体積弾性率

物質の体積弾性率（または）は、物質の体積圧縮に対する抵抗の尺度です。これは、微小な圧力増加と、その結果生じる体積の相対的な減少の比として定義されます。^[1] $K$ $B$ $k$

その他の弾性率は、他の種類の応力に対する材料の応答（ひずみ）を表します。せん断弾性率はせん断応力への応答を表し、ヤング率は法線方向（長さ方向の伸張）応力への応答を表します。流体の場合、体積弾性率のみが意味を持ちます。木材や紙などの複雑な異方性固体の場合、これら3つの弾性率だけではその挙動を記述するのに十分な情報が含まれていないため、一般化されたフックの法則を完全に適用する必要があります。一定温度における体積弾性率の逆数は、等温圧縮率と呼ばれます。

意味

体積弾性係数（通常は正）は、正式には次の式で定義される。 $K$

K=-V{\frac {dP}{dV}},

ここで、は圧力、は物質の初期体積、は圧力の体積に対する微分を表します。体積は密度に反比例するので、 $P$ $V$ $dP/dV$

K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},

ここで、は初期密度、は密度に対する圧力の微分を表します。体積弾性率の逆数は物質の圧縮率を表します。一般的に、体積弾性率は一定温度における等温体積弾性率として定義されますが、一定エントロピーにおける断熱体積弾性率として定義することもできます。 $\rho$ $dP/d\rho$

熱力学関係

厳密に言えば、体積弾性率は熱力学量であり、体積弾性率を特定するには、圧縮中の圧力変化を特定する必要があります。温度一定（等温）、エントロピー一定（等エントロピー）、その他様々な変化が考えられます。このような区別は、特に気体の場合に重要です。 $K_{T}$ $K_{S}$

理想気体の場合、等エントロピー過程は次のようになります。

PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },

ここで、熱容量比である。したがって、等エントロピー体積弾性率は次のように表される。 $\gamma$ $K_{S}$

K_{S}=\gamma P.

同様に、理想気体の等温過程は次のようになります。

PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,

したがって、等温体積弾性率は次のように表される。 $K_{T}$

K_{T}=P

。

気体が理想的でない場合、これらの式は体積弾性係数の近似値しか与えません。流体の場合、ニュートン・ラプラスの式によれば、体積弾性係数と密度によって音速（圧力波）が決まります。 $K$ $\rho$ $c$

c={\sqrt {\frac {K_{S}}{\rho }}}.

固体では、とは非常に似た値を持ちます。固体は横波も耐えることができます。これらの材料では、波の速度を決定するために、例えばせん断弾性率などの弾性係数がさらに必要です。 $K_{S}$ $K_{T}$

測定

加圧下での粉末回折法を用いて体積弾性率を測定することが可能です。体積弾性率は、圧力下で体積が変化する流体の特性です。

選択された値

一般的な材料の体積弾性率（*K ）の近似値*
材料	体積弾性率（GPa）	体積弾性率（Mpsi）
ダイヤモンド（4K）^[2]	443	64
アルミナ（γ相）^[3]	162 ±14	23.5
鋼鉄	160	23.2
石灰岩	65	9.4
花崗岩	50	7.3
ガラス（表の下の図も参照）	35から55	5.8
グラファイト2H（単結晶）^[4]	34	4.9
塩化ナトリウム	24.42	3.542
シェール	10	1.5
チョーク	9	1.3
ゴム^[5]	1.5から2	0.22から0.29
砂岩	0.7	0.1

体積弾性率が35GPaの材料は、0.35GPa（約3500 bar）（体積弾性率は一定または弱く圧力に依存すると想定）。

他の物質の近似体積弾性率（*K ）*
β-窒化炭素	427 ± 15 GPa ^[7]（予測値）
水	2.2 GPa (0.32 Mpsi）（圧力が高いほど値は増加します）
メタノール	823 MPa（20℃、1気圧）
固体ヘリウム	50 MPa（おおよそ）
空気	142 kPa（断熱体積弾性率[または等エントロピー体積弾性率]）
空気	101 kPa（等温体積弾性率）
時空	4.5 × 10 ³¹ Pa（典型的な重力波周波数100Hzの場合）^[8]

微視的起源

原子間ポテンシャルと線形弾性

線形弾性は原子間相互作用の直接的な結果であるため、結合の伸長/圧縮と関連しています。したがって、結晶材料の原子間ポテンシャルから導出できます。^[9]まず、相互作用する2つの原子のポテンシャルエネルギーを調べてみましょう。非常に遠い点から始めると、原子は互いに引力を感じます。互いに近づくにつれて、ポテンシャルエネルギーは減少します。一方、2つの原子が互いに非常に近い場合、斥力相互作用により、それらの全エネルギーは非常に高くなります。これらのポテンシャルが組み合わさることで、最小エネルギー状態を達成する原子間距離が保証されます。これは、全力がゼロとなる距離r _{0で発生します。}

F=-{\partial U \over \partial r}=0

ここで、Uは原子間ポテンシャル、rは原子間距離です。これは、原子が平衡状態にあることを意味します。

2原子アプローチを固体に拡張するために、例えば原子間距離rを持つ1次元配列の1原子モデルを考えてみましょう。平衡距離はr ₀です。この原子間距離とポテンシャルエネルギーの関係は、2原子の場合と同様の形になり、r ₀で最小値に達します。このテイラー展開は次のようになります。

u(r)=u(r_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})^{2}+O\left((r-r_{0})^{3}\right)

平衡状態では、1次微分は0なので、支配的な項は2次項です。変位が小さい場合は、高次の項は省略する必要があります。式は次のようになります。

u(r)=u(r_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})^{2}

F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})

これは明らかに線形弾性です。

導出は 2 つの隣接する原子を考慮して行われるため、フックの係数は次のようになることに注意してください。

K=r_{0}{dF \over dr}=r_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}

この形式は、原子間距離の代わりに原子あたりの体積 (Ω) を使用して、3 次元のケースに簡単に拡張できます。

K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}

参照

参考文献

^ 「バルク弾性特性」ハイパーフィジックス、ジョージア州立大学。
^ Charles Kittel著『固体物理学入門第8版』 52ページ、2005年、 ISBN 0-471-41526-X
^ Gallas, Marcia R.; Piermarini, Gasper J. (1994). 「ナノ結晶γ-アルミナの体積弾性率とヤング率」 . Journal of the American Ceramic Society . 77 (11): 2917– 2920. doi :10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. ISSN 1551-2916.
^ 「Graphite Properties Page by John A. Jaszczak」pages.mtu.edu . 2021年7月16日閲覧。
^ 「シリコーンゴム」。AZO材料。
^ フルーゲル、アレクサンダー. 「ガラスの体積弾性率計算」. glassproperties.com .
^ Liu, AY; Cohen, ML (1989). 「新しい低圧縮性固体の予測」. Science. 245 (4920): 841–842.
^ Beau, MR (2018). 「時空の性質、宇宙論的インフレーション、そして宇宙の膨張について」プレプリント. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364
^ H., Courtney, Thomas (2013). 『材料の機械的挙動』（第2版、Reimp編）, ニューデリー: McGraw Hill Education (インド). ISBN 978-1259027512. OCLC 929663641.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

さらに読む

De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). 「無機結晶性化合物の完全な弾性特性の図表化」. Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode :2013NatSD...2E0009D. doi :10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348 .

変換式
均質等方性線形弾性材料の弾性特性は、これらのうちの任意の 2 つの係数によって一意に決定されます。したがって、任意の 2 つの係数が与えられれば、他の任意の弾性係数は、3D 材料 (表の最初の部分) と 2D 材料 (2 番目の部分) の両方で提供されているこれらの式に従って計算できます。
3D式	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	注記
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ 有効な解は2つあります。プラス記号はとなります。 $\nu \geq 0$ マイナス記号はにつながります。 $\nu \leq 0$
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	使用できないとき $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D式	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	注記
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	使用できないとき $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] 「バルク弾性特性」ハイパーフィジックス、ジョージア州立大学。

[2] Charles Kittel著『固体物理学入門第8版』 52ページ、2005年、 ISBN 0-471-41526-X

[3] Gallas, Marcia R.; Piermarini, Gasper J. (1994). 「ナノ結晶γ-アルミナの体積弾性率とヤング率」 . Journal of the American Ceramic Society . 77 (11): 2917– 2920. doi :10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. ISSN 1551-2916.

[4] 「Graphite Properties Page by John A. Jaszczak」pages.mtu.edu . 2021年7月16日閲覧。

[5] 「シリコーンゴム」。AZO材料。

[6] フルーゲル、アレクサンダー. 「ガラスの体積弾性率計算」. glassproperties.com .

[7] Liu, AY; Cohen, ML (1989). 「新しい低圧縮性固体の予測」. Science. 245 (4920): 841–842.

[8] Beau, MR (2018). 「時空の性質、宇宙論的インフレーション、そして宇宙の膨張について」プレプリント. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364

[9] H., Courtney, Thomas (2013). 『材料の機械的挙動』（第2版、Reimp編）, ニューデリー: McGraw Hill Education (インド). ISBN 978-1259027512. OCLC 929663641.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)