Coordinate change in linear algebra
数学 において 、 有限 次元 nの ベクトル空間 の 順序付き基底は 、 ベクトル空間の任意の要素を 座標ベクトル（ 座標 と呼ばれる n 個のスカラー の 列 ）によって一意に表すことを可能にする。2つの異なる基底が考えられる場合、一方の基底上でベクトル v を表す座標ベクトルは、一般に、 もう一方の基底上でベクトル vを表す座標ベクトルとは異なる。 基底の変更 とは、一方の基底を基準とした座標で表されるすべての主張を、もう一方の基底を基準とした座標で表される主張に変換することである。 [1] [2] [3]
このような変換は、 一方の基底に対する座標をもう一方の基底に対する座標で表す基底 変換公式によって得られる。 行列 を用いると、この公式は次のように書ける。
x o l d = A x n e w , {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },} ここで、「古い」と「新しい」はそれぞれ最初に定義された基底と他の基底を指し、 2 つの基底上の同じベクトルの座標の 列ベクトル です。 x o l d {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }} x n e w {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }} A {\displaystyle A} は基底変換行列 （ 遷移行列 とも呼ばれる）であり、その列は 古い基底上の
新しい 基底ベクトル の座標である行列です。
基底変換は 座標変換 と呼ばれることもありますが、多くの 座標変換は 除外されます。 物理学 、特に 力学における応用では、基底変換はしばしば 直交基底 の変換 、つまり 物理空間 における 回転 として理解され、 並進移動は 除外されます。この記事では主に有限次元ベクトル空間を扱います。しかし、多くの原理は無限次元ベクトル空間にも当てはまります。
を体 F 上の 有限次元ベクトル空間 V の基底とする 。 [ a] B o l d = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}
j = 1, ..., n に対して 、ベクトル w j を その座標で定義することができる 。 a i , j {\displaystyle a_{i,j}} B o l d : {\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }
w j = ∑ i = 1 n a i , j v i . {\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.} させて
A = ( a i , j ) i , j {\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}} j 番目の 列が w j の座標で形成される行列 とします 。(ここでも、またこれ以降でも、インデックス iは常に A の行と を参照し 、 インデックス jは常に A の列と を参照します。 この ような規則は、明示的な計算でエラーを回避するのに役立ちます。) v i , {\displaystyle v_{i},} w j ; {\displaystyle w_{j};}
1 を 設定すると、 が V の基底となるのは 、行列 A が 逆行列 である場合 、あるいは同値として、行列 式 が非零である場合に限ります。この場合、 A は基底 から 基底 への 基底変換行列 と呼ばれます。 B n e w = ( w 1 , … , w n ) , {\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),} B n e w {\displaystyle B_{\mathrm {new} }} B o l d {\displaystyle B_{\mathrm {old} }} B n e w . {\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}
ベクトルが与えられ 、 その 上 の 座標 は z ∈ V , {\displaystyle z\in V,} ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} z {\displaystyle z} B o l d , {\displaystyle B_{\mathrm {old} },} ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})} B n e w ; {\displaystyle B_{\mathrm {new} };}
z = ∑ i = 1 n x i v i = ∑ j = 1 n y j w j . {\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.} (2 つの合計に対して同じ合計指数を取ることもできますが、 古い基底に対して指数 i を選択し、新しい基底に対して指数 j を 体系的に選択すると、後続の式がより明確になり、証明や明示的な計算におけるエラーを回避するのに役立ちます。)
基底変換公式は、 古い 基底上の座標を新しい基底上の座標で表す。上記の表記を用いると、
x i = ∑ j = 1 n a i , j y j for i = 1 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.} 行列の観点で言えば、基底変換式は
x = A y , {\displaystyle \mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,} ここで 、およびはそれぞれ 、および 上の z 座標の列ベクトルです 。 x {\displaystyle \mathbf {x} } y {\displaystyle \mathbf {y} } B o l d {\displaystyle B_{\mathrm {old} }} B n e w , {\displaystyle B_{\mathrm {new} },}
証明： 上記の基底変換行列の定義を用いると、
z = ∑ j = 1 n y j w j = ∑ j = 1 n ( y j ∑ i = 1 n a i , j v i ) = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n a i , j y j ) v i . {\displaystyle {\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}} 基底変換式は、基底上のベクトルの分解の一意性から生じます 。 z = ∑ i = 1 n x i v i , {\displaystyle z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}
例 ユークリッドベクトル空間 とベクトルおよびからなる基底を 考える 。 これらを角度 tだけ 回転する と 、 次 のような 新しい基底が得られる。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} v 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle v_{1}=(1,0)} v 2 = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle v_{2}=(0,1).} w 1 = ( cos t , sin t ) {\displaystyle w_{1}=(\cos t,\sin t)} w 2 = ( − sin t , cos t ) . {\displaystyle w_{2}=(-\sin t,\cos t).}
つまり、基底変換行列は [ cos t − sin t sin t cos t ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}
基底変換公式は、 ベクトルの新しい座標 が y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} ( x 1 , x 2 ) , {\displaystyle (x_{1},x_{2}),}
[ x 1 x 2 ] = [ cos t − sin t sin t cos t ] [ y 1 y 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.} つまり、
x 1 = y 1 cos t − y 2 sin t and x 2 = y 1 sin t + y 2 cos t . {\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.} これは書面で確認できる。
x 1 v 1 + x 2 v 2 = ( y 1 cos t − y 2 sin t ) v 1 + ( y 1 sin t + y 2 cos t ) v 2 = y 1 ( cos ( t ) v 1 + sin ( t ) v 2 ) + y 2 ( − sin ( t ) v 1 + cos ( t ) v 2 ) = y 1 w 1 + y 2 w 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}}
線形写像の観点から 通常、 行列は 線型写像 を表し 、行列と列ベクトルの積は、対応する線型写像を、その列ベクトルを形成する座標を持つベクトルに 関数適用すること を表します。基底変換公式はこの一般原理の特殊なケースですが、その定義と証明からはすぐには明らかではありません。
行列が 線型写像 を表すと言う場合、それは暗黙的に、暗黙ベクトル空間の 基底 、および基底の選択によって ベクトル空間と F n （ここで Fはスカラー体）の間に 同型性が生じるという事実に言及している。各ベクトル空間に対して1つの基底のみを考慮する場合、この同型性を暗黙のままにして、同型性 に至るまで 検討を進めることは有益である 。ここでは同じベクトル空間の複数の基底を考慮するため、より正確な表現が必要となる。
F を体とする と 、 n 組 の 集合は F ベクトル空間であり、 その加法とスカラー乗算は成分ごとに定義される。その 標準基底は、 i番目の要素が 1である i 番目の要素 を除くすべての成分が 0 である組を i 番目の要素 として持つ基底である 。 F n {\displaystyle F^{n}}
F ベクトル空間 V の 基底は、 次のような 線型同型 を定義する。 B = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})} ϕ : F n → V {\displaystyle \phi \colon F^{n}\to V}
ϕ ( x 1 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i v i . {\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.} 逆に、このような線型同型は、標準基底の 像である基底を定義する。 ϕ {\displaystyle \phi } F n . {\displaystyle F^{n}.}
を基底変換の「古い基底」とし、それに関連する同型とする 。 基底変換行列 A が与えられたとき、それを自己準同型の行列と考えることができる。 最後 に 、定義する。 B o l d = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})} ϕ o l d {\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }} ψ A {\displaystyle \psi _{A}} F n . {\displaystyle F^{n}.}
ϕ n e w = ϕ o l d ∘ ψ A {\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}} （ここで 関数合成 を表す ）、そして ∘ {\displaystyle \circ }
B n e w = ϕ n e w ( ϕ o l d − 1 ( B o l d ) ) . {\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).} 簡単な検証により、 のこの定義は 前のセクションの定義と同じであることがわかります。 B n e w {\displaystyle B_{\mathrm {new} }}
さて、左辺に 、 右辺に を置いた 方程式を合成すると、 ϕ n e w = ϕ o l d ∘ ψ A {\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}} ϕ o l d − 1 {\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}} ϕ n e w − 1 {\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }^{-1}}
ϕ o l d − 1 = ψ A ∘ ϕ n e w − 1 . {\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.} すると 、 v ∈ V , {\displaystyle v\in V,}
ϕ o l d − 1 ( v ) = ψ A ( ϕ n e w − 1 ( v ) ) , {\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),} これは、座標ではなく線形マップで表現された基底変換式です。
ベクトル空間上で定義された関数 ベクトル空間を定義 域 とする関数 は 、通常、関数が 適用される ベクトルの何らかの基底上の座標を変数とする 多変数関数 として指定されます。
基底が変化すると、 関数の 表現も変化します。この変化は、「古い」座標を「新しい」座標における表現に置き換えることで計算できます。より正確には、 f ( x ) が 古い座標における関数の表現であり、 x = A y が基底変換式である場合、 f ( A y ) は同じ関数の新しい座標における表現です。
基底変換式が古い座標を新しい座標で表現するという事実は不自然に思えるかもしれませんが、ここでは 行列の反転が 必要ないため、有用であると思われます。
基底変換公式は 線形関数 のみを扱うため、基底変換によって多くの関数の性質が維持されます。これにより、これらの性質を、特定の基底とは関係のない可変ベクトルの関数の性質として定義することが可能になります。したがって、定義域がベクトル空間またはその部分集合である関数は、
ある基底、つまりあらゆる基底でそれを表す多変数関数が同じ特性を持つ場合です。
これは、連続関数、微分可能関数、滑らかな関数、解析関数の概念を多様体上で定義された関数に拡張できるため、 多様体 理論で特に役立ちます。
線形マップ n 次元の ベクトル空間 W から m 次元の ベクトル空間 Vへの 線型写像 T : W → V を考える 。これは、 V と Wの「旧」基底上では m × n 行列 M で表される 。基底変換は、 V については m × m 基底変換行列 P 、 W については n × n 基底変換行列 Q によって定義される。
「新しい」基底では、 T の行列は
P − 1 M Q . {\displaystyle P^{-1}MQ.} これは基底変換式の直接的な結果です。
準同型性 自己準同型写像 は、ベクトル空間 V からそれ自身への線型写像である。基底変換については、前節の公式が両辺に同じ基底変換行列を置いた状態で適用できる。すなわち、 M が「古い」基底上の V の自己準同型の 正方行列 であり、 P が 基底変換行列である場合、「新しい」基底上の自己準同型の行列は
P − 1 M P . {\displaystyle P^{-1}MP.} すべての可逆行列は 基底変換行列として使用できる ため、2 つの 行列が 2 つの異なる基底で同じ自己準同型を表す場合にのみ、 2 つの行列は 類似していることになります。
体 F 上の ベクトル空間 V 上の双 線型形式 とは、関数 V × V → Fが両方の引数に対して 線型で あるようなものである 。つまり、 B : V × V → F が双線型とは、
任意の固定された値に対して 写像 と写像が線型であるときである。 v ↦ B ( v , w ) {\displaystyle v\mapsto B(v,w)} v ↦ B ( w , v ) {\displaystyle v\mapsto B(w,v)} w ∈ V . {\displaystyle w\in V.}
基底（以下では「古い」基底と呼ぶ） 上の 双線型形式 B の行列 B は、 i 行 j 列目の要素が である行列である 。したがって、 v と w を 2つのベクトルv と w の座標の列ベクトルとすると 、 ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} B ( v i , v j ) {\displaystyle B(v_{i},v_{j})}
B ( v , w ) = v T B w , {\displaystyle B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,} ここで、は 行列 v の転置 を表します 。 v T {\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}
Pが 基底変換行列である 場合、簡単な計算により、新しい基底上の双線形形式の行列は
P T B P . {\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.} 対称双 線型形式とは、 V の任意の v と w に対してとなる 双線型形式 B のことである。したがって、 任意の基底における B の行列は 対称 となる。これは、対称行列であるという性質が上記の基底変換公式によって維持されることを意味する。これは、行列積の転置が転置を逆順に計算した積であることに注目することでも確認できる。特に、 B ( v , w ) = B ( w , v ) {\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}
( P T B P ) T = P T B T P , {\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,} 行列 B が対称である場合、この方程式の 2 つの要素は等しくなります 。 P T B P {\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P}
基底体 Fの 標数 が2でない場合 、すべての対称双線型形式に対して、行列が 対角行列 となる基底が存在する。さらに、結果として生じる対角要素の非零要素は、平方乗算まで定義される。したがって、基底体が 実数 体である場合、これらの非零要素は 1 または -1の いずれかに選択できる 。 シルベスターの慣性法則は、 1 と -1 の数は基底変換ではなく双線型形式のみに依存する ことを主張する定理である。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
実数部上の対称双線型形式は、 幾何学 や 物理学、特に 二次曲面 や 剛体 の 慣性 の研究でよく見られます 。このような場合、 直交基底が 特に役立ちます。つまり、基底変換は、 直交 基底変換行列、つまり、 となる行列に制限することが一般的に好まれます 。このような行列は、対称双線型形式と、同じ対称行列で表される自己準同型に対して基底変換の式が同じであるという基本的な特性を持ちます。 スペクトル定理は、このような対称行列が与えられた場合、結果として得られる行列 (双線型形式と自己準同型の両方) が対角行列となり、対角線上に初期行列の 固有値が存在するよう な直交基底変換が存在すると主張しています 。したがって、実数部上で自己準同型の行列が対称であれば、 対角化可能 です。 P T = P − 1 . {\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}
参照
注記
参考文献 ^ アントン（1987年、221～237ページ） ^ Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 240–243) ^ ネリング（1970年、50～52ページ）
参考文献
外部リンク MIT OpenCourseWare の MIT 線形代数講義「基底の変化」 カーンアカデミーの「基盤の変化」に関する講義（カーンアカデミーより）
