コースティック（数学）

Envelope of rays either reflected or refracted by a manifold

円と平行光線から生成された反射コースティック。片側では各点が3本の光線に含まれ、反対側では各点が1本の光線に含まれます。

微分幾何学において、コースティック（火線）とは、多様体によって反射または屈折された光線の包絡線です。これは幾何光学におけるコースティックの概念と関連しています。光線の光源は点（放射点と呼ばれる）の場合もあれば、無限遠点からの平行光線の場合もあります。平行光線の場合は、光線の方向ベクトルを指定する必要があります。

より一般的には、特にシンプレクティック幾何学と特異点理論に適用されるコースティックとは、ラグランジュ写像( π ○ i ) : L ↪ M ↠ Bの臨界値集合である。ここでi  : L ↪ Mはラグランジュ部分多様体Lのシンプレクティック多様体Mへのラグランジュ浸漬であり、π  : M ↠ Bはシンプレクティック多様体Mのラグランジュファイバ化である。コースティックはラグランジュファイバ化の基底空間Bの部分集合である。^[1]

説明

平らでない表面によって屈折した光線の多くは交差し、そこでコースティックを形成します。

光、特に太陽光の集中は火傷を引き起こす可能性があります。実際、「腐食性（caustic） 」という言葉は、ギリシャ語の「καυστός」（燃える）から来ており、ラテン語の「causticus」（燃える）に由来しています。

コースティックスが見える一般的な状況は、光が飲み物のグラスに当たった時です。グラスは影を落としますが、同時に明るい光の湾曲した領域も作り出します。理想的な状況（無限遠の点光源から発せられるような完全に平行な光線を含む）では、腎状の光の斑点が生成されることがあります。^{[2] [3]}波紋状のコースティックスは、光が水面の波を透過したときによく見られます。

もう一つのよく知られた腐食物質は虹です。^{[4] [5]}雨滴による光の散乱により、異なる波長の光が屈折して半径の異なる弧を形成し、虹が形成されます。

カタコースティック

カタコースティックは反射的なケースです。

放射点の場合、これは放射点の正等分線の縮閉線です。

平面で平行な光源光線の場合：方向ベクトルが で、鏡面曲線が とパラメータ化されているとします。ある点における法線ベクトルは です。方向ベクトルの反射は です（法線ベクトルは特別な正規化が必要です）。 ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (u(t),v(t))}$ ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

見つかった反射ベクトルの成分を接線として扱う

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

最もシンプルな封筒形式 を使用する

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

これは美的には少し物足りないかもしれないが、線形システムを与えるので、カタコースティックのパラメータ化を得るのは基本的である。クラマーの規則が役に立つだろう。 ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (x,y)}$

例

方向ベクトルを(0,1)とし、ミラーを次のように する。 ${\displaystyle (t,t^{2}).}$

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

そして、解決策があります。つまり、放物面鏡の軸に平行に入射する光は焦点で反射されます。 ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (0,1/4)}$

参照

• アルハゼンの問題
• 切断軌跡（リーマン多様体）
• ヤコビの最後の幾何学的記述
• 腎性腐食性

参考文献

1. Arnold, VI ; Varchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985).臨界点、コースティクス、波面の分類：微分可能写像の特異点、第1巻. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9。
2. Circle Catacaustic. Wolfram MathWorld . 2009年7月17日閲覧。
3. Levi, Mark (2018年4月2日). 「ネフロイドに焦点を当てる」SIAMニュース. 2018年6月1日閲覧。
4. レインボーコースティクス
5. 苛性縞

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「コースティック」。MathWorld。

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