ボックストポロジ

数学的概念

位相幾何学において、位相空間の直積は複数の異なる位相を持つことができる。より自然な選択肢の一つはボックス位相であり、この場合、基底は成分空間の開集合の直積によって与えられる。^[1]もう1つの可能性は積位相であり、この場合も基底は成分空間の開集合の直積によって与えられるが、そのうち成分空間全体と等しくないのは有限個だけである。

ボックス位相は積位相よりもいくぶん直感的な定義を持つものの、望ましい性質は少なくなります。特に、すべての成分空間がコンパクトである場合、それらの直積上のボックス位相は必ずしもコンパクトではありませんが、それらの直積上の積位相は常にコンパクトになります。一般に、ボックス位相は積位相よりも細かいですが、有限直積の場合（または有限個を除くすべての因子が自明な場合）には両者は一致します。

意味

次のように仮定すると ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

または、で添え字付けされた位相空間 の（おそらく無限の）直積の場合、上のボックス位相は基底 ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.}$

ボックスという名前は、 R ⁿの場合に基底集合が箱のように見えることに由来する。ボックス位相を持つ集合は、次のように表記されることもある。 ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\square }}X_{i}.}$

プロパティ

Rω^上のボックス位相: ^[2]

• ボックストポロジーは完全に規則的である
• ボックストポロジーはコンパクトでも接続もされていない
• ボックス位相はまず可算ではない（したがって計量化できない）
• ボックストポロジーは分離不可能である
• 連続体仮説が正しい場合、ボックス位相はパラコンパクト（したがって正規）である。

例 — 継続性の失敗

以下の例はヒルベルト立方体に基づいています。R ω^をR自身との可算直積、つまりR内のすべてのシーケンスの集合とします。Rに標準位相を、R ^ωにボックス位相をそれぞれ与えます。定義:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}}$

したがって、すべての成分関数は恒等関数であり、したがって連続である。しかし、 fは連続ではないことを示す。これを確認するには、開集合を考えてみよう。

${\displaystyle U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).}$

fが連続であると仮定する。すると、

${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,}$

が存在するはずであるが、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).}$

${\displaystyle f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,}$

これは誤りです。なぜなら、f は、そのすべての構成関数が連続しているにもかかわらず、連続ではないからです。 ${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.}$

例 — コンパクト性の失敗

離散位相を持つ可算積を考えてみましょう。i ごとに となる点を考えます。上のボックス位相も離散位相になります。離散空間がコンパクトであるためには有限空間である必要があります。したがって、 は、その成分空間がコンパクトであっても、コンパクトではないことがすぐにわかります。 ${\displaystyle X=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$も逐次コンパクトではない。次式で表される シーケンスを考える。 ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}}$

シーケンス内の 2 つのポイントは同じではないため、シーケンスには極限点がなく、したがって、シーケンスは連続的にコンパクトではありません。 ${\displaystyle X}$

ボックストポロジーにおける収束

位相は、列がどのように収束するかを記述することで最もよく理解されることが多い。一般に、空間とそれ自身との添え字集合上の直積は、まさに から への関数の空間であり、と表記される。この積位相は、点収束の位相を生み出す。つまり、関数の列が収束するのは、 のすべての点で収束する場合のみである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$ ${\displaystyle S}$

ボックス位相は積位相よりも細かいため、ボックス位相における列の収束はより厳しい条件となる。 をハウスドルフと仮定すると、における関数の列がボックス位相において に収束するための必要十分条件は、 が点ごとに に収束し、 の有限部分集合が存在し、のすべての に対してにおける列がすべての に対して一定となる が存在することである。言い換えれば、 の列は最終的にほぼすべての に対して、かつ一様に一定となる。 ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle f\in X^{S}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{0}\subset S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in S\setminus S_{0}}$ ${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ ${\displaystyle s}$

製品トポロジとの比較

積位相における基底セットの定義は、有限個を除くすべてのU _iが成分空間X _iに等しいという条件を除けば、上記とほぼ同じです。積位相は、成分空間への写像f _i  : Y → X _{iについて非常に望ましい特性を満たします。つまり、成分関数 f i}によって定義される積写像 f : Y → Xが連続である場合、かつその場合に限り、すべてのf _iが連続であるということです。上で示したように、これはボックス位相では必ずしも成り立ちません。そのため、ボックス位相は反例を提供するのに非常に便利です。つまり、因子空間が備えている場合のコンパクト性、連結性、計量化可能性などの多くの特性は、この位相を持つ積では一般には保持されません。

参照

• シリンダーセット
• トポロジのリスト

注記

1. ウィラード、8.2 pp. 52–53、
2. スティーン、シーバッハ、109。pp.128–129。
3. Scott, Brian M. 「同一集合上の積とボックストポロジーにおけるシーケンスと関数の動作の違い」math.stackexchange.com。

参考文献

• スティーン、リン・A.、シーバッハ、J.アーサー・ジュニア著『位相幾何学における反例』ホルト、ライナーハート、ウィンストン（1970年）。ISBN 0030794854。
• ウィラード、スティーブン（2004年）『一般位相幾何学』ドーバー出版ISBN 0-486-43479-6。

外部リンク

• 「ボックストポロジー」。PlanetMath。

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