面（幾何学）

Planar surface that forms part of the boundary of a solid object

立体幾何学において、面とは、立体の境界の一部を形成する平面（平面領域）のことです。例えば、立方体にはこの意味で6つの面があります。

多面体や高次元多面体の幾何学のより現代的な扱いでは、「面」は任意の次元を持つように定義されています。多面体の頂点、辺、および（2次元）面はすべて、このより一般的な意味での面です。^[1]

多角形の面

初等幾何学において、面とは多面体の境界上の多角形^[a]です。^{[1] [2]}（ここで「多角形」は、その内部の2次元領域を含むものと見なすべきです。）多角形面の他の名前には、多面体の側面やユークリッド平面タイルなどがあります

例えば、立方体を囲む6つの正方形はいずれも、立方体の面です。「面」は、4次元多面体の2次元的な特徴を指すために使用されることもあります。この意味では、4次元四次元体には24個の正方形の面があり、それぞれが8つの立方体セルのうち2つを共有しています。

シュレーフリ記号による正規の例

多面体	星型多面体	ユークリッドタイル	双曲型タイル	4次元多面体
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
立方体は、頂点ごとに3つの正方形面を持っています。	小さな星型十二面体は、頂点ごとに5つの五芒星面を持っています。	ユークリッド平面における正方形のタイル張りは、頂点ごとに4つの正方形面を持っています。	5次の正方形のタイル張りは、頂点ごとに5つの正方形面を持っています。	四次元立方体は、辺ごとに3つの正方形面を持っています。

多面体の多角形面の数

任意の凸多面体の表面はオイラー特性を持っています

${\displaystyle V-E+F=2,}$

ここで、 Vは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数です。この式はオイラーの多面体公式として知られています。したがって、面の数は、辺の数から頂点の数を差し引いた数より2多い数です。たとえば、立方体には12の辺と8つの頂点があり、したがって6つの面があります。

k面

高次元幾何学では、多面体の面はすべての次元の特徴です。^{[3] [4]} k次元の面はk面と呼ばれることもあります。例えば、通常の多面体の多角形の面は2面です。「面」という言葉は、数学の分野によって定義が異なります。例えば、多くの著者は、多面体自体と空集合を多面体の面として認めていますが、空集合は一貫性のために「次元」が-1であると仮定しています。任意のn次元多面体について、面の次元はです。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle -1\leq k\leq n}$

例えば、この意味では、立方体の面は、立方体自体（3面）、その（正方形の）面（2面）、その（線分の）辺（1面）、その（点の）頂点（0面）、そして空集合で構成されます

多面体組合せ論などの数学の分野では、多面体は定義により凸です。この設定では、正確な定義があります。ユークリッド空間における多面体Pの面とは、 Pと、その境界がPの相対的な内部と交わらない任意の閉半空間との交わりです。^[5]この定義によれば、多面体の面の集合には、多面体自体と空集合が含まれます。^{[3] [4]}凸多面体の場合、この定義は、以下に示す凸集合の面の一般的な定義と同等です。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

抽象多面体やスター多面体の理論など、数学の他の分野では、凸性の要件は緩和されています。初期の多面体のいくつかのタイプを一般化する正確な組合せ論的概念の1つは、単体複体の概念です。 より一般的には、多面体複体の概念があります

n + 1 個の頂点で定義される n次元単体（線分（ n = 1 ）、三角形（ n = 2 ）、四面体（ n = 3 ）など）は、空集合からすべての頂点の集合まで、頂点の各部分集合に対して面を持ちます。特に、面の数は合計で2 ^{n + 1個あります。} k ∈ {−1, 0, ..., n }に対して、k面の数は二項係数です。 ${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$

k面には、 kの値、そして場合によってはkが多面体の次元nにどれだけ近いかに応じて、特定の名前があります。

頂点または 0 面

頂点は0 面の一般的な名前です。

辺または 1 面

辺は1 面の一般的な名前です。

面または 2 面

特定のkがk面を意味するが明示的に指定されていない文脈で面を使用する場合、通常は 2 面と呼ばれます。

セルまたは 3 面

セルは、4 次元多面体または 3 次元モザイク、あるいはそれ以上の次元の多面体要素（3 面）です。セルは、4 次元多面体と 3 次元ハニカムの面です。

例：

シュレーフリ記号による正規の例

4 次元多面体		3 次元ハニカム
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
四次元立方体は、1辺あたり3つの立方体セル（3面）を持ちます。	120セルは、1辺あたり3つの正十二面体セル（3面）を持ちます。	立方体ハニカムは、ユークリッド3次元空間を立方体で満たし、1辺あたり4つのセル（3面）を持ちます。	4次正十二面体ハニカムは、3次元双曲空間を正十二面体で満たし、1辺あたり4つのセル（3面）を持ちます。

ファセットまたは(n− 1)面

高次元幾何学では、n多面体のファセットは( n − 1 )面（多面体自体よりも1次元小さい面）です。^[6]多面体はファセットによって囲まれます。

例えば：

• 線分のファセットは、その0面または頂点です
• 多角形のファセットは、その1面または辺です。
• 多面体または平面タイリングのファセットは、その2面です。ただし、文脈によっては、ファセットは2面の3つ以上の頂点の部分集合から形成される多角形を意味します
• 4次元多面体または3次元ハニカムのファセットは、3つの面またはセルです。
• 5次元多面体または4次元ハニカムのファセットは、 4つの面です。

リッジまたは(n− 2)面

関連する用語では、n次元多面体の( n − 2 )面はリッジ（サブファセットとも呼ばれます）と呼ばれます。^[7]リッジは、多面体またはハニカムのちょうど2つのファセット間の境界として見られます

例えば：

• 2次元多角形または1次元タイリングの尾根は、その0面または頂点です。
• 3次元多面体または平面タイリングの尾根は、その1面または辺です。
• 4次元多面体または3次元ハニカムの尾根は、その2面です。
• 5次元多面体または4次元ハニカムの尾根は、その3面またはセルです。

ピークまたは(n−3)面

n次元多面体の( n −3 )面はピークと呼ばれます。ピークは、正多面体またはハニカムにおけるファセットとリッジの回転軸を含みます。

例えば：

• 3次元多面体または平面タイリングのピークは、その0面または頂点です。
• 4次元多面体または3次元ハニカムのピークは、その1面または辺です。
• 5次元多面体または4次元ハニカムのピークは、その2面です。

凸集合の面

区別された2つの点は、露出点ではない凸集合の端点の例です。したがって、凸集合のすべての面が露出面であるとは限りません

面の概念は、凸多面体からすべての凸集合に次のように一般化できます。実ベクトル空間の凸集合を とします。の面は、内の2点と の間にある点があるときはいつでも、 と の両方がになければならないような凸部分集合です。同様に、が に存在し、 が に存在し、がになければならないような任意の実数 と に対して、は になければならない。^[8] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$ ${\displaystyle p\in F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle 0<\theta <1}$ ${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$

この定義によれば、自身と空集合は の面です。これらはの自明な面と呼ばれることもあります ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

の端点とは、がの面となるような点である。^[8]つまり、が2点の間にある場合、となる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in C}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle x=y=p}$

例えば：

• 平面（内部領域を含む）上の三角形は凸集合である。その非自明な面は、3つの頂点と3つの辺である。（したがって、唯一の端点は3つの頂点である。）
• 閉単位円板 の唯一の非自明な面は、その端点、すなわち単位円上の点である。 ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$

をにおけるコンパクト（または同義語として、閉じた有界）な凸集合とする。すると はその端点の凸包となる。[ ^{9]より一般的には、}局所凸位相ベクトル空間における各コンパクト凸集合は、その端点の閉凸包となる（クライン・ミルマンの定理）。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C}$

の露出面とは、の点のうち、線型汎関数が で最小値を達成する部分集合である。したがって、 が および 上の線型汎関数である場合、はの露出面である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$ ${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$ ${\displaystyle C}$

の露出点とは、 が の露出面となるような点である 。つまり、すべての に対して となる。露出していない端点の例については、図を参照。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in C}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f(p)>f(c)}$ ${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$

競合する定義

および／またはを の面に含めない著者もいる。面が閉部分集合であることを要求する著者もいる。これは有限次元ベクトル空間内のコンパクト凸集合では自動的に行われるが、無限次元では行われない。^[10]無限次元では、関数は通常、与えられたベクトル位相において連続であると仮定される。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$

性質

凸集合の露出面は面です。特に、凸部分集合です。

が凸集合の面である場合、部分集合が の面であるためには、 がの面である必要があります。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$

参照

• 面格子
• 多面体組合せ論
• 離散幾何学

注釈

1. 面ではない他の多角形も、多面体とタイリングに考慮されてきました。これらには、ペトリー多角形、頂点図形、ファセット（多面体の同じ面にない共面頂点によって形成される平面多角形）が含まれます。

参考文献

1. Matoušek 2002, p. 86.
2. Cromwell, Peter R. (1999), Polyhedra, Cambridge University Press, p. 13, ISBN 9780521664059。
3. Grünbaum 2003, p. 17
4. ジーグラー 1995、51ページ
5. Matoušek (2002) と Ziegler (1995) は、わずかに異なるが同等の定義を用いており、これはP をPの内部から分離した超平面または空間全体と交差させることを意味します。
6. Matoušek (2002)、p. 87; Grünbaum (2003)、p. 27; Ziegler (1995)、p. 17.
7. Matoušek (2002)、p. 87; Ziegler (1995)、p. 71.
8. Rockafellar 1997、p. 162 より引用
9. Rockafellar 1997、p. 166
10. Simon, Barry (2011). 凸性：解析的視点. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. p. 123. ISBN 978-1-107-00731-4. MR  2814377.

参考文献

• Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (第2版), Springer, ISBN 0-387-00424-6, MR  1976856
• Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics , vol. 212, Springer, ISBN 9780387953748, MR  1899299
• Rockafellar, RT (1997) [1970]. 凸解析. プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局. ISBN 1-4008-7317-7. MR  0274683.
• Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, ISBN 9780387943657, MR  1311028

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Face". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Facet". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Side". MathWorld .

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