細胞近似定理

代数位相幾何学における細胞近似定理は、CW 複体間の写像は常に特定の型であるとみなせると述べている。具体的には、XとYが CW 複体で、f  : X → Yが連続写像である場合、すべてのnに対してf がXのnスケルトンをYのnスケルトンに取るとき、すなわち、すべてのnに対してであるとき、 fは細胞的であると言われている。細胞近似定理は、CW 複体XとYの間の任意の連続写像f  : X → Yは細胞写像とホモトピーであり、 f がXの部分複体A上ですでに細胞的である場合、さらにホモトピーがA上で定常になるように選択できると述べている。したがって、代数位相幾何学の観点からは、CW 複体間の任意の写像を細胞的であるとすることができる。 ${\displaystyle f(X^{n})\subseteq Y^{n}}$

証明のアイデア

証明はn の後に帰納的に与えられ、 f はスケルトンX ⁿ上で細胞的であるという主張によって与えられる。基本ケース n=0 において、Yのすべてのパス成分は必ず 0-セルを含むことに注意されたい。したがって、 Xの 0-セルのfの下の像は、 Yの 0-セルにパスで接続することができるが、これはfからX の 0-スケルトン上で細胞的である写像へのホモトピーを与える。

fがXの ( n  − 1) スケルトン上で細胞的であると帰納的に仮定し、 e ^{n を}Xのn細胞とします。e ⁿの閉包はXでコンパクトで、細胞の特性マップの像であるため、 fによるe ⁿの閉包の像もYでコンパクトです。すると、 CW 複体の一般的な結果として、任意のコンパクト部分空間は複体の有限個の細胞とのみ交わります (つまり、非自明に交差します)。したがって、f ( e ⁿ ) は最大でも有限個の細胞と交わるため、 をf ( e ⁿ )と交わる最高次元の細胞とすることができます。 の場合、写像fはe ⁿ上で既に細胞的です。これは、この場合Yのnスケルトンの細胞のみがf ( e ⁿ )と交わるため、 k  >  nと仮定できるからです。この場合、fからX ^n-1を基準として、点p  ∈  e ^kを欠落した写像にホモト化できるという技術的かつ非自明な結果（ハッチャー参照）が得られる。 Y ^k  − { p }変形は部分空間Y ^k - e ^k上に退避するため、 fからgなどの写像にさらにホモト化でき、g ( e ⁿ ) はセルe ^kを欠落するが、これはやはりX ^n-1を基準としている。f ( e ⁿ ) はYの有限個のセルにしか遭遇しないため、このプロセスを有限回繰り返すことで、nより大きい次元のYのすべてのセルを欠落させることができる。 ${\displaystyle e^{k}\subseteq Y}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle X^{n-1}\cup e^{n}}$ ${\displaystyle X^{n-1}\cup e^{n}}$ ${\displaystyle f(e^{n})}$

このプロセスをXのnセルすべてに対して繰り返し、 fが既に細胞状になっている部分複体 A のセルを固定することで、 X の ( n − 1) スケルトンと A の n セルを基準として、 f の X n への制限から、 X の n 次元以下のすべてのセル上の細胞状写像へのホモトピーが得られます。 次に、ホモトピー拡張特性を用い^てこれをX全体上のホモトピーに拡張し、これらのホモトピーをつなぎ合わせることで証明が完了します。詳細については、Hatcherを参照してください。

アプリケーション

いくつかのホモトピー群

細胞近似定理は、いくつかのホモトピー群を即座に計算するために用いることができます。特に、 の場合、とそれらの標準CW構造を与え、それぞれに0-セルを1つずつ持ち、の場合はn-セルを1つ、 の場合はk-セルを1つ持ちます。任意の基点保​​存写像は、その像が基点のみからなるn-スケルトン内に存在する写像とホモトピーです。つまり、そのような写像はどれもヌルホモトピーです。 ${\displaystyle n<k,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(S^{k})=0.}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{k}.}$ ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{k}}$ ${\displaystyle S^{k},}$

ペアのセル近似

f : (X,A) → (Y,B)をCWペアの写像とします。つまり、fはXからYへの写像であり、fによるの像はB の内部にあります。すると、 fは細胞写像(X,A) → (Y,B)とホモトピーになります。これを確認するには、fをAに制限し、細胞近似を使用してA上の細胞写像へのfのホモトピーを取得します。ホモトピー拡張特性を使用してこのホモトピーをX全体に拡張し、再び細胞近似を適用してX上の細胞写像を取得しますが、 A上の細胞特性に違反することはありません。 ${\displaystyle A\subseteq X\,}$

結果として、のすべてのセルの次元がnよりも確実に大きい場合、 CW ペア(X,A)はn 連結 であることがわかります。 の場合、任意のマップ→ (X,A)はペアのセルマップにホモトピックであり、XのnスケルトンがA内にあるため、このようなマップはどれも、そのイメージがAにあるマップにホモトピックであり、したがって相対ホモトピー群 では 0 です。特に はn連結であるため、ペアのホモトピー群の長い正確なシーケンスから、すべてに対して同型→と全射→が得られることがわかります。 ${\displaystyle X-A}$ ${\displaystyle i\leq n\,}$ ${\displaystyle (D^{i},\partial D^{i})\,}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X,A)\,}$
${\displaystyle (X,X^{n})\,}$ ${\displaystyle (X,X^{n})\,}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X^{n})\,}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\,}$ ${\displaystyle i<n\,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X^{n})\,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)\,}$

CW近似

任意の空間Xに対して、 CW 複体Zと、XのCW 近似と呼ばれる弱ホモトピー同値性 を構築することができます。CW 近似は弱ホモトピー同値性であるため、Xのホモロジー群とコホモロジー群に同型性を誘導します。したがって、CW 近似を用いることで、一般的な命題を CW 複体のみに関係するより単純な形に簡約できることがよくあります。 ${\displaystyle f\colon Z\to X}$

CW近似はのスケルトン 上に を誘導して構築され、写像はに対して同型であり、 は（任意の基点に対して）に対して写像となる。そして は、（すべての基点に対して） となる（i+1）個のセルを に接続することによってから構築される。 ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (f_{i})_{*}\colon \pi _{k}(Z_{i})\to \pi _{k}(X)}$ ${\displaystyle k<i}$ ${\displaystyle k=i}$ ${\displaystyle Z_{i+1}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

• は、核を生成する写像によって付加される（そして対応する回転楕円体の縮約によってXに写像される） ${\displaystyle S^{i}\to Z_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(Z_{i})\to \pi _{i}(X)}$
• は定数マッピングによって添付され、Xにマッピングされて(または)を生成します。 ${\displaystyle \pi _{i+1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{i+1}(X)/(f_{i})_{*}(\pi _{i+1}(Z_{i}))}$

セル近似により、(i+1)セルを追加しても には影響しないことが保証されます。一方、 はこれらのセルのアタッチメント写像の類によって因数分解され、となります。 の射影性は、構築の2番目のステップから明らかです。 ${\displaystyle \pi _{k}(Z_{i}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{k}(X)}$ ${\displaystyle k<i}$ ${\displaystyle \pi _{i}(Z_{i})}$ ${\displaystyle S^{i}\to Z_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(Z_{i+1}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{i+1}(Z_{i+1})\to \pi _{i+1}(X)}$

参考文献

• ハッチャー、アレン（2005年）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1

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