Multi particle state space
フォック 空間は、 量子力学 において、単一の粒子 ヒルベルト空間 H から、可変個または未知数の同一 粒子の 量子状態 空間を構築するために用いられる 代数的 構成 である 。これは、 1932年の論文「 配置空間 と 第二量子化」（Konfigurationsraum und zweite Quantelung）で初めて導入された V.A.フォック にちなんで名付けられている 。 [1] [2]
非公式には、フォック空間は、0粒子状態、1粒子状態、2粒子状態などを表すヒルベルト空間の集合の和である。同一の粒子が ボソンで ある場合、 n粒子状態は n 個の単一粒子ヒルベルト空間 H の 対称化 テンソル積 のベクトルとなる 。同一の粒子が フェルミオン である場合、 n粒子状態は n個の 単一粒子ヒルベルト空間 Hの 反対称化 テンソル積 のベクトルとなる （それぞれ 対称代数 と 外積代数を参照）。フォック空間における一般的な状態は、 n 粒子状態（n個ごとに1つ ） の 線型結合 である 。
技術的には、フォック空間は、 一粒子ヒルベルト空間 Hの テンソル冪 における対称テンソルまたは反対称テンソルの 直和（のヒルベルト空間 完備化 ）である 。 F ν ( H ) = ⨁ n = 0 ∞ S ν H ⊗ n ¯ . {\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}
ここに 、ヒルベルト空間が ボソン 統計に従う粒子を記述するか フェルミオン統計に従う粒子を記述するかに応じて、テンソルを対称化または反対称化する 演算子が あり 、上線は空間の完備化を表す。ボソン（またはフェルミオン）フォック空間は、 対称テンソル （または 交代テンソル）（のヒルベルト空間完備化）として構成することもできる。H の 任意 の基底に対して、フォック空間の自然な基底、 すなわちフォック状態 が 存在する 。 S ν {\displaystyle S_{\nu }} ( ν = + ) {\displaystyle (\nu =+)} ( ν = − ) {\displaystyle (\nu =-)} F + ( H ) = S ∗ H ¯ {\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}} F − ( H ) = ⋀ ∗ H ¯ {\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}
意味 フォック空間は、 一粒子ヒルベルト空間のコピーの テンソル積 の（ヒルベルト） 直和である。 H {\displaystyle H}
F ν ( H ) = ⨁ n = 0 ∞ S ν H ⊗ n = C ⊕ H ⊕ ( S ν ( H ⊗ H ) ) ⊕ ( S ν ( H ⊗ H ⊗ H ) ) ⊕ ⋯ {\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }
ここで 、 複素スカラーは 、粒子が存在しない状態、 粒子が 1 つ存在する状態、 同一粒子が 2 つ存在する状態など
から構成されます。 C {\displaystyle \mathbb {C} } H {\displaystyle H} S ν ( H ⊗ H ) {\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}
の一般的な状態 は次のように表される。 F ν ( H ) {\displaystyle F_{\nu }(H)}
| Ψ ⟩ ν = | Ψ 0 ⟩ ν ⊕ | Ψ 1 ⟩ ν ⊕ | Ψ 2 ⟩ ν ⊕ ⋯ = a | 0 ⟩ ⊕ ∑ i a i | ψ i ⟩ ⊕ ∑ i j a i j | ψ i , ψ j ⟩ ν ⊕ ⋯ {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots } どこ
| 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } は真空状態と呼ばれる長さ1のベクトルであり、 複素係数である。 a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } | ψ i ⟩ ∈ H {\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H} は単一粒子ヒルベルト空間の状態であり、 複素係数である。 a i ∈ C {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} } | ψ i , ψ j ⟩ ν = a i j | ψ i ⟩ ⊗ | ψ j ⟩ + a j i | ψ j ⟩ ⊗ | ψ i ⟩ ∈ S ν ( H ⊗ H ) {\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)} 、 複素係数などです。 a i j = ν a j i ∈ C {\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} } この無限和の収束性は、 がヒルベルト空間となるために重要です。技術的には、 代数的直和のヒルベルト空間完備化が要求されます。これは 、内積によって定義される ノルム が有限となるような無限 組 すべてから構成されます
。ここで、粒子ノルムは、すなわち、 テンソル積に対するノルム の制限 によって定義されます。 F ν ( H ) {\displaystyle F_{\nu }(H)} F ν ( H ) {\displaystyle F_{\nu }(H)} | Ψ ⟩ ν = ( | Ψ 0 ⟩ ν , | Ψ 1 ⟩ ν , | Ψ 2 ⟩ ν , … ) {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )} ‖ | Ψ ⟩ ν ‖ ν 2 = ∑ n = 0 ∞ ⟨ Ψ n | Ψ n ⟩ ν < ∞ {\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty } n {\displaystyle n} ⟨ Ψ n | Ψ n ⟩ ν = ∑ i 1 , … i n ∑ j 1 , … j n a i 1 , … , i n ∗ a j 1 , … , j n ⟨ ψ i 1 | ψ j 1 ⟩ ⋯ ⟨ ψ i n | ψ j n ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n}}\sum _{j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle } H ⊗ n {\displaystyle H^{\otimes n}}
2つの一般状態とに対して 、 の内積 は と 定義されます。 ここで、各 -粒子ヒルベルト空間の内積を使用します 。特に、 粒子部分空間は異なる に対して直交することに注意してください 。 | Ψ ⟩ ν = | Ψ 0 ⟩ ν ⊕ | Ψ 1 ⟩ ν ⊕ | Ψ 2 ⟩ ν ⊕ ⋯ = a | 0 ⟩ ⊕ ∑ i a i | ψ i ⟩ ⊕ ∑ i j a i j | ψ i , ψ j ⟩ ν ⊕ ⋯ , {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,} | Φ ⟩ ν = | Φ 0 ⟩ ν ⊕ | Φ 1 ⟩ ν ⊕ | Φ 2 ⟩ ν ⊕ ⋯ = b | 0 ⟩ ⊕ ∑ i b i | ϕ i ⟩ ⊕ ∑ i j b i j | ϕ i , ϕ j ⟩ ν ⊕ ⋯ {\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots } F ν ( H ) {\displaystyle F_{\nu }(H)} ⟨ Ψ | Φ ⟩ ν := ∑ n ⟨ Ψ n | Φ n ⟩ ν = a ∗ b + ∑ i j a i ∗ b j ⟨ ψ i | ϕ j ⟩ + ∑ i j k l a i j ∗ b k l ⟨ ψ i | ϕ k ⟩ ⟨ ψ j | ϕ l ⟩ ν + ⋯ {\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots } n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
積状態、区別できない粒子、そしてフォック空間の有用な基底 フォック空間の積状態 は 、
| Ψ ⟩ ν = | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = | ϕ 1 ⟩ ⊗ | ϕ 2 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | ϕ n ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }
これは粒子の集合を記述するもので 、そのうちの1つは量子状態 を持ち 、もう1つはというように 番目の粒子 まで続きます。各粒子は 単一粒子ヒルベルト空間 の 任意の 状態です 。ここで、並置（単一粒子ケットを を使わずに並べて書くこと）は、対称（反対称） テンソル代数 における対称（反対称）乗法です 。フォック空間における一般的な状態は、積状態の線形結合です。積状態の凸和として表すことができない状態は、 エンタングル状態 と呼ばれます。 n {\displaystyle n} ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}} n {\displaystyle n} ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} H {\displaystyle H} ⊗ {\displaystyle \otimes }
状態 にある 1 つの粒子 ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} について話すとき 、量子力学では同一の粒子は 区別できない ということを念頭に置いておく必要があります。同じフォック空間では、すべての粒子は同一です。(多くの種類の粒子を記述するために、検討中の粒子の種類と同じ数の異なるフォック空間のテンソル積をとります)。この形式主義の最も強力な特徴の 1 つは、状態が暗黙的に適切に対称化されていることです。たとえば、上記の状態がフェルミオンである場合、反対称 (外積) で あるため、2 つ(またはそれ以上) が等しい 場合は 0 になります 。これは、 2 つ(またはそれ以上) のフェルミオンが同じ量子状態になることはできないという パウリの排他原理 の数学的定式化です。実際、形式積の項が線形従属である場合は常に、反対称テンソルに対して積は 0 になります。また、直交状態の積は、構成により適切に直交します (ただし、2 つの状態が等しいフェルミの場合は 0 になる可能性があります)。 | Ψ ⟩ − {\displaystyle |\Psi \rangle _{-}} ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} | ϕ i ⟩ | ϕ i ⟩ = 0 {\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}
フォック空間の有用かつ便利な基底は 占有数基底 である。基底が与えられれば 、 状態 に粒子 、 状態 に粒子 、…、 状態 に粒子が存在し 、残りの状態に粒子が存在しない状態を次のように 表すことができる
。 { | ψ i ⟩ } i = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }} H {\displaystyle H} n 0 {\displaystyle n_{0}} | ψ 0 ⟩ {\displaystyle |\psi _{0}\rangle } n 1 {\displaystyle n_{1}} | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } n k {\displaystyle n_{k}} | ψ k ⟩ {\displaystyle |\psi _{k}\rangle }
| n 0 , n 1 , … , n k ⟩ ν = | ψ 0 ⟩ n 0 | ψ 1 ⟩ n 1 ⋯ | ψ k ⟩ n k , {\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}
ここで、各値は 、フェルミオン粒子の場合は0または1、ボソン粒子の場合は0、1、2、…のいずれかの値をとります。末尾のゼロは、状態を変えずに省略できることに注意してください。このような状態は フォック状態 と呼ばれます。を 自由場の定常状態として理解すると、フォック状態は、相互作用しない一定数の粒子の集合を記述します。最も一般的なフォック状態は、純粋状態の線形重ね合わせです。 n i {\displaystyle n_{i}} | ψ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\rangle }
非常に重要な 2 つの演算子は 生成演算子と消滅演算子 です。これらは、フォック状態に作用して、指定された量子状態にある粒子をそれぞれ追加または削除します。これらは、それぞれ 生成および 消滅に対して表されます。粒子を生成 (「追加」) するには、量子状態 を で対称または外積します 。また、粒子を消滅 (「削除」) するには、 の随伴であるで (偶数または奇数の) 内積 をとります 。 の基底の状態を使用して、これらの演算子によって、指定された基底状態にある粒子が正確に 1 つ削除または追加されるようにすると便利な場合がよくあります 。これらの演算子は、フォック空間に作用するより一般的な演算子の生成元としても機能します。たとえば、 特定の状態にある粒子の数を与える 数演算子 は です 。 a † ( ϕ ) {\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,} a ( ϕ ) {\displaystyle a(\phi )} | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ⟨ ϕ | {\displaystyle \langle \phi |} a † ( ϕ ) {\displaystyle a^{\dagger }(\phi )} H {\displaystyle H} | ϕ i ⟩ {\displaystyle |\phi _{i}\rangle } a † ( ϕ i ) a ( ϕ i ) {\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}
波動関数の解釈 多くの場合、一粒子空間は 、 測度 を持つ 空間上の 二乗可積分関数 の空間 （厳密に言えば、 測度 0 の集合 上で関数が異なる場合に同値となる二乗可積分関数の 同値類 ）として与えられる 。典型的な例は、三次元空間上の二乗可積分関数の空間 を持つ 自由粒子 である。このとき、フォック空間は、以下のように対称または反対称二乗可積分関数として自然に解釈できる。 H {\displaystyle H} L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L_{2}(X,\mu )} X {\displaystyle X} μ {\displaystyle \mu } H = L 2 ( R 3 , d 3 x ) {\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}
と 、、、 などとする。点の組の空間を考え、これは 互いに素 な和集合 である。 X 0 = { ∗ } {\displaystyle X^{0}=\{*\}} X 1 = X {\displaystyle X^{1}=X} X 2 = X × X {\displaystyle X^{2}=X\times X} X 3 = X × X × X {\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}
X ∗ = X 0 ⨿ X 1 ⨿ X 2 ⨿ X 3 ⨿ ⋯ . {\displaystyle X^{*}=X^{0}\amalg X^{1}\amalg X^{2}\amalg X^{3}\amalg \cdots .}
は となる 自然測度を持ち、 から へ の制限は である 。すると、偶フォック空間は における対称関数の空間と同一視でき、 奇フォック空間は 反対称関数の空間と同一視できる。この同一視は 等長 写像
から直接導かれる 。 μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} μ ∗ ( X 0 ) = 1 {\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1} μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}} X n {\displaystyle X^{n}} μ n {\displaystyle \mu ^{n}} F + ( L 2 ( X , μ ) ) {\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))} L 2 ( X ∗ , μ ∗ ) {\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})} F − ( L 2 ( X , μ ) ) {\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))} L 2 ( X , μ ) ⊗ n → L 2 ( X n , μ n ) {\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})} ψ 1 ( x ) ⊗ ⋯ ⊗ ψ n ( x ) ↦ ψ 1 ( x 1 ) ⋯ ψ n ( x n ) {\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}
波動関数が与えられた場合 、 スレーター行列式 ψ 1 = ψ 1 ( x ) , … , ψ n = ψ n ( x ) {\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}
Ψ ( x 1 , … x n ) = 1 n ! | ψ 1 ( x 1 ) ⋯ ψ n ( x 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ ψ 1 ( x n ) ⋯ ψ n ( x n ) | {\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}} は 上の反対称関数である。したがって、これは 奇フォック空間の -粒子セクター の元として自然に解釈できる。正規化は、 関数が 正規直交であるならば となるように選択される。同様の「スレーターパーマネント」が存在し、行列式をパーマネントに置き換えたものであり、 これ は偶フォック空間の -セクター の元を与える。 X n {\displaystyle X^{n}} n {\displaystyle n} ‖ Ψ ‖ = 1 {\displaystyle \|\Psi \|=1} ψ 1 , … , ψ n {\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}} n {\displaystyle n}
シーガル・バーグマン空間との関係 ガウス測度 に関して平方積分可能な複素 正則関数 の セガル・バーグマン空間 [3] を定義する ： B N {\displaystyle B_{N}}
F 2 ( C N ) = { f : C N → C ∣ ‖ f ‖ F 2 ( C N ) < ∞ } , {\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},} ここで 、空間を 整数上の 空間の入れ子の和として定義し 、シーガル [4] とバーグマン [5] は、それが ボゾンフォック空間と同型であること
を示した[ 6] 。単項式は
フォック状態に対応する
。 ‖ f ‖ F 2 ( C N ) := ∫ C N | f ( z ) | 2 e − π | z | 2 d z . {\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .} B ∞ {\displaystyle B_{\infty }} B N {\displaystyle B_{N}} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} B ∞ {\displaystyle B_{\infty }} x 1 n 1 . . . x k n k {\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}} | n 0 , n 1 , … , n k ⟩ ν = | ψ 0 ⟩ n 0 | ψ 1 ⟩ n 1 ⋯ | ψ k ⟩ n k . {\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}
参照
参考文献 ^ フォック、V. (1932)。 「コンフィギュレーションラウムとツヴァイテ・クワンテルング」。 Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。 75 （ 9-10 ）。 Springer Science and Business Media LLC: 622–647 。 Bibcode :1932ZPhy...75..622F。 土井 ：10.1007/bf01344458。 ISSN 1434-6001。 S2CID 186238995。 ^ MC Reed 、 B. Simon 、「現代数理物理学の方法、第2巻」、Academic Press 1975年、328ページ。 ^ Bargmann, V. (1961). 「解析関数のヒルベルト空間とそれに伴う積分変換Iについて」. 純粋応用数学通信 . 14 : 187–214 . doi :10.1002/cpa.3160140303. hdl : 10338.dmlcz/143587 . ^ Segal, IE (1963). 「相対論的物理学の数学的問題」. 1960年コロラド州ボルダーで開催されたサマーセミナー議事録, 第2巻 . 第6章. ^ Bargmann, V (1962). 「解析関数のヒルベルト空間に関する考察」 Proc. Natl. Acad. Sci . 48 (2): 199– 204. Bibcode :1962PNAS...48..199B. doi : 10.1073/pnas.48.2.199 . PMC 220756. PMID 16590920 . ^ Stochel, Jerzy B. ( 1997). 「フォック空間における一般化消滅・生成演算子の表現」 (PDF) . Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica . 34 : 135–148 . 2012年 12月13日 閲覧 。
外部リンク q-フォック空間に関連するファインマン図とウィック積 - 非可換解析、Edward G. Effros と Mihai Popa、UCLA 数学科 R. Geroch, 数理物理学、シカゴ大学出版局、第21章。 
