立方根

与えられた数を立方体とする数

数学において、数xの立方根とは、与えられた数の3 乗である数yのことです。つまり、数の立方根の数は、考慮される数体系によって異なります。 ${\displaystyle y^{3}=x.}$

あらゆる実数 xには、ちょうど1つの実数立方根があり、これはxの実数立方根、あるいは複素数を考慮しない文脈では単にxの立方根と呼ばれる。例えば、8と-8の実数立方根はそれぞれ2と-2である。整数または有理数の実数立方根は、一般に有理数でも構成可能な数でもない。 ${\textstyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

非ゼロの実数または複素数には、複素数の立方根がちょうど3つあります。実数の場合、立方根のうち1つは実数で、他の2つは非実数の複素共役数です。そうでない場合、3つの立方根はすべて非実数です。例えば、8の実数立方根は2で、 8の他の立方根はとです。-27 iの3つの立方根はそれぞれ とです。数0には、それ自体が0である唯一の立方根があります。 ${\displaystyle -1+i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle -1-i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 3i,{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i,}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i.}$

立方根は多価関数です。主立方根はその主値であり、一度だけ選ばれる唯一の立方根です。主立方根は、実部が最大となる立方根です。負の実数の場合、最大の実部は2つの非実数立方根で共有され、虚部が正となる立方根が主立方根となります。したがって、負の実数の場合、実数立方根は主立方根ではありません。正の実数の場合、主立方根は実数立方根です。

yが複素数xの任意の立方根である場合、他の立方根は、 ${\displaystyle y\,{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$ ${\displaystyle y\,{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$

3 以外の特性を持つ代数的に閉じた体では、すべての非ゼロ元には 3 つの立方根が存在します。これらの立方根は、多項式のいずれかの根を乗じて得ることができます。特性が 3 の代数的に閉じた体では、すべての元には 1 つの立方根が存在します。 ${\displaystyle x^{2}+x+1.}$

他の記数法や他の代数構造では、数または要素が3つ以上の立方根を持つことがあります。例えば、四元数では、実数は無限に多くの立方根を持ちます。

y = ³ √ xのグラフ。奇関数であるため、グラフは原点に対して対称です。x = 0において、このグラフは垂直接線を持ちます。

単位立方体（辺 = 1）と体積が 2 倍の立方体（辺 = ³ √ 2 = 1.2599... OEIS : A002580）。

意味

数xの立方根とは、次の式を満たす数yのことである。 ${\displaystyle y^{3}=x.\ }$

プロパティ

実数

任意の実数xに対して、となる実数yがちょうど1つ存在します。実際、立方関数は増加関数であるため、異なる2つの入力に対して同じ結果を与えることはなく、すべての実数をカバーします。言い換えれば、これは全単射、つまり一対一対応です。 ${\displaystyle y^{3}=x}$

つまり、実数の立方根は、その実数である唯一の立方根として定義できます。この定義によれば、負の数の立方根は負の数です。

しかし、実数が特定の複素数として考えられている場合、この定義は混乱を招く可能性があります。なぜなら、この場合、立方根は一般に主立方根として定義され、負の実数の主な立方根は実数ではないからです。

1の3つの立方根

xとy が複素数であると仮定すると、解は3つ（ xが0でない場合）存在するため、 xには3つの立方根があります。実数には1つの実立方根と、複素共役対を形成する2つの立方根があります。例えば、 1の立方根は次のとおりです。

${\displaystyle 1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

これらの根の最後の2つは、任意の実数または複素数のすべての根の間に関係性をもたらします。ある数が特定の実数または複素数の1つの立方根である場合、他の2つの立方根は、その立方根に1の2つの複素数立方根のいずれかを掛け合わせることで求められます。

複素数

複素立方根とその2つの追加の葉をプロットした図。最初の画像は、本文で説明されている主枝を示しています。

立方根のリーマン面。3つの葉がどのように組み合わさっているかが分かります。

複素数の場合、主立方根は通常、実部が最大となる立方根、あるいはそれと同義で、引数の絶対値が最小となる立方根として定義されます。これは自然対数の主値と次の式で 結びついています。

${\displaystyle x^{1/3}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).}$

xを次のように書くと

${\displaystyle x=r\exp(i\theta )\,}$

ここでrは非負の実数であり 、 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$、

すると、主複素立方根は

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}$

これは、極座標において、半径の立方根を取り、極角を3で割ることで立方根を定義することを意味します。この定義によれば、負の数の主立方根は複素数となり、例えば-2ではなく、 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$ ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$

この困難は、立方根を多価関数として考えることでも解決できます。元の複素数xを3つの同値な形式で書き表すと、

${\displaystyle x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}}$

複素数zの2乗根から6乗根まで​​の幾何学的表現。極形式re ^iφ で表され、 r = | z  |かつφ = arg zとする。zが実数の場合、φ = 0またはπとなる。主根は黒で示されている。

これら3つの形式の主な複素立方根はそれぞれ

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}$

x = 0でない限り、これら3つの複素数は、xの3つの表現が等価であっても、異なる数となります。例えば、 xは-2、、またはxと計算される可能性があります。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$ ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}}$

これはモノドロミーの概念と関連している。つまり、関数の立方根をゼロの周りの閉じた経路に沿って連続的にたどると、一回転した後、立方根の値は ${\displaystyle e^{2i\pi /3}.}$

コンパスと定規による作図の不可能性

立方根は、与えられた角度の3分の1の大きさの角度を求める問題（角の三等分）や、与えられた辺を持つ立方体の体積の2倍の体積を持つ立方体の辺を求める問題（立方体の2倍）で生じます。1837年、ピエール・ヴァンツェルは、これらの問題はどちらもコンパスと定規を使った作図では不可能であることを証明しました。

数値解析法

ニュートン法は、立方根を計算するために使用できる反復法です。実数浮動小数点数の場合、この方法は以下の反復アルゴリズムに簡約され、 aの立方根のより正確な近似値を段階的に生成します。

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).}$

この方法は、選択された3つの要因を単純に平均化して、

${\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}$

各反復ごとに。

Halley 法は、反復ごとに作業量は増えるものの、反復ごとにより速く収束するアルゴリズムを使用してこれを改善します。

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}$

これは3次収束するので、ニュートン法の2回の反復は3回の反復と同じ量の作業を行う。ニュートン法の各反復は、2回の乗算、1回の加算、1回の除算を必要とする。これは、⁠1/3⁠ aは事前計算されているため、3 回の反復と事前計算には 7 回の乗算、3 回の加算、および 3 回の除算が必要です。

ハレー法の各反復には、3回の乗算、3回の加算、1回の除算が必要であるため^[1] 、 2回の反復には6回の乗算、6回の加算、2回の除算が必要となる。したがって、1回の除算が3回の加算よりもコストが高い場合、ハレー法の方が高速化される可能性がある。

どちらの手法においても、x ₀の初期近似値が適切でないとアルゴリズムの性能が非常に低下する可能性があり、良好な初期近似値を得るのは一種の秘術と言えるでしょう。一部の実装では、浮動小数点数の指数ビットを操作し、指数を3で割ることで初期近似値を得ています。^[1]

また、 n 乗根法に基づくこの一般化連分数も便利です。

x がaの3乗根の最初の近似値である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle y=a-x^{3}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}$

2 番目の方程式は、最初の方程式の分数のペアをそれぞれ 1 つの分数に結合するため、収束速度が 2 倍になります。

3次および4次方程式の解に現れる

三次方程式は三次多項式方程式（未知数の最大のべき乗が3である方程式）であり、その3つの解は常に立方根と平方根を用いて解くことができます（ただし、3つの解のうち少なくとも1つが有理数であれば、平方根のみを用いたより簡単な式は3つの解すべてに存在します）。解のうち2つが複素数であれば、3つの解の式すべてに実数の実数立方根が含まれますが、3つの解がすべて実数であれば、複素数の複素数立方根を用いて表すことができます。

四次方程式は、立方根と平方根を使って解くこともできます。

歴史

立方根の計算は、紀元前1800年頃のバビロニアの数学者にまで遡ることができます。 ^[2]紀元前4世紀にプラトンは立方体を2倍にする問題を提起しました。この問題は、コンパスと定規を使用して、与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体の辺を作図する必要がありました。これには、現在では不可能であることがわかっている長さ を作図する必要がありました。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

立方根を求める方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、紀元3世紀に劉徽によって注釈が付けられた中国の数学書『九章算術』^{に登場する。 [3]}ギリシャの数学者ヘロン・オブ・アレクサンドリアは、紀元1世紀に立方根を計算する方法を考案した。彼の公式は、エウトキオスによってアルキメデスの注釈の中で再び言及されている。^[4]紀元499年、インド数学とインド天文学の古典時代の数学者であり天文学者でもあったアーリヤバータは、 『アーリヤバーティヤ』 （第2.5節）の中で、桁数の多い数の立方根を求める方法を提示した。^[5]

参照

• 平方根の計算方法
• 多項式トピックのリスト
• N乗根
• 平方根
• ネストされた根号
• 団結の根源

参考文献

1. 「高速立方根の探求」metamerist.com . 2008年. 2013年12月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
2. サッグス、HWF (1989). 『ギリシャ・ローマ以前の文明』イェール大学出版局. p. 227. ISBN 978-0-300-05031-8。
3. クロスリー、ジョン、W.-C. ルン、アンソニー (1999). 『数学の技巧に関する9つの章：解説と解説』オックスフォード大学出版局. p. 213. ISBN 978-0-19-853936-0。
4. Smyly, J. Gilbart (1920). 「立方根のヘロンの公式」. Hermathena . 19 (42). トリニティ・カレッジ・ダブリン: 64–67 . JSTOR  23037103.
5. Aryabhatiya 2011 年 8 月 15 日、archive.todayに アーカイブ マラーティー語: आर्यभटीय、Mohan Apte、プネー、インド、Rajhans Publications、2009 年、p. 62、ISBN 978-81-7434-480-9

外部リンク

• 立方根計算機は任意の数を最も単純な根号形に縮約します
• 立方根の計算、Ken Turkowski、Apple テクニカル レポート #KT-32、1998。C ソース コードが含まれています。
• ワイスタイン、エリック・W.「立方根」。MathWorld。

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