Right continuous function with left limits
数学 において 、 càdlàg （ フランス語 ： continue à droite, limite à gauche ）、 RCLL （右連続、左極限）、または corlol （右連続、左極限）関数は、 実数 （または その サブセット）上で定義され、どこでも 右連続 かつどこでも左 極限を持つ関数です。càdlàg関数は、連続サンプルパスを持つ ブラウン運動 とは異なり、ジャンプを許容する（またはジャンプを必要とする） 確率過程 の研究で重要です。特定の ドメイン 上のcàdlàg関数の集合は、 スコロホード空間 として知られています 。
関連する用語が 2 つあります 。càglàd は「 continue à gauche, limite à droite 」を表し、càdlàg の左右反転です。càllàl は 「 continue à l'un, limite à l'autre 」（一方は連続、もう一方は極限）を表し、ドメインの各ポイントで càdlàg または càglàd のいずれかとなる関数を表します。
意味 累積分布関数 は càdlàg 関数の例です。 可算無限個の不連続点を持つ累積分布関数の例 を 計量空間 と し、とする 。関数 は、 任意 のに対して 、 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} E ⊆ R {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} } f : E → M {\displaystyle f:E\to M} t ∈ E {\displaystyle t\in E}
左 の限界 が存在する。そして f ( t − ) := lim s → t − f ( s ) {\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)} 正しい 極限 が存在し、 と等しくなります 。 f ( t + ) := lim s → t + f ( s ) {\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)} f ( t ) {\displaystyle f(t)} つまり、 左限界で右連続です。 f {\displaystyle f}
例 実数のサブセット上で連続なすべての関数は、そのサブセット上の càdlàg 関数です。 定義の帰結として、すべての 累積分布関数 は càdlàg 関数です。例えば、点 における累積分布関数は、 が より小さいか等しい確率 、すなわち に対応します。言い換えれば、 両側分布において問題となる 半開 区間は 右閉区間です。 r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} P [ X ≤ r ] {\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]} ( − ∞ , r ] {\displaystyle (-\infty ,r]} 開区間上で定義された任意の 凸関数 の 右微分は、増加する cadlag 関数です。 f + ′ {\displaystyle f_{+}^{\prime }} f {\displaystyle f}
スコロホード空間 からへ の càdlàg 関数全体の集合は、しばしば （または単に ） で表され、 ウクライナの数学者 アナトリー・スコロホード にちなんで スコロホード空間 と呼ばれます。スコロホード空間には、直感的に「空間と時間を少し動かす」ことができる 位相を割り当てることができます（一方、 一様収束 の従来の位相で は「空間を少し動かす」ことしかできません）。 [1] 簡単にするために、 と を取ります。 より一般的な構成については、 Billingsley [2]を参照してください。 E {\displaystyle E} M {\displaystyle M} D ( E : M ) {\displaystyle \mathbb {D} (E:M)} D {\displaystyle \mathbb {D} } E = [ 0 , T ] {\displaystyle E=[0,T]} M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}
まず連続係数 の類似物を定義する必要がある 。 任意の に対して 、 ϖ f ′ ( δ ) {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )} F ⊆ E {\displaystyle F\subseteq E}
w f ( F ) := sup s , t ∈ F | f ( s ) − f ( t ) | {\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|} そして、 に対して 、 càdlàg 係数を 次のように
定義する。 δ > 0 {\displaystyle \delta >0}
ϖ f ′ ( δ ) := inf Π max 1 ≤ i ≤ k w f ( [ t i − 1 , t i ) ) , {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),} ここで、 最小値は すべての分割 に渡って適用され 、 となります 。この定義は、非 càdlàg に対しても意味を持ちます （通常の連続係数が不連続関数に対して意味を持つのと同様 です）。 が càdlàg となるの は、 の場合のみ です。 Π = { 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = T } , k ∈ E {\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E} min i ( t i − t i + 1 ) > δ {\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta } f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} lim δ → 0 ϖ f ′ ( δ ) = 0 {\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}
ここで、 からへのすべての 厳密に増加する 連続な一対一 単射 の集合を とします （これらは「時間における波動」です）。 Λ {\displaystyle \Lambda } E {\displaystyle E}
‖ f ‖ := sup t ∈ E | f ( t ) | {\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|} は 上の関数の一様ノルムを表す 。 上の スコロホード計量 を で
定義する。 E {\displaystyle E} σ {\displaystyle \sigma } D {\displaystyle \mathbb {D} }
σ ( f , g ) := inf λ ∈ Λ max { ‖ λ − I ‖ , ‖ f − g ∘ λ ‖ } , {\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},} ここで は恒等関数です。「揺れ」の直感的な観点から言えば、 は「時間における揺れ」の大きさを測り、 は 「空間における揺れ」の大きさを測ります。 I : E → E {\displaystyle I:E\to E} ‖ λ − I ‖ {\displaystyle \|\lambda -I\|} ‖ f − g ∘ λ ‖ {\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}
Skorokhod 計量は 確かに計量です。 によって生成される位相は、 上の Skorokhod位相 と呼ばれます 。 Σ {\displaystyle \Sigma } σ {\displaystyle \sigma } D {\displaystyle \mathbb {D} }
同等の指標は、
d ( f , g ) := inf λ ∈ Λ ( ‖ λ − I ‖ + ‖ f − g ∘ λ ‖ ) , {\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|),} 独立して導入され、スイッチングシステムの解析のための制御理論で利用されました。 [3]
スコロホード空間の性質
上の連続関数の 空間は の 部分空間 である 。 に相対化されたスコロホート位相は、 そこの一様位相と一致する。 C {\displaystyle C} E {\displaystyle E} D {\displaystyle \mathbb {D} } C {\displaystyle C}
完全 はスコロホード計量に関して 完備空間 ではない が、 に関して完備となる位相 的に同値な計量 が存在する 。 [4] D {\displaystyle \mathbb {D} } σ {\displaystyle \sigma } σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} D {\displaystyle \mathbb {D} }
分離可能性 または に関して 、は 可分空間 である 。したがって、スコロホート空間 は ポーランド空間 である。 σ {\displaystyle \sigma } σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} D {\displaystyle \mathbb {D} }
スコロホード空間の狭さ アルゼラ・アスコリ定理 を応用すると、 スコロホード空間上の 確率測度 の列が タイトである ためには、次の条件が両方とも満たされる必要が ある ことが示せます。 ( μ n ) n = 1 , 2 , … {\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }} D {\displaystyle \mathbb {D} }
lim a → ∞ lim sup n → ∞ μ n ( { f ∈ D | ‖ f ‖ ≥ a } ) = 0 , {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,} そして
lim δ → 0 lim sup n → ∞ μ n ( { f ∈ D | ϖ f ′ ( δ ) ≥ ε } ) = 0 for all ε > 0. {\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}
代数的および位相的構造 スコロホード位相と関数の点ごとの加算によれば、 次の例からもわかるように、 は位相群ではありません。 D {\displaystyle \mathbb {D} }
を半開区間とし、を特性関数の列とする 。 スコロホード位相において、この列は 0に収束しないという 事実にもかかわらず。 E = [ 0 , 2 ) {\displaystyle E=[0,2)} f n = χ [ 1 − 1 / n , 2 ) ∈ D {\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} } f n → χ [ 1 , 2 ) {\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}} f n − χ [ 1 , 2 ) {\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}
参照
参考文献 ^ 「スコロホード空間 - 数学百科事典」. ^ Billingsley, P. 「確率測度の収束 」ニューヨーク：ワイリー。 ^ Georgiou, TTおよびSmith, MC (2000). 「緩和発振器のロバスト性」. 国際ロバスト・非線形制御ジャーナル . 10 ( 11–12 ): 1005–1024 . doi :10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q. {{cite journal }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ Billingsley, P. 「確率測度の収束 」ニューヨーク：ワイリー。
さらに読む 
![{\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598fd4e658eb40b575311aed998150911b1f28b1)
![{\displaystyle (-\infty ,r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff39189ed8c79947d01d16778300a9713f5c0c07)
![{\displaystyle E=[0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854c8a073e60092dd8089b8b3e11d4272ba64d2d)
