に、ローレンツ変換により、物体に対して一定速度で移動する系での対応する特性が得られます。これは、非相対論的物理学で当然と考えられているいくつかの概念を覆します。たとえば、物体のエネルギーEは、非相対論的力学ではスカラーですが、相対論的力学ではスカラーではありません。これは、エネルギーがローレンツ変換によって変化するためです。その値は、さまざまな慣性系で異なります。物体の静止系では、静止エネルギーとゼロの運動量を持ちます。ブーストされた系では、そのエネルギーは異なり、運動量を持つように見えます。同様に、非相対論的量子力学では粒子のスピンは定数ベクトルですが、相対論的量子力学ではスピンs は相対運動に依存します。粒子の静止系では、スピン擬ベクトルは、ゼロの時間的量s _tを持つ通常の非相対論的スピンに固定することができますが、ブーストされた観測者は、ゼロではない時間的成分と変化したスピンを知覚します。^[22]

すべての量が上に示した形式で不変というわけではありません。たとえば、軌道角運動量 Lには時間的量はなく、電場 Eや磁場 Bにも同様の量があります。角運動量の定義はL = r × pであり、ブーストされたフレームでは、変更された角運動量はL ′ = r ′ × p ′です。座標と運動量の変換を使用してこの定義を適用すると、角運動量の変換が導かれます。L はブーストに関連する別のベクトル量N = ( E / c ² ) r − t pで変換されることがわかります。詳細については、相対論的角運動量を参照してください。 EフィールドとBフィールドの場合、ベクトル代数を使用して直接変換を取得することはできません。ローレンツ力はこれらのフィールドの定義であり、FではF = q ( E + v × B )ですが、 F′ではF ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′)です。電磁場の単位も示す効率的な方法で EM フィールド変換を導出する方法は、以下に示すテンソル代数を使用することです。

数学的定式化

全体を通して、イタリック体で太字でない大文字は4 × 4マトリックスであり、イタリック体でない太字は3 × 3マトリックスです。

同次ローレンツ群

座標を列ベクトルで書き、ミンコフスキー計量 η を正方行列として 書き込むと、時空間隔は (上付き文字Tは転置を表す)の形式になり、ローレンツ変換に対して不変になります。 ここで、Λはパラメータに依存する正方行列です。 $${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$$ $${\displaystyle X'=\Lambda X}$$

この記事におけるすべてのローレンツ変換の集合はと表記される。この集合は行列乗算とともに群を形成し、この文脈ではローレンツ群として知られる。また、上記の式X · Xは時空上の符号 (3,1) の二次形式であり、この二次形式を不変にする変換群は不定直交群O(3,1)、すなわちリー群である。言い換えれば、ローレンツ群は O(3,1) である。この記事で示されているように、言及されているリー群はすべて行列リー群である。この文脈では、合成の演算は行列乗算となる。 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

時空区間の不変性から次の式が成り立ち、この行列方程式は時空区間の不変性を保証するためのローレンツ変換の一般条件を含んでいる。積の法則^{[注4]を用いて方程式の}行列式をとると、直ちに次の式が得られる 。 $${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$$ $${\displaystyle \left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$$

ミンコフスキー計量をブロック行列として書き、ローレンツ変換を最も一般的な形で書き、ブロック行列の乗算を実行することで、Γ、a、b、Mに関する相対論的不変性を保証するための一般的な条件が得られる。すべての条件から直接得られる情報は多くないが、結果の一つは有用である。b T ^b ≥ 0 が常に成り立つので、以下の式が成り立つ。 $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$$ $${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$ $${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$$

Γは時間座標を乗じるため、時間対称性に影響を与えるため、負の不等式は予想外であるかもしれない。正の等式が成り立つ場合、Γはローレンツ因子となる。

行列式と不等式は、ローレンツ変換（以下、簡略化のためLTと略す）を4通りに分類する方法を提供する。特定のLTは、行列式の符号と不等式をそれぞれ1つずつしか持たない。これらの分類集合の交点（「n」字型の記号は「and」を意味する）によって与えられるあらゆる可能なペアを含む4つの集合が存在する。

交差点、∩	反同期（または非同期）LT ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\downarrow }=\{\Lambda :\Gamma \leq -1\}}$	直交LT ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }=\{\Lambda :\Gamma \geq 1\}}$
適切なLT ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}=\{\Lambda :\det(\Lambda )=+1\}}$	適切な逆同期LT ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }}$	適切な直交LT ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$
不適切なLT ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}=\{\Lambda :\det(\Lambda )=-1\}}$	不適切な逆同期LT ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }}$	不適切な直交LT ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$

ここで、「+」と「−」は行列式の符号を示し、「↑」は≥、「↓」は≤で不等式を表します。

完全なローレンツ群は、 4つの互いに素な集合の和集合（「または」を意味する「U」字型の記号）に分解される。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$$

群の部分群は、その群の同じ演算（ここでは行列の乗算）に対して閉じていなければならない。言い換えれば、特定の部分群からの2つのローレンツ変換ΛとLに対して、合成ローレンツ変換Λ LとL Λ は、ΛとLと同じ部分群になければならない。これは常に当てはまるわけではない。2つの反時ローレンツ変換の合成は直交であり、2つの不適正ローレンツ変換の合成は適正である。言い換えれば、集合、、、 はすべて部分群を形成するが、十分な適正直交変換を伴わない不適正および/または反時変換を含む集合（例： 、、）は部分群を形成しない。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$

適切な変換

ある慣性系でローレンツ共変4次元ベクトルを測定して が得られ、別の慣性系（同じ方向と原点を持つ）で同じ測定を行って が得られた場合、この2つの結果は で関連付けられます。ここで、ブースト行列はプライムなしの系とプライムありの系の間の回転のないローレンツ変換を表し、 はプライムなしの系から見たプライムありの系の速度です。この行列は^[23]で与えられます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ $${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$$ ${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{\text{x}}/c&-\gamma v_{\text{y}}/c&-\gamma v_{\text{z}}/c\\-\gamma v_{\text{x}}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}v_{\text{y}}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}v_{\text{z}}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{\text{y}}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}v_{\text{x}}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}v_{\text{z}}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{\text{z}}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}v_{\text{x}}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}v_{\text{y}}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{\text{T}}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{\text{T}}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},}$$

ここでは速度の大きさ、はローレンツ因子です。この式は受動的な変換を表し、測定量の座標がプライムなしの座標系からプライムありの座標系にどのように変化するかを記述します。能動的な変換は で与えられます。 ${\textstyle v={\sqrt {v_{\text{x}}^{2}+v_{\text{y}}^{2}+v_{\text{z}}^{2}}}}$ ${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$ ${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$

フレームF ′がフレームFに対して速度uでブーストされ、別のフレームF'' がF ′に対して速度vでブーストされる場合、個別のブーストは、 であり、 2 つのブーストの合成は、F "とFの座標を接続します。後続の変換は左側で作用します。uとvが同一直線上（相対運動の同じ線に沿って平行または反平行）である場合、ブースト行列は交換されます：B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) 。 この合成変換は、別のブーストB ( w )となります。ここで、wはuおよびvと同一直線上にあります。 $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X}$$ $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.}$$

uとvが同一線上になく、異なる方向を向いている場合、状況はかなり複雑になります。異なる方向に沿ったローレンツブーストは可換ではありません。つまり、 B ( v ) B ( u )とB ( u ) B ( v )は等しくありません。これらの合成はそれぞれ単一のブーストではありませんが、各合成は時空間隔を保存するため、依然としてローレンツ変換です。任意の 2 つのローレンツブーストの合成は、R ( ρ ) B ( w )またはB ( w ) R ( ρ )の形式で、ブーストの前後に空間座標上の回転が行われたものと同等であることがわかります。wとwは合成速度であり、ρとρは回転パラメーター（軸角度変数、オイラー角など）です。ブロック行列形式の回転は、 R ( ρ )が3×3回転行列である 場合に単純に表すことができます。この行列は、任意の3次元ベクトルをある方向に回転させる（能動的な変換）、または座標フレームを反対の方向に回転させる（受動的な変換）ものです。wとρ （またはwとρ）を元のブーストパラメータuとvに結び付けるのは簡単ではありません。ブーストの合成において、R行列はウィグナー回転と呼ばれ、トーマス歳差運動を引き起こします。これらの論文では、 w、ρ、w、ρなどの表現を含む、合成変換行列の明示的な公式が示されています。 $${\displaystyle \quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,}$$

この記事では、ρについて軸-角度表現を使用します。回転は、単位ベクトルeの方向にある軸を中心に、角度θ （右手の法則に従って、正は反時計回り、負は時計回り）で行われます。「軸-角度ベクトル」は、便利な略語として使用できます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} }$$

空間回転も、時空間隔を不変に保つため、ローレンツ変換です。ブーストと同様に、異なる軸を中心とした連続的な回転は可換ではありません。ブーストとは異なり、任意の2つの回転の合成は1つの回転に相当します。ブースト行列と回転行列のその他の類似点と相違点には、以下が含まれます。

• 逆数：B ( v ) ⁻¹ = B (− v )（反対方向の相対運動）、R ( θ ) ⁻¹ = R (− θ )（同じ軸の周りの反対方向の回転）
• 相対運動/回転がない場合の恒等変換: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• 単位行列式：det( B ) = det( R ) = +1。この性質により、これらは適切な変換となる。
• 行列の対称性：Bは対称（転置に等しい）ですが、Rは非対称ですが直交します（転置は逆行列に等しく、R ^T = R ⁻¹）。

最も一般的な適切なローレンツ変換Λ( v , θ )はブーストと回転を組み合わせた非対称行列です。特殊なケースとして、Λ( 0 , θ ) = R ( θ )およびΛ( v , 0 ) = B ( v )が成り立ちます。一般的なローレンツ変換を明示的に記述するのは煩雑なため、ここでは省略します。ただし、群論的な議論を用いて、変換行列の閉じた形式の表現を以下で示します。ブーストにはラピディティパラメータ化を使用する方が簡単で、その場合はΛ( ζ , θ )およびB ( ζ )と記述します。

リー群SO⁺（3,1）

行列乗算を合成演算とする変換の集合は 、「制限ローレンツ群」と呼ばれる群を形成し、特殊不定直交群SO ⁺ (3,1)となる。（プラス記号は、時間次元の方向が保存されることを示す。） $${\displaystyle \{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}}$$

簡単のため、 x方向の微小ローレンツブーストについて見てみましょう（他の方向のブーストや任意の軸周りの回転についても同様の手順で調べることができます）。この微小ブーストは恒等関数からわずかに離れたブーストであり、ブースト行列をζ = 0の1次までテイラー展開することで得られます。 ここで、 ζは小さい ため、示されていない高次の項は無視でき、B _xは単にx方向のブースト行列です。この行列の微分は、（同じ変数に関する各要素の）微分行列であり、まず微分を求め、次にζ = 0で評価することが分かります。 $${\displaystyle B_{\text{x}}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{\text{x}}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots }$$ $${\displaystyle \left.{\frac {\partial B_{\text{x}}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{\text{x}}\,.}$$

現時点では、K _{x は}この結果によって定義される（その意義については後ほど説明する）。無限小ステップの無限個の極限において、指数関数の極限定義が用いられた行列指数関数の形をとる有限ブースト変換が得られる（指数関数の特性化も参照）。より一般的には^{[注 5]} $${\displaystyle B_{\text{x}}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{\text{x}}\right)^{\!N}=e^{-\zeta K_{\text{x}}}}$$ $${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.}$$

軸角ベクトルθとラピディティベクトルζは、（この特定の表現では）グループパラメータを構成する合計6つの連続変数であり、グループの生成元はK = ( K _x , K _y , K _z )とJ = ( J _x , J _y , J _z )であり、それぞれ明示的な形式を持つ行列のベクトルである^{[nb 6]} $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}K_{\text{x}}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{\text{y}}&={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{\text{z}}&={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[10mu]J_{\text{x}}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{\text{y}}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{\text{z}}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$$

これらはすべて上記のK _xと同様に定義されますが、ブースト生成子のマイナス符号は慣例的です。物理的には、ローレンツ群の生成子は時空における重要な対称性に対応します。Jは角運動量に対応する回転生成子、Kは時空におけるシステムの運動に対応するブースト生成子です。あるグループ パラメータtに依存するグループ内の、C (0) = Iを満たす任意の滑らかな曲線C ( t )の、そのグループ パラメータに関する導関数は、t = 0で評価され、対応するグループ ジェネレータGの定義として機能し、これは恒等式からの微小変換を反映しています。滑らかな曲線は常に指数関数としてとらえることができます。これは、指数関数は常に、すべてのtに対してt → exp( tG )を介してG をグループに滑らかに戻すためです。この曲線は、 t = 0で微分すると再びGになります。

指数をテイラー級数で展開すると、前のセクションで示したブースト行列と回転行列をコンパクトに再現する式が得られます。 $${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}$$ $${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.}$$

一般的な固有ローレンツ変換はブーストと回転の積であると述べられている。無限小レベルでは、積は可換である。なぜなら、線形項のみが必要となるからである（( θ · J )( ζ · K )や( ζ · K )( θ · J )のような積は高次の項として数えられ、無視できるからである）。前述と同様に極限をとると、指数関数の形をとる有限変換が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.}$$

逆もまた真であるが、有限一般ローレンツ変換をそのような因子に分解することは自明ではない。特に、 生成元が可換ではないためである。ブーストと回転を用いて一般ローレンツ変換の因子を原理的に求める方法（これは通常、生成元JとKを用いた分かりやすい表現にはならない）については、ウィグナー回転を参照のこと。一方、分解が生成元を用いて与えられ、積を生成元を用いて求める場合は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式が適用される。 $${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },}$$

リー代数 so(3,1)

ローレンツ生成子は、互いに加算したり、実数を乗算したりすることで、より多くのローレンツ生成子を得ることができます。言い換えれば、すべてのローレンツ生成子の集合は、通常の行列の加算や行列と数との乗算の演算と合わせて、実数上のベクトル空間を形成します。 ^{[nb 7]}生成子J _x、J _y、J _z、K _x、K _y、K _zはVの基底集合を形成し、軸角ベクトルとラピディティベクトルの成分θ _x、θ _y、θ _z、ζ _x、ζ _y、ζ _zは、この基底に対するローレンツ生成子の座標です。 ^{[nb 8]} $${\displaystyle V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}}$$

ローレンツ生成子の交換関係のうち 3 つは、括弧[ A , B ] = AB − BAが交換子として知られている関係であり、その他の関係はx、y、z成分の巡回置換 (つまり、 xをyに、y をzに、 z をx に変更し、これを繰り返す)を行うことで見つけることができます。 $${\displaystyle [J_{\text{x}},J_{\text{y}}]=J_{\text{z}}\,,\quad [K_{\text{x}},K_{\text{y}}]=-J_{\text{z}}\,,\quad [J_{\text{x}},K_{\text{y}}]=K_{\text{z}}\,,}$$

これらの交換関係と生成元のベクトル空間は、リー代数 の定義を満たします。まとめると、リー代数は、数体上のベクトル空間Vと、ベクトル空間の元に対する二項演算[ , ]（この文脈ではリー括弧と呼ばれる）を持ち、双線型性、交代化、ヤコビ恒等式の公理を満たすものとして定義されます。ここで、演算[ , ]はこれらの公理をすべて満たす交換子であり、ベクトル空間は前述のようにローレンツ生成元Vの集合であり、体は実数の集合です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

数学と物理学で用いられる用語の共通点：群生成子とは、リー代数の任意の元を指します。群パラメータとは、リー代数の任意の元をある基底に関して表す座標ベクトルの成分です。したがって、基底とは、通常のベクトル空間の意味でリー代数の基底となる生成子の集合を指します。

リー代数からリー群への指数写像は、リー代数の原点の十分小さい近傍とリー群の単位元近傍との間に一対一対応を与える。ローレンツ群の場合、指数写像は単に行列指数である。指数写像は全体として一対一ではないが、ローレンツ群の場合は射影的である。したがって、単位元の連結成分の任意の群元は、リー代数の元の指数写像として表すことができる。 $${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),}$$

不適切な変換

ローレンツ変換には、空間座標のみを反転するパリティ反転と、 時間座標のみを反転する時間反転も含まれます。これらの変換は時空間隔を不変に保つためです。ここで、 Iは3 × 3 の単位行列です。これらはどちらも対称であり、それぞれ逆行列であり（「反転（数学） 」を参照）、それぞれ行列式が -1 です。この後者の性質により、これらは不適正変換となります。 $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Λが適切な正時ローレンツ変換である場合、 T Λは不適切逆時、P Λは不適切正時、TP Λ = PT Λは適切な逆時です。

非同次ローレンツ群

他の2つの時空対称性は考慮されていない。時空間隔が不変であるためには、座標変換が次の形式であることが必須かつ十分であることが 示される^[24] 。 ここで、Cは時間と空間における並進を含む定数列である。C≠0の場合、これは非同次ローレンツ変換またはポアンカレ変換である。^{[25] [26]} C = 0の場合、これは同次ローレンツ変換である。ポアンカレ変換については、本稿ではこれ以上扱わない。 $${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$$

テンソル定式化

反変ベクトル

座標の一般的な行列変換を行列方程式として記述することで、 4次元ベクトルで表現できない他の物理量、例えば4次元時空における任意の位数のテンソルやスピノルなど の変換を定義することができる。対応するテンソルの添字表記では、上記の行列式は 次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{2}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$$

ここで、下限と上限の添え字はそれぞれ共変成分と反変成分を表し、^[27]総和規則が適用されます。時間成分には0、空間成分には1、2、3という値を取るギリシャ添え字を使用するのが標準的な規則です。一方、空間成分にはラテン添え字は単に1、2、3という値を取ります（LandauとLifshitzの場合は逆です）。最初の添え字（左から右に読む）は行列表記の行添え字に対応していることに注意してください。2番目の添え字は列添え字に対応しています。

変換行列は4次元時空座標だけでなく、すべての4元ベクトルに対して普遍的である。Aが任意の4元ベクトルである場合、テンソルのインデックス表記では $${\displaystyle {A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$

あるいは、 と書くこともできます。ここで、ダッシュ付きの添え字は、ダッシュ付きのフレームにおけるAの添え字を表します。一般的なn成分オブジェクトの場合、 と書くことができます。ここで、 Πはローレンツ群 の適切な表現であり、任意のΛに対してn × n行列となります。この場合、添え字は時空添え字（ローレンツ添え字と呼ばれることもあります）とは考えるべきではなく、 1からnまでの値を取ります。例えば、Xがビスピノルの場合、添え字はディラック添え字と呼ばれます。 $${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$ $${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$$

共変ベクトル

共変インデックスを持つベクトル量も存在します。これらは通常、反変インデックスを持つ対応するオブジェクトからインデックスを下げる操作によって得られます。たとえば、 ηは計量テンソルです。(リンク先の記事では、インデックスを上げる操作と下げる操作が数学的に実際に何であるかについての詳細情報も提供されています。) この変換の逆は で与えられます。ここで、行列として見ると、η ^μνはη _μνの逆です。実際、η ^μν = η _μνです。これはインデックスを上げると呼ばれます。共変ベクトルA _μを変換するには、最初にそのインデックスを上げ、次に反変4 -ベクトルと同じ規則に従って変換し、最後にインデックスを下げます。 $${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$$ $${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },}$$ $${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$$

しかし $${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$

つまり、これは逆ローレンツ変換の( μ , ν )成分である。（記法上）を定義し、この記法では次のように書くことができる。 $${\displaystyle {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$ $${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$$

ここで少し注意点があります。 の右辺に暗黙的に記述されている和は、 Λ ⁻¹を表す行列の行インデックスにわたっています。したがって、行列の観点から見ると、この変換は列ベクトルA _μに作用するΛの逆転置と考えることができます。つまり、純粋な行列記法では、 $${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }}$$ $${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$$

これはまさに、共変ベクトル（列行列として考えられます）がローレンツ群の標準表現の双対表現に従って変換されることを意味します。この概念は一般表現にも一般化され、単にΛをΠ(Λ)に置き換えるだけで済みます。

テンソル

AとB がベクトル空間UとV上の線型作用素である場合、線型作用素A ⊗ BはUとVのテンソル積上に定義され、^[28]に従ってU ⊗ Vと表記される。

${\displaystyle (A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,\qquad u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.}$               （T1）

このことから、 uとvがVの4元ベクトルであれば、u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ Vは次のように変換されることがすぐに分かる。

${\displaystyle u\otimes v\rightarrow \Lambda u\otimes \Lambda v={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }u^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }w^{\nu \sigma }.}$               （T2）

2 番目のステップではテンソル積の双線型性を使用し、最後のステップでは成分形式の 2 テンソルを定義します。正確に言うと、テンソルu ⊗ vの名前を変更するだけです。

これらの観察結果は、より多くの因子に明らかに一般化され、ベクトル空間V上の一般テンソルは、係数（成分！）と基底ベクトルおよび基底共ベクトルのテンソル積の和として表すことができるという事実を用いることで、任意のテンソル量Tに対する変換則が得られる。これは^{[29]で与えられる。}

${\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}={\Lambda ^{\alpha '}}_{\mu }{\Lambda ^{\beta '}}_{\nu }\cdots {\Lambda ^{\zeta '}}_{\rho }{\Lambda _{\theta '}}^{\sigma }{\Lambda _{\iota '}}^{\upsilon }\cdots {\Lambda _{\kappa '}}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho },}$               （T3）

ここで、Λ _{χ ′} ^ψは上で定義されています。この形式は、一般に、列ベクトルに作用する単一の行列 ( Π(Λ) ) を用いた、上記で示した一般的なn成分オブジェクトに対する形式に簡約できます。後者の形式は、例えば電磁場テンソルの場合などに好まれることがあります。

電磁場の変換

電荷のローレンツブースト。電荷はいずれかのフレームで静止しています。

ローレンツ変換は、磁場 Bと電場 Eが、電荷と観測者との間の相対運動の結果として生じる電磁力という、同じ力の異なる側面に過ぎないことを説明するためにも使用できます。 ^[30]電磁場が相対論的効果を示すという事実は、簡単な思考実験を行うことで明らかになります。^[31]

• 観測者は、フレームFにおいて静止している電荷を測定します。観測者は静電場を検出します。このフレームでは電荷は静止しているため電流は流れず、したがって観測者は磁場を観測しません。
• 系F′にいるもう一人の観測者は、Fと電荷に対して速度vで移動します。この観測者は、電荷が静止系において速度-vで移動しているため、異なる電場を観測します。電荷の運動は電流に対応しており、したがって系F′にいる観測者も磁場を観測します。

電場と磁場は空間と時間によって異なる方法で変換されますが、相対論的角運動量やブーストベクトルとはまったく同じ方法で変換されます。

電磁場強度テンソルは、符号(+, −, −, −)で表され、相対論では、係数cはテンソル成分に吸収され、式に明示的に現れなくなる場合がある。^[32] x方向のローレンツブーストを考える。これは^[33]で表され、 符号は(−, +, +, +)で、以下の操作で参照しやすいように、場テンソルは横に並べて表示されている。 $${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{\text{x}}&-{\frac {1}{c}}E_{\text{y}}&-{\frac {1}{c}}E_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}E_{\text{x}}&0&-B_{\text{z}}&B_{\text{y}}\\{\frac {1}{c}}E_{\text{y}}&B_{\text{z}}&0&-B_{\text{x}}\\{\frac {1}{c}}E_{\text{z}}&-B_{\text{y}}&B_{\text{x}}&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{\text{x}}&E_{\text{y}}&E_{\text{z}}\\-E_{\text{x}}&0&B_{\text{z}}&-B_{\text{y}}\\-E_{\text{y}}&-B_{\text{z}}&0&B_{\text{x}}\\-E_{\text{z}}&B_{\text{y}}&-B_{\text{x}}&0\end{bmatrix}},}$$

一般的な変換則（T3）は $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.}$$

磁場については、 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{\text{x}}\\&=B_{\text{x}},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{\text{z}})+1\times \gamma B_{\text{y}}=\gamma B_{\text{y}}+\beta \gamma E_{\text{z}}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\text{y}}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{\text{y}}+\gamma \times 1\times B_{\text{z}}=\gamma B_{\text{z}}-\beta \gamma E_{\text{y}}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\text{z}}\end{aligned}}}$$

電界の結果については $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{\text{x}})+\gamma \gamma E_{\text{x}}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{\text{x}})+\gamma ^{2}E_{\text{x}}=E_{\text{x}}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{\text{x}},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{\text{y}}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{\text{z}}=\gamma E_{\text{y}}-\beta \gamma B_{\text{z}}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\text{y}}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{\text{z}}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{\text{y}})=\gamma E_{\text{z}}+\beta \gamma B_{\text{y}}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\text{z}}.\end{aligned}}}$$

ここで、β = ( β , 0, 0)が使用されています。これらの結果は によって要約でき、メトリック シグネチャとは無関係です。 SI 単位の場合は、E → E / cに置き換えてください。 Misner、Thorne、Wheeler (1973) は、テンソル表現によって表される 幾何学的ビューとは対照的に、この最後の形式を3 + 1ビューと呼び、 3 + 1ビュー を使用して達成することが困難な結果を容易に取得および理解できることを強調しています。 明確に定義されたローレンツ変換特性を持つオブジェクト (実際には任意の滑らかな座標変換の下で) のみが幾何学的オブジェクトです。 幾何学的ビューでは、電磁場は、空間と時間における 2 つの相互に依存しているが別々の 3 ベクトル フィールドとは対照的に、時空内の 6 次元の幾何学的オブジェクトです。フィールドE (単独) とB (単独)には、明確に定義されたローレンツ変換特性がありません。プライム付きテンソルとプライムなしテンソルは、時空における同じ事象を指していることに注意する必要がある。したがって、時空依存性を持つ完全な方程式は $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu },}$$ $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).}$$

長さの収縮は電荷密度 ρと電流密度 Jに影響を与え、時間の遅れは電荷（電流）の流速に影響を与えるため、ブースト下では電荷分布と電流分布は相関的に変化する。これらは時空とエネルギー運動量の4元ベクトルと全く同じように変化する。より単純な幾何学的観点から言えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.}$$

電荷密度は4次元ベクトルの時間成分として変換されます。これは回転スカラーです。電流密度は3次元ベクトルです。

マクスウェル方程式はローレンツ変換に対して不変である。

スピノルズ

式(T1)は、ローレンツ群の任意の表現（ビスピノル表現を含む）に対してそのまま成り立つ。 (T2)では、Λの出現箇所すべてをビスピノル表現Π(Λ)に置き換えるだけで、

${\displaystyle {\begin{aligned}u\otimes v\rightarrow \Pi (\Lambda )u\otimes \Pi (\Lambda )v&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }u^{\beta }\otimes {\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }\\&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }u^{\beta }\otimes v^{\sigma }\\&\equiv {\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }w^{\beta \sigma }\end{aligned}}}$               （T4）

たとえば、上記の式は、 2 つの自由電子を記述するフォック空間における状態の変換である可能性があります。

一般分野の変革

量子場の理論における一般的な非相互作用多粒子状態（フォック空間状態）は、次の規則に従って変換される^[34]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\\={}&e^{-ia_{\mu }\left[(\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots \right]}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\left(\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}\left[W(\Lambda ,p_{1})\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}\left[W(\Lambda ,p_{2})\right]\cdots \right)\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{aligned}}}$$

1

ここでW (Λ, p )はウィグナーの小群^[35]であり、D ^{( j )}はSO(3)の( 2j +1)次元表現である。

参照

• 物理空間の代数
• 電磁場
• ガリレオ変換
• ジャイロベクトル空間
• 双曲回転
• ローレンツ群
• プラントル・グロウエルト変換
• 相対性原理
• 四元数ローレンツ変換
• 相対論的異常
• ローレンツ群の表現論
• リッチ計算
• 分割複素数

脚注

1. 各慣性系には、空間全体に配置された観測者がおり、それぞれが同期した時計を持ち、その慣性系内で静止していると想像できる。これらの観測者は中央オフィスに報告し、すべての報告はそこで集められる。「特定の観測者」とは、少なくとも原理的には、この報告書のコピーを持っている人物を指す。例えば、Sard (1970) を参照。
2. 3つの方程式のそれぞれ異なる要件は、3つの異なる群を導きます。2番目の方程式は、ローレンツ変換に加えて時空並進に対しても満たされ、ポアンカレ群または非同次ローレンツ群を導きます。最初の方程式（または光のような分離に制限された2番目の方程式）は、さらに大きな群、時空の共形群を導きます。
3. O(3, 1)群とO(1, 3)群は同型である。O (3, 1)とO(1, 3)群に関連するいくつかの対象、例えば、 2つの群に付随する双線型形式の異なる署名に対応するクリフォード代数は非同型であるにもかかわらず、2つの計量署名の選択は物理的な関連性を持たないと広く信じられている。
4. 2つの正方行列AとBについて、 det( AB ) = det( A )det( B )
5. 明示的に、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} =\zeta _{\text{x}}K_{\text{x}}+\zeta _{\text{y}}K_{\text{y}}+\zeta _{\text{z}}K_{\text{z}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} =\theta _{\text{x}}J_{\text{x}}+\theta _{\text{y}}J_{\text{y}}+\theta _{\text{z}}J_{\text{z}}}$$
6. 量子力学、相対論的量子力学、場の量子論では、これらの行列には異なる規則が使われ、右辺にはすべて虚数単位i = √ −1の係数が掛けられます。
7. これまで「ベクトル」という用語は、位置r、速度vなどの「ユークリッドベクトル」のみを指してきました。「ベクトル」という用語は、ユークリッドベクトル、行ベクトル、列ベクトルなどよりもはるかに広い意味で用いられます。詳細については、線形代数とベクトル空間を参照してください。リー群の生成元は、実数、複素数などの数体上のベクトル空間も形成します。これは、生成元の線形結合も生成元となるためです。これらは、通常の3次元空間における位置ベクトルとは異なる空間に存在するというだけです。
8. 通常の3次元位置空間では、位置ベクトルr = x e _x + y e _y + z e _zは基底を形成する直交単位ベクトルe _x、e _y、e _zの線形結合として表され、直交座標x、y、zはこの基底に対する座標です。

注記

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2. フォーショー＆スミス 2009
3. コッティンガム＆グリーンウッド 2007、21ページ
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7. ロスマン 2006、112ページ以降
8. ダリゴル 2005, 1–22ページ
9. 『マクロッサン』1986年、232–34ページ
10. 参照文献は次の論文にあります:Poincaré 1905, pp. 1504–1508
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12. ヤング＆フリードマン 2008
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参考文献

ウェブサイト

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さらに読む

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• ソーントン、スティーブン・T.; マリオン、ジェリー・B. (2004) 『粒子とシステムの古典力学（第5版）』ベルモント、[カリフォルニア州]：ブルックス/コール、pp.  546– 579、ISBN 978-0-534-40896-1
• Voigt、Woldemar ( 1887)、「Über das Doppler'sche princip」、Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen、2 : 41–51

外部リンク

• ローレンツ変換の導出。このウェブページには、群の性質に特に重点を置いたローレンツ変換のより詳細な導出が記載されています。
• 特殊相対性理論のパラドックス。このウェブページでは、ローレンツ変換によって解決される問題を提示しています。ローレンツ変換は次のページで図解で示されています。
• 相対性理論 2011年8月29日アーカイブ-オンライン教科書の一章
• ワープ特殊相対論シミュレータ。日常的な物体におけるローレンツ変換を実証するコンピュータプログラム。
• ローレンツ変換を視覚化したYouTubeのアニメーション クリップ。
• YouTubeの MinutePhysics 動画では、機械的なミンコフスキー図を使ってローレンツ変換を説明および視覚化しています。
• 仮想ミンコフスキー図によるローレンツ変換を示すDesmos上のインタラクティブ グラフ(グラフ作成)
• 点と双曲線を使ったローレンツ変換を示す Desmos のインタラクティブ グラフ
• John de Pillisによるローレンツフレームのアニメーション。 ガリレイフレームとローレンツフレーム、様々なパラドックス、電磁波現象などを描いたオンラインFlashアニメーション。

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