周期的な単調性

数学の概念

数学において、循環単調性は、単調性の概念をベクトル値関数の場合に一般化したものである。^{[1] [2]}

意味

を内積空間上の内積とし、を の空でない部分集合とする。に対応する点の任意の集合に対して、が成り立つとき、その対応は巡回的に単調であるとされる^[3]。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:U\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m+1}\in U}$ ${\displaystyle x_{m+1}=x_{1}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}\langle x_{k+1},f(x_{k+1})-f(x_{k})\rangle \geq 0.}$

プロパティ

1変数のスカラー関数の場合、上記の定義は通常の単調性と等価である。凸関数の勾配は巡回的に単調である。実際、逆も真である。が凸関数であり、 が空でない値との対応であるとする。 が巡回的に単調であるとき、任意の に対して を満たす上半連続凸関数が存在する。ここで は におけるの劣勾配を表す。^[4] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)\subset \partial F(x)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \partial F(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

参照

• 絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス

参考文献

1. レビン、ウラジミール (1999年3月1日). 「一般モンジュ・カントロヴィッチ問題に対する抽象的巡回単調性とモンジュ解」.集合値解析. 7.ドイツ: Springer Science+Business Media : 7–32 . doi :10.1023/A:1008753021652. S2CID  115300375.
2. Beiglböck, Mathias (2015年5月). 「循環的単調性とエルゴード定理」.エルゴード理論と動的システム. 35 (3). Cambridge University Press : 710–713 . doi :10.1017/etds.2013.75. S2CID  122460441.
3. チェンバース、クリストファー・P.、エチェニケ、フェデリコ (2016). 『啓示選好理論』ケンブリッジ大学出版局. p. 9.
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1970). 「定理24.8」.凸解析. プリンストン大学出版局. p. 238. ISBN 9781400873173。

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cyclical_monotonicity&oldid=1276701441」より取得