セビアン

幾何学において、セビアンとは三角形の頂点と対辺の点を結ぶ線分のことである。 ^[1]^[2]中線、対中線、角の二等分線、高度線はすべてセビアンの一種である。セビアンという名称は、イタリアの数学者ジョヴァンニ・チェヴァに由来する。彼は自身の名を冠したセビアンに関する定理を証明した。^[3]

長さ

セビアンの長さはスチュワートの定理によって決定できます。図では、セビアンの長さ $d$ は次の式で与えられます。

\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

あまり一般的ではありませんが、これは（多少の並べ替えを伴って）次の記憶法でも表されます。

{\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}

^[4]

セビアンが中線（つまり辺を二等分する線）である場合、その長さは次の式から求められる。

\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

または

\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

以来

\,a=2m.

したがってこの場合

d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.

セビアンが角の二等分線である場合、その長さは次の式に従う。

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),

そして^[5]

d^{2}+mn=bc

そして

d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}

半周長 $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$

$長さa$ の辺は $b : c$ の比率で分割されます。

\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}

そして

d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},

半周長 $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$

同じ任意の内点を通る3つのセビアンの長さの比には様々な性質がある：^[6]^{: 177–188}右の図を参照すると、

{\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}

最初の性質はチェバの定理として知られています。最後の2つの性質は、2つの方程式を足し合わせると $1 + 1 + 1 = 3 という$ 恒等式が得られるため、等価です。

三角形の分割線は、周囲を二等分するセビアンです。3つの分割線は三角形のナーゲル点で一致します。

三角形の面積の二等分線のうち3本は中線であり、頂点と対辺の中点を結ぶ。すべての中線は重心を含み、その重心は共通の交点に位置するため、均一密度の三角形は原理的には中線のいずれかを支えるかみそりの上でバランスをとることになる。

ラウスの定理は、与えられた三角形の面積と、各頂点から 1 つずつ取った 3 つの三角形の交差によって形成される三角形の面積の比を決定します。

^ Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometry Revisited . Washington, DC: Mathematical Association of America . p. 4. ISBN 0-883-85619-0。
^ 一部の著者は三角形の他の2辺を除外しています。Eves (1963, p.77) を参照。
^ ライトナー、ジェームズ・E. (1975). 「三角形の『中心』についての新たな考察」.数学教師. 68 (7): 612– 615. JSTOR 27960289.
^ 「問題解決の芸術」artofproblemsolving.com . 2018年10月22日閲覧。
^ ジョンソン、ロジャー A.、「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー出版、2007年（原著 1929年）、70ページ。
^ Alfred S. Posamentierと Charles T. Salkind、「Challenging Problems in Geometry」、Dover Publishing Co.、改訂第 2 版、1996 年。

イヴス、ハワード（1963年）、幾何学概論（第1巻）、アリン＆ベーコン
ロス・ホンズバーガー(1995). 『19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード』、13ページおよび137ページ。アメリカ数学会。
ウラジミール・カラペトフ(1929). 「平面三角形における相関頂点線のいくつかの性質」アメリカ数学月刊誌36: 476–479.
インディカ・シャミーラ・アマラシンゲ (2011). 「任意の直角セビアン三角形に関する新しい定理」世界数学競技連盟誌、第24巻 (02)、pp. 29–37.