行列のカテゴリ

Category whose objects are natural numbers and whose morphisms are matrices

数学において、行列のカテゴリ（けいさんのかく、英: masculents of matrix）は、対象が自然数であり、その射が行列であり、その合成が行列の乗算によって与えられるカテゴリである。^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {Mat} }$

工事

を実行列、すなわち行と列を持つ行列とします。行列が与えられた場合、の場合にのみ行列乗算またはを形成でき、その場合、結果の行列は 次元になります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle B\circ A}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle p\times m}$

言い換えれば、行列 と を掛け合わせることができるのは、の行数が の列数と一致する場合のみです。この事実は、行列を 型、同様に行列を 型と宣言することで把握できます。このように、2つの矢印の始点と終点が一致する場合、 と は 型の矢印に合成できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle m\to n}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle q\to p}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle m\to n\to p}$ ${\displaystyle m\to p}$

これは数学的な概念である圏によって正確に捉えられています。圏では、射、つまり射 は行列であり、それらの定義域と余定義域が適合する場合にのみ合成可能です（関数の場合と同様です）。詳細には、圏は次のように構築されます。 ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

• 自然数を対象にしています。

• 数とが与えられると、射影は行列、つまり行と列を持つ行列になります。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\to n}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

• 各オブジェクトにおける恒等射は恒等行列によって与えられます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

• 射との合成(つまり行列との合成) は行列の乗算によって与えられます。 ${\displaystyle A:m\to n}$ ${\displaystyle B:n\to p}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle p\times n}$

より一般的には、複素数のような固定体上の行列のカテゴリを定義することができます。 ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

プロパティ

• 行列の圏は、有限次元実ベクトル空間および線型写像の圏と同値である。これは、数をベクトル空間に、また行列を対応する線型写像に写す関数によって証明される。^{[3] [2]}この事実の可能な解釈は、数学理論として、抽象的な有限次元ベクトル空間と具体的な行列は同じ表現力を持つということである。 ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

• より一般的には、行列のカテゴリは、体と線型写像上の有限次元ベクトル空間のカテゴリと同値である。^[3] ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• 行列に対する線形行演算は、単位行列に同じ演算を適用し、その結果の行列にを乗じることによっても得られる。特に、基本的な行演算は、基本的な行列に対応する。この事実は、行列のカテゴリにおける米田の補題の例として見ることができる。 ^{[4] [5]} ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

• 転置演算は行列の圏を短剣圏にする。複素数の共役転置についても同様である。

特定のサブカテゴリ

• 任意の固定された に対し、の射は行列であり、 はモノイドを形成し、これは の線型自己準同型モノイドと標準同型である。特に、可逆行列は群 を形成する。ジェネリック体 についても同様である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to n}$ ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• 確率行列は、各列の和が1となるような非負の要素を持つ実行列である。確率行列は単位行列を含み、合成に関して閉じているため、のサブカテゴリを形成する。^[6] ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

引用

1. リール（2016）、4～5ページ
2. Perrone (2024)、99–100ページ
3. Riehl (2016)、30ページ
4. リール（2016）、60～61ページ
5. ペローネ (2024)、119–120 ページ
6. ペローネ (2024)、302–303 ページ

参考文献

• リール、エミリー（2016年）『文脈の中のカテゴリー理論』ドーバー、ISBN 9780486809038。

• ペローネ、パオロ (2024). カテゴリー理論入門. World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1。

外部リンク

• 行列のカテゴリにおける米田の補題、チュートリアルビデオ。

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