境界値問題

微分方程式が成り立つ領域とそれに伴う境界値を示します

微分方程式の研究において、境界値問題とは境界条件と呼ばれる制約条件に従う微分方程式です。^{[ 1 ]}境界値問題の解は、境界条件も満たす微分方程式の解です

境界値問題は、あらゆる物理微分方程式に見られるように、物理学の様々な分野で発生します。波動方程式を含む問題、例えば基準モードの決定などは、しばしば境界値問題として表現されます。重要な境界値問題の大部分は、シュトゥルム・リウヴィル問題です。これらの問題の解析は、線形の場合、微分作用素の固有関数を用いて行われます。

境界値問題を応用に役立てるには、その問題が適切に設定されていなければなりません。これは、問題への入力が与えられた場合、入力に連続的に依存する唯一の解が存在することを意味します。偏微分方程式の分野における多くの理論的研究は、科学技術応用から生じる境界値問題が実際には適切に設定されていることを証明することに注力されています。

最も初期に研究された境界値問題の一つに、調和関数（ラプラス方程式の解）を求めるディリクレ問題があります。この解はディリクレの原理によって与えられました。

説明

境界値問題は初期値問題に似ています。境界値問題では、方程式の独立変数の両端（「境界」）に条件が指定されますが、初期値問題では、すべての条件が独立変数の同じ値に指定されます（そして、その値は定義域の下限にあるため、「初期」値と呼ばれます）。境界値とは、システムまたはコンポーネントに対して指定された最小または最大の入力値、内部値、または出力値に対応するデータ値です。^{[ 2 ]}

たとえば、独立変数が領域 [0,1] 上の時間である場合、境界値問題ではと の両方での値を指定しますが、初期値問題ではの時間でとの値を指定します。 ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle t=0}$

片方の端を絶対零度に、もう片方の端を水の凝固点に 保った状態で鉄の棒のすべての点の温度を求めることは境界値問題になります。

問題が空間と時間の両方に依存している場合は、すべての時間における特定のポイントでの問題の値、またはすべての空間における特定の時間での問題の値を指定できます。

具体的には、境界値問題（空間1次元）の例は次のようになる。

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

境界条件の下で 未知の関数を解く ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

境界条件がない場合、この方程式の一般解は

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

境界条件から次の式が得られる。 ${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

これは境界条件から次のことがわかる。 ${\displaystyle B=0.}$ ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

そして境界条件を課すことで、この場合は唯一の解が決定できることがわかります。 ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

境界値問題の種類

条件の3つの標準的なクラス^{[ 3 ]は、ディリクレ、ノイマン、コーシー[ 4 ]}またはロビン^{[ 3 ]}であり、混合^{[ 5 ]}境界は無限大である^{[ 6 ] 。}

未知の関数、境界条件によって指定される定数および、および境界条件によって指定される既知のスカラー関数およびの境界条件の概要。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

氏名	境界第一部記入用紙	境界第二部記入用紙
ディリクレ	${\displaystyle y=f}$
ノイマン	${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$
ロビン	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
コーシー	両方と ${\displaystyle y=f}$ ${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=g}$
混合	${\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=g}$

境界値条件

この理想化された2次元棒の温度を記述する関数を見つけることは、ディリクレ境界条件を伴う境界値問題です。任意の解関数は、熱方程式を解き、左境界で0 K、右境界で273.15 Kという境界条件を満たします

タイプ1の境界条件であるディリクレ境界条件^{[ 7 ]}は、関数の値そのものを指定します。例えば、鉄棒の一端を絶対零度に保持すると、空間のその点における問題の値が分かります。

タイプ2の境界条件であるノイマン境界条件^{[ 7 ]}は、関数の正規微分の値を指定します。例えば、鉄棒の一端にヒーターが付いている場合、エネルギーは一定速度で加えられますが、実際の温度はわかりません。

タイプ3の境界条件はロビン条件である。^{[ 7 ]}

境界が、通常の導関数と変数自体に値を与える曲線または面の形をとる場合、それはコーシー境界条件です。

タイプ0境界条件には物理的な境界はありません。^{[ 7 ]}

微分作用素

境界条件以外にも、境界値問題は、関係する微分作用素の種類によっても分類されます。楕円型作用素については、楕円型境界値問題として扱います。双曲型作用素については、双曲型境界値問題として扱います。これらのカテゴリはさらに、線形およびさまざまな非線形タイプ に分類されます

応用

電磁ポテンシャル

静電気学において、与えられた領域の電位を記述する関数を求めることはよくある問題です。もしその領域が電荷を含まない場合、その電位はラプラス方程式（いわゆる調和関数）の解でなければなりません。この場合の境界条件は、電磁場の界面条件です。もしその領域に電流密度が存在しない場合、同様の手順で 磁気スカラーポテンシャルを定義することもできます。

参照

関連する数学： 初期値問題 グリーン関数 確率過程と境界値問題 シュトゥルム＝リウヴィル理論 ゾンマーフェルトの輻射条件 完全熱接触条件

物理的応用： 波動 通常モード 静電気 ポテンシャル理論 大気中の電波減衰の計算 ブラックホール

数値アルゴリズム： 撮影法 直接多重撮影法 ウォークオンスフィア法 差分法 境界要素法

参考文献

1. ダニエル・ツウィリンガー（2014年5月12日）『微分方程式ハンドブック』エルゼビア・サイエンス、536～537頁。ISBN 978-1-4832-2096-3。
2. ISO/IEC/IEEE 国際規格 - システムおよびソフトウェアエンジニアリング。ISO/IEC/IEEE 24765:2010(E)。pp. vol., no., pp.1-418
3. Carsten Gundlach (2021). 「MATH3083/MATH6163 上級偏微分方程式」(PDF) .サウサンプトン大学. p. 12.
4. M. Stone; P. Goldbart (2004). 「第6章 偏微分方程式」(PDF) .物理学のための数学.ケンブリッジ大学出版局: gatech.edu/~predrag -ジョージア工科大学のプレドラグ・ツヴィタノヴィッチ. p. 194. ISBN 9780521854030。
5. ジェン・リウ. 「マルチフィジックス学習とネットワーキング - 境界条件：基礎」バージニア大学
6. Colm Connaughton. 「第2章 偏微分方程式（PDE） - 2.1.2 境界条件の種類」（PDF） .ウォーリック大学複雑系DTCプログラム. p. 21.
7. Kevin D. Cole (2003年7月21日). 「境界条件の種類」 .ネブラスカ大学リンカーン校工学部 (ENGR).

参考文献

• ADポリアニン、VFザイツェフ著、『常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）』、チャップマン＆ホール／CRCプレス、ボカラトン、2003年。ISBN 1-58488-297-2。
• ADポリアニン著『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』 Chapman & Hall/CRC Press、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9。

外部リンク

• 「ポテンシャル理論における境界値問題」『数学百科事典』EMS Press、2001年 [1994]
• 「境界値問題、複素変数法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 線形偏微分方程式： EqWorld の正確な解と境界値問題：数学方程式の世界。
• 「境界値問題」Scholarpedia。

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