キャップ製品

Method in algebraic topology

代数的位相幾何学において、キャップ積とは、次数 の連鎖を次数 の共連鎖と接続して、次数 の合成連鎖を形成する手法である。これは1936年にエドゥアルト・チェフによって導入され、 1938年にはハスラー・ホイットニーによって独立に導入された。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\leq p}$ ${\displaystyle p-q}$

意味

Xを位相空間、Rを係数環とする。キャップ積は特異ホモロジーとコホモロジー上の双線型写像である。

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R).}$

特異なチェーンを特異な コチェーンと縮約することで次の式で定義されます。 ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}$

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.}$

ここで、表記は、基底のベクトルによって張られる面への単体写像の制限を示します。 ${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}$ ${\displaystyle \sigma }$

解釈

キュネスの公式を用いたカップ積の解釈と同様に、キャップ積の存在は次のように説明できる。CW近似を用いて、はCW複体であり、（および）はその細胞鎖（または共鎖）の複体であると仮定できる。次に、鎖複体のテンソル積 をとる合成を考える 。は鎖複体上の写像を誘導する対角写像であり、 は評価写像（ を除いて常に0 ）である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C^{\bullet }(X)}$ $${\displaystyle C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ $${\displaystyle \Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)}$$ ${\displaystyle \varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p=q}$

次にこの合成は商に渡され、キャップ積 を定義します。上記の合成を注意深く見ると、それが実際にマップ の形を取り、 に対して常にゼロになることがわかります。 ${\displaystyle \frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{p-q}(X)}$ ${\displaystyle p<q}$

基礎クラス

の任意の点について、（係数が）の対のホモロジーにおける長完全列が得られる（相対ホモロジーを参照）。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (M,M-x)}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .}$

の元は、 が の生成元である場合、の基本クラスと呼ばれます。が閉じており、R-有向性がある場合、 の基本クラスが存在します。実際、が閉じており、連結で、-有向性がある多様体である場合、写像はのすべての に対して同型であり、したがって の任意の生成元を基本クラスとして選ぶことができます。 ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j_{*}([M])}$ ${\displaystyle H_{n}(M,M-{x};R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$

ポアンカレ双対性との関係

（ の任意の生成元をとることができる）に基本類を持つ閉- 向き n 次元多様体に対して、キャップ積写像は任意の に対して同型となる。この結果はポアンカレ双対性としてよく知られている。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ $${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$$ ${\displaystyle k}$

傾斜製品

上の議論でをに置き換えると、マッピングと から始めて、構築を（部分的に）再現することができます。 ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle C_{\bullet }(X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ $${\displaystyle C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$$

それぞれ斜積 を得る：および ${\displaystyle /}$ $${\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}$$ $${\displaystyle H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{p-q}(X;R).}$$

の場合、最初のものは対角写像によってキャップ積に関連付けられます。 ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle \Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi }$

これらの「積」は、ある意味では乗算よりも除算に似ており、その表記法にもそれが反映されています。

方程式

キャップ積の境界は次のように与えられる。

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

マップfが与えられると、誘導マップは次を満たします。

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

キャップとカップ製品は次のように関連しています。

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

どこ

${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X}$、 そして ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

が よりも高い次数であることが許される場合、最後の恒等式はより一般的な形をとる。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle (\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )}$

これは右モジュールになります。 ${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$

参照

• カップ製品
• ポアンカレ双対性
• 特異ホモロジー
• ホモロジー理論

参考文献

• ハッチャー、A.、代数的位相幾何学、 ケンブリッジ大学出版局（2002年）ISBN 0-521-79540-0単体複体および多様体のホモロジー理論、特異ホモロジーなどについての詳細な議論。
• May JP (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) . University of Chicago Press . 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2008年9月27日閲覧.セクション 2.7 では、群体のカテゴリにおける余極限としての定理のカテゴリ理論的表現を示します。
• nラボの傾斜製品
• nラボにおけるポアンカレ双対性

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