接線束

Tangent spaces of a manifold

非公式には、多様体（この場合は円）の接束は、すべての接空間（上）を考慮し、それらを滑らかで重なり合わない方法で結合することによって得られます（下）。^{[注 1]}

接束とは、多様体上のすべての点に対する接空間の集合であり、それ自体が新たな多様体を形成するように構造化されている。正式には、微分幾何学において、微分可能多様体の接束とは、 内のすべての接ベクトルをまとめた多様体である。集合として、それはの接空間の互いに素な和^{[注 1]}によって与えられる。つまり、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

ここで、 は点 におけるへの接空間を表します。したがって、 の元は のペアと考えることができます。ここで、は の点であり、はにおけるへの接ベクトルです。 ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

自然な投影がある

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

によって定義されます。この投影は、接空間の各要素を単一の点にマッピングします。 ${\displaystyle \pi (x,v)=x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

接バンドルには、自然な位相が備わっています(下のセクションで説明)。この位相では、多様体への接バンドルはベクトルバンドル(ベクトル空間であるファイバーバンドル) の典型的な例です。の切断は上のベクトル場であり、への双対バンドルは余接バンドルで、の余接空間の互いに素な和です。定義により、多様体が平行化可能であるのは、接バンドルが自明な場合のみです。定義により、多様体がフレーム化される場合は、接バンドルが安定自明な場合のみです。つまり、ある自明なバンドルに対してホイットニー和が自明であることを意味します。たとえば、n次元球面S ⁿはすべてのnに対してフレーム化されますが、n = 1、3、7に対してのみ平行化可能です(Bott-Milnor と Kervaire の結果より)。 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

役割

接束の主な役割の一つは、滑らかな関数の微分の定義域と値域を与えることです。つまり、 が滑らかな関数で、と が滑らかな多様体である場合、その微分は滑らかな関数 となります。 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

位相幾何学と滑らかな構造

接束は自然な位相（非素和位相ではない）と滑らかな構造を備えており、それ自体で多様体となる。 の次元はの次元の2倍である。 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

n次元多様体の各接空間は、n次元ベクトル空間です。が の開縮約可能部分 集合である場合、各接空間からへの線型同型に制限する微分同相写像が存在します。しかし、多様体であるため、は常に積多様体 に微分同相であるとは限りません。 が の形式である場合、接バンドルは自明であると言われています。自明接バンドルは通常、「適合する群構造」を備えた多様体で発生します。例えば、多様体がリー群である場合です。単位円の接バンドルは、リー群 (乗法とその自然な微分構造の下で) であるため自明です。ただし、自明接バンドルを持つすべての空間がリー群であるとは限りません。自明接バンドルを持つ多様体は平行化可能と呼ばれます。多様体がユークリッド空間上で局所的にモデル化されるのと同様に、接束は 上で局所的にモデル化されます。ここで、はユークリッド空間の開集合です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}U}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Mが滑らかなn次元多様体である場合 、それはチャートのアトラスを備えており、ここで は の開集合であり、 ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

は微分同相写像である。これらの局所座標は、すべての に対して同型写像を生じる。したがって、写像を定義できる。 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

による

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

これらの写像を用いて 上の位相と滑らかな構造を定義する。の部分集合が開集合となるのは、 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

はそれぞれ に対してで開いている。これらの写像はとの開部分集合間の同相写像であり、したがって 上の滑らかな構造のチャートとして機能する。チャートの重なりにおける遷移関数は、関連する座標変換のヤコビ行列によって誘導されるため、 の開部分集合間の滑らかな写像となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

接束は、ベクトル束（それ自体がファイバー束の一種）と呼ばれるより一般的な構成の一例である。明示的には、次元多様体への接束は、その上の遷移関数が関連する座標変換のヤコビアンで与えられる階数ベクトル束として定義することができる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

例

最も単純な例は の例である。この場合、接束は自明である。つまり、それぞれはを減算する写像を介してに標準同型であり、微分同相写像 を与える。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$

もう一つの簡単な例は単位円です（上の図を参照）。円の接束も自明であり、 と同型です。幾何学的には、これは無限高の円筒です。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

容易に視覚化できる接束は、実数直線と単位円の接束のみであり、どちらも自明である。2次元多様体の場合、接束は4次元となるため、視覚化は困難である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

非自明な接束の簡単な例として、単位球面の接束が挙げられます。この接束は、毛玉定理の結果として非自明です。したがって、この球面は平行化できません。 ${\displaystyle S^{2}}$

ベクトル場

多様体の各点への接ベクトルの滑らかな割り当てはベクトル場と呼ばれる。具体的には、多様体上のベクトル場は滑らかな写像である。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

任意の に対して となるような写像である。ファイバー束の用語では、このような写像は切断と呼ばれる。したがって、 上のベクトル場はの接束の切断である。 ${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$ ${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

上のベクトル場全体の集合は で表される。ベクトル場は点ごとに加算することができる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

M上の滑らかな関数を乗じる

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

他のベクトル場を得るには、ベクトル場全体の集合は、 M上の滑らかな関数の可換代数上の加群の構造を取り、と表記されます。 ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

上の局所ベクトル場は、接束の局所切断である。つまり、局所ベクトル場はある開集合上にのみ定義され、対応する接空間内のベクトルの各点に適用される。上の局所ベクトル場の集合は、上の実ベクトル空間の層と呼ばれる構造を形成する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

上記の構成は余接束にも同様に当てはまります。つまり、 上の微分1形式は余接束の切断そのものであり、各点に1-余ベクトルを関連付け、接ベクトルを実数 に写像します。 同様に、微分1形式は滑らかなベクトル場を滑らかな関数 に写像します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$

高階接束

接線束自体は滑らかな多様体なので、接線束の構築を繰り返し適用することで2次接線束を定義できます。 ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

一般に、番目の接線バンドルはとして再帰的に定義できます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T^{k}M}$ ${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$

滑らかな写像には誘導微分があり、その接束は適切な定義域と値域となる。同様に、高階接束は高階微分の定義域と値域を提供する。 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$ ${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$

異なるが関連した構成として、多様体上のジェット束があります。これはジェットで構成される束です。

接束上の正準ベクトル場

あらゆる接束 を多様体とみなすと、各点における接空間への対角写像として正準ベクトル場を定義できます。これが可能なのは、ベクトル空間Wの接空間が自然に積となるためです。ベクトル空間自体が平坦であるため、この積構造の下では自然な対角写像がによって与えられます。この積構造を各点における接空間に適用し、グローバル化すると、正準ベクトル場が得られます。非公式には、多様体は曲がっていますが、点、、 における各接空間は平坦であるため、接束多様体は局所的に曲がったと平坦な の積となります。したがって、接束の接束は局所的に次のようになります（「座標の選択」には を、また「自然な識別」には を使用）。 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$ ${\displaystyle TW\cong W\times W,}$ ${\displaystyle W\to TW}$ ${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \cong }$

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

そして地図は最初の座標への投影です。 ${\displaystyle TTM\to TM}$

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

最初のマップをゼロセクションで分割し、2 番目のマップを対角線で分割すると、標準ベクトル フィールドが生成されます。

が の局所座標である場合、ベクトル場は次の式を持つ。 ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

より簡潔に言うと、最初の座標ペアはバンドルの切断であり、基底空間の点に過ぎないため変化しません。最後の座標ペアは切断そのものです。ベクトル場のこの式は のみに依存し、 には依存しません。これは、接線方向のみが自然に識別できるためです。 ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$

あるいは、スカラー乗算関数を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

時刻における変数に関するこの関数の導関数は関数 であり、これは標準ベクトル場の別の記述です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

上におけるそのようなベクトル場の存在は、余接束上の正準一形式に類似しています。 はリウヴィルベクトル場、あるいはラジアルベクトル場とも呼ばれます。これを用いて接束を特徴付けることができます。本質的には、は4つの公理を用いて特徴付けることができ、多様体がこれらの公理を満たすベクトル場を持つ場合、その多様体は接束であり、ベクトル場はその上の正準ベクトル場となります。例えば、De León et al. を参照してください。 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

リフト

上のオブジェクトを上のオブジェクトに持ち上げる方法は様々あります。例えば、が 内の曲線である場合、（の接線）は 内の曲線です。対照的に、（例えばリーマン計量）についての更なる仮定がなければ、 を余接束に持ち上げる同様の方法は存在しません。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

関数の垂直リフトはによって定義される関数であり、は標準射影です。 ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$

参照

• プッシュフォワード（差動）
• 単位接線束
• 余接束
• フレームバンドル
• 音楽の同型性
• 正則接束

注記

1. Mの任意の2点x ₁とx ₂に対して、接空間T ₁とT _{2が共通ベクトルを持たないことを保証する。これは、円}S ¹の接束の図に図示されている（例のセクションを参照）。円のすべての接線は円平面内にある。それらを非結合にするには、それらを円平面に垂直な平面内に並べる必要がある。

参考文献

• Lee, Jeffrey M. (2009) 「多様体と微分幾何学」、数学大学院研究科、第107巻、プロビデンス：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4815-9
• Lee, John M. (2012).滑らかな多様体入門. 数学大学院テキスト. 第218巻. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8。
• ユルゲン・ヨスト『リーマン幾何学と幾何学解析』（2002年）シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン。ISBN 3-540-42627-2
• ラルフ・エイブラハムとジェロルド・E・マースデン著『力学の基礎』（1978年）ベンジャミン・カミングス社、ロンドン。ISBN 0-8053-0102-X
• レオン、M.デ;メリノ、E.オウビーニャ、JA;サルガド、M. (1994)。 「接線および安定接線バンドルの特性評価」(PDF)。Annales de l'IHP: Physique Théorique。61 (1): 1-15 .
• グドムンドソン、シグムンドゥル。カッポス、エリアス (2002)。 「接線束の幾何学について」。数学の解説。20 : 1–41 .土井:10.1016/S0723-0869(02)80027-5。
• サリモフ、アリフ (2023). 『幾何学における正則関数の応用』 . 『Frontiers in Mathematics』. doi :10.1007/978-981-99-1296-4. ISBN 978-1-4419-9981-8。

外部リンク

• 「接線束」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: タンジェントバンドル
• PlanetMath: 接線バンドル

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