Gives the total power radiated by an accelerating, nonrelativistic point charge
八木 ・宇田アンテナ 。アンテナ内の電子を加速することで、アンテナから電波を放射することができます。これは コヒーレントな 過程であるため、放射される総電力は加速する電子の数の2乗に比例します。 電気力学 において 、 ラーモアの公式は 、非相対論的な点電荷が加速する際に放射される全 エネルギー を計算するために使用されます。この公式は、1897年に JJラーモア [1]によって、 光の波動理論 の文脈で 初めて導出されました 。
荷電粒子（ 電子 、 陽子 、 イオンなど）が加速すると、エネルギーが 電磁波 として放射されます。 光速 に比べて速度が小さい（つまり非相対論的である）粒子の場合 、粒子が放射する全エネルギー（点電荷とみなした場合）は、ラーモアの公式で計算できます。 ここで 、またはは 固有加速度、 は電荷、 は光速、は 真空透磁率 です 。 [2]相対論的な一般化は、 リエナール・ヴィーヒャルトポテンシャル によって与えられます 。 P = 2 3 q 2 4 π ε 0 c ( v ˙ c ) 2 = 2 3 q 2 a 2 4 π ε 0 c 3 = q 2 a 2 6 π ε 0 c 3 = μ 0 q 2 a 2 6 π c (SI units) P = 2 3 q 2 a 2 c 3 (cgs units) {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\\[0.6ex]&={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}&{\text{ (SI units)}}\\[1.5ex]P&={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}&{\text{ (cgs units)}}\end{aligned}}} v ˙ {\displaystyle {\dot {v}}} a {\displaystyle a} q {\displaystyle q} c {\displaystyle c} μ 0 = 1 / ε 0 c 2 {\displaystyle \mu _{0}=1/\varepsilon _{0}c^{2}}
どちらの単位系でも、単一の電子が放射する電力は、 古典的な電子半径 と 電子質量 を使って次のように表すことができます。 P = 2 3 m e r e a 2 c {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}
一つの示唆は、ボーア模型 のように原子核の周りを回る電子は エネルギーを失い、原子核に落ち込み、原子は崩壊するはずだということです。この謎は 量子論 が導入されるまで解明されませんでした。
導出 位置 にある点電荷が 速度 で放射する電力を計算するには、 半径 R の球の表面で ポインティング ベクトルを 積分して次式を得ます。 [3] 電場と磁場は、リエナール–ヴィーヒャートの場の方程式で与えられます。 半径ベクトル は、 遅延時間 における荷電粒子の位置から現時点での電磁場の観測点までの 距離、 は電荷の速度を で割った値 、 は電荷の加速度を で割った値、 です 。 変数 、、、、 は すべて 遅延時間 で評価されます 。 q {\displaystyle q} r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} v ( t ) , {\displaystyle \mathbf {v} (t),} P = c R 2 4 π ∮ r ^ ⋅ [ E ( r , t ) × B ( r , t ) ] d Ω . {\displaystyle P={\frac {cR^{2}}{4\pi }}\oint \mathbf {\hat {r}} \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)]d\Omega .} E ( r , t ) = q ( r ^ r − β r ) r r 2 γ r 2 ( 1 − r ^ r ⋅ β r ) 3 + q c { r ^ r × [ ( r ^ r − β r ) × β ˙ r ] r r ( 1 − r ^ r ⋅ β r ) 3 } B ( r , t ) = r ^ × E ( r , t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {q\left(\mathbf {\hat {r}} _{r}-{\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}{r_{r}^{2}\gamma _{r}^{2}{\left(1-\mathbf {{\hat {r}}_{r}} \cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}^{3}}}+{\frac {q}{c}}\left\{{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{r}\times \left[(\mathbf {\hat {r}} _{r}-{\boldsymbol {\beta }}_{r})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{r}\right]}{r_{r}{\left(1-\mathbf {\hat {r}} _{r}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}^{3}}}\right\}\\[1ex]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {E(\mathbf {r} ,t)} .\end{aligned}}} r r {\displaystyle {\mathbf {r} }_{r}} β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} c {\displaystyle c} β ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}} c {\displaystyle c} γ = ( 1 − β 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}} r r {\displaystyle {\mathbf {r} }_{r}} β r {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{r}} γ r {\displaystyle \gamma _{r}} a r {\displaystyle {\mathbf {a} }_{r}} t r = t − r r / c {\displaystyle t_{r}=t-r_{r}/c}
点電荷の静止系に ローレンツ変換を 行います。 ここで 、 は に平行な静止系加速度であり 、 は に垂直な静止系加速度です 。 v ′ = 0 {\displaystyle \mathbf {v} '=0} a ′ ∥ = a ∥ γ 3 , a ⊥ ′ = a ⊥ γ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a'} _{\parallel }&=\mathbf {a} _{\parallel }\gamma ^{3},&\mathbf {a} '_{\perp }&=\mathbf {a} _{\perp }\gamma ^{2}.\end{aligned}}} a ′ ∥ {\displaystyle {\mathbf {a} '}_{\parallel }} v {\displaystyle \mathbf {v} } a ⊥ ′ {\displaystyle \mathbf {a} '_{\perp }} v {\displaystyle \mathbf {v} }
静止系ポインティングベクトルを半径R 'の球面上で積分する と、次の式が得られます。 この極限では、 となり 、したがって、 すべての変数を現時点で評価すると、 電場は で与えられます
。 P ′ = c R ′ 2 4 π ∮ r ^ ′ ⋅ [ E ′ ( r ′ , t ′ ) × B ′ ( r ′ , t ′ ) ] d Ω ′ , {\displaystyle P'={\frac {cR'^{2}}{4\pi }}\oint \mathbf {\hat {r}} '\cdot \left[\mathbf {E} '(\mathbf {r} ',t')\times \mathbf {B} '(\mathbf {r} ',t')\right]d\Omega ',} R ′ → 0. {\displaystyle R'\to 0.} t r ′ = t ′ {\displaystyle t'_{r}=t'} a ′ r = a ′ , {\displaystyle {\mathbf {a} '}_{r}={\mathbf {a} '},} E ′ ( r ′ , t ′ ) = q r ^ ′ r ′ 2 + q [ r ^ ′ ( r ^ ′ ⋅ a ′ ) − a ′ ] c 2 r ′ , {\displaystyle \mathbf {E} '(\mathbf {r} ',t')={\frac {q\mathbf {\hat {r}} '}{r'^{2}}}+{\frac {q\left[\mathbf {\hat {r}} '\left(\mathbf {\hat {r}} '\cdot \mathbf {a} '\right)-\mathbf {a} '\right]}{c^{2}r'}},}
すると、 放射電力の 表面積は 次のように簡約
されます。放射電力は、移動フレームの元の加速度で表すと、次のようになります。 この式の変数は、元の移動フレームのものですが、式の左側のエネルギー放出率は、依然として静止フレームの変数で表されます。ただし、右側は以下でローレンツ不変量であることが示されるため、放射電力は移動フレームにローレンツ変換することができ、最終的に次のようになります。
この結果（2つの形式）は、Larmorの式のLiénardによる相対論的拡張 [4] と同じであり 、ここでは現時点でのすべての変数を用いて示されています。これを非相対論的に簡約すると、Larmorの元の式になります。 P ′ = q 2 4 π c 3 ∮ r ^ ′ ⋅ [ a ′ × ( r ^ ′ × a ′ ) ] d Ω ′ = 2 q 2 a ′ 2 3 c 3 . {\displaystyle P'={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}}}\oint {\mathbf {\hat {r}} '}\cdot \left[\mathbf {a} '\times \left({\hat {\mathbf {r} }}'\times \mathbf {a} '\right)\right]d\Omega '={\frac {2q^{2}a'^{2}}{3c^{3}}}.} P ′ = 2 q 2 3 c 3 ( a ∥ 2 γ 6 + a ⊥ 2 γ 4 ) = 2 q 2 γ 6 3 c 3 [ a 2 − ( v × a / c ) 2 ] . {\displaystyle P'={\frac {2q^{2}}{3c^{3}}}\left(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{6}+a_{\perp }^{2}\gamma ^{4}\right)={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}\left[a^{2}-{\left(\mathbf {v} \times \mathbf {a} /c\right)}^{2}\right].} P = 2 q 2 γ 4 3 c 3 ( a ∥ 2 γ 2 + a ⊥ 2 ) = 2 q 2 γ 6 3 c 3 [ a 2 − ( v × a / c ) 2 ] . {\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}\left(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{2}+a_{\perp }^{2}\right)={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}\left[a^{2}-{\left(\mathbf {v} \times \mathbf {a} /c\right)}^{2}\right].}
高エネルギーの場合、速度に平行な方向の加速で放射されるエネルギーは、垂直方向の加速で放射されるエネルギーよりも大きいように見える 。しかし、リエナールの式を速度で表すと誤解を招く。速度ではなく運動量で表すと、リエナールの式は次のようになる。 γ 2 {\displaystyle \gamma ^{2}}
P = 2 q 2 3 c 3 m 2 [ ( d p d t ) ∥ 2 + γ 2 ( d p d t ) ⊥ 2 ] . {\displaystyle P={\frac {2q^{2}}{3c^{3}m^{2}}}\left[\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\parallel }^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\perp }^{2}\right].}
これは、速度に垂直な方向 に放射されるエネルギーが、速度に平行な方向 に放射されるエネルギーの1倍大きいことを示しています 。この結果、線形加速器では放射減衰は無視できますが、円形加速器では制限要因となります。 d p / d t {\displaystyle d\mathbf {p} /dt} γ 2 {\displaystyle \gamma ^{2}} d p / d t {\displaystyle d\mathbf {p} /dt}
放射される電力は実際にはローレンツスカラーであり、共変形式で次のように表される。
P = − 2 3 q 2 m 2 c 3 d p μ d τ d p μ d τ . {\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.}
これを示すために、4つのベクトルのスカラー積をベクトル表記に簡約する。まず、 d p μ d τ d p μ d τ = γ 2 [ ( d p 0 d t ) 2 − ( d p d t ) 2 ] . {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {dp_{0}}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}\right].}
時間微分は
d p 0 d t = d d t ( m γ ) = m γ 3 v a ∥ {\displaystyle {\frac {dp_{0}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m\gamma )=m\gamma ^{3}va_{\parallel }} d p d t = d d t ( m v γ ) = m γ 3 ( a ∥ + a ⊥ / γ 2 ) . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(m\mathbf {v} \gamma \right)=m\gamma ^{3}\left(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }/\gamma ^{2}\right).} これらの導関数を使用すると、 d p μ d τ d p μ d τ = − m 2 γ 4 ( γ 2 a ∥ 2 + a ⊥ 2 ) . {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=-m^{2}\gamma ^{4}\left(\gamma ^{2}\mathbf {a} _{\parallel }^{2}+{\mathbf {a} }_{\perp }^{2}\right).}
このスカラー積の表現では、電力の明白に不変な形は上記のベクトル形式と一致し、放射される電力がローレンツスカラーであることを示しています。
角度分布 放射電力の角度分布は、粒子が相対論的であるかどうかに関わらず適用可能な一般式で与えられます。CGS単位では、この式は [5] で表されます。
ここで、 は粒子から観測者に向かう単位ベクトルです。直線運動（速度と加速度が平行）の場合、この式は のように簡略化されます。
ここで 、は観測者と粒子の運動との間の角度です。 P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | p ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\left|{\dot {\mathbf {p} }}\right|}^{2}.} d P d Ω = q 2 4 π c | n ^ × [ ( n ^ − β ) × β ˙ ] | 2 ( 1 − n ^ ⋅ β ) 5 , {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|\mathbf {\hat {n}} \times \left[(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right]\right|^{2}}{{\left(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)}^{5}}},} n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } d P d Ω = q 2 a 2 4 π c 3 sin 2 θ ( 1 − β cos θ ) 5 , {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{{\left(1-\beta \cos \theta \right)}^{5}}},} θ {\displaystyle \theta }
放射線反応 荷電粒子からの放射はエネルギーと運動量を運びます。エネルギーと運動量の保存則を満たすためには、荷電粒子は放射時に反跳現象を経験する必要があります。放射は荷電粒子に対して追加の力を及ぼす必要があります。この力は アブラハム・ローレンツ力 と呼ばれ、その非相対論的極限はローレンツ自己力、相対論的極限はローレンツ・ディラック力またはアブラハム・ローレンツ・ディラック力と呼ばれます。放射反応現象は、ラーモア公式の主要な問題および結果の一つです。古典電気力学によれば、荷電粒子は加速する際に電磁放射を生成します。粒子は放射によって運動量とエネルギーを失い、放射によって運び去られます。一方、放射反応力も放射の結果として荷電粒子に作用します。
この力の存在は荷電粒子の運動に大きな影響を及ぼします。特に、荷電粒子の運動に変化が生じますが、これはローレンツ-ディラック方程式の要素であるラーモアの公式によって説明できる可能性があります。
ローレンツ-ディラック方程式によれば、荷電粒子の速度は、自身の放射によって生じる「自己力」の影響を受けます。粒子の速度またはエネルギーが有限の時間内に無限大になる暴走解などの非物理的な挙動は、この自己力に起因する可能性があります。
電磁放射の放出による自己力の導入から生じるパラドックスに対する解決策は、自己力は発生しないというものである。荷電粒子の加速は電磁放射を発生させ、その放射エネルギーは荷電粒子のエネルギーを減少させる。その結果、「放射反応」が生じ、荷電粒子の加速度が減少するが、これは自己力としてではなく、粒子の加速度が減少するだけである。 [7]
原子物理学 量子物理学の発明、特に原子のボーア模型は、古典的な予測と現実の間のこのギャップを説明することができました。ボーア模型は、電子だけが存在できる異なるエネルギー準位間の遷移が、観測される原子のスペクトル線を説明できるかもしれないと提唱しました。電子の波動的な性質とエネルギーの量子化の概念は、これらの電子軌道の安定性を説明するために用いられました。
ラーモアの公式は非相対論的粒子にのみ適用できるため、その有用性は限られています。 リエナール・ヴィーヒャルトポテンシャル は、相対論的速度で移動する粒子に適用する必要がある、より包括的な公式です。状況によっては、荷電粒子が放出する放射線を正確に計算するために、数値計算や摂動論を含むより複雑な計算が必要になる場合があります。
参照
参考文献 ^ Larmor, J (1897). 「LXIII. スペクトルに対する磁気的影響の理論と運動イオンからの放射について」. Philosophical Magazine . 5. 44 (271): 503– 512. doi :10.1080/14786449708621095. 計算式は最後のページの本文に記載されています。 ^ ローレンツ、ヘンドリック・アントーン (1909). 電子理論とその光・放射熱現象への応用 . ライプツィヒ: BG トイプナー. pp. 49– 52. ^ フランクリン、ジェロルド (2021). 「加速する点電荷によって放出される電磁力」pp. 1– 5. arXiv : 2103.09317 [physics.class-ph]. ^ アルフレッド＝マリー、リエナール（1898年）。 「Champ électrique et magnétique produit par unecharge électrique concentrée en un point et animée d'un Movement quelconque」。 エクレアジュ Electr.16,5–14 。 １６ ． ^ ジャクソン、ジョン・D. (1998). 古典電気力学 （第3版）. Wiley. ISBN 0-471-30932-X 。 （第14.2節以降） ^ フランクリン、ジェロルド (2023). 「加速する点電荷に対する放射線反応」. International Journal of Modern Physics A. 38 ( 1) 2350005: 350005–1–6. arXiv : 2308.02628 . Bibcode :2023IJMPA..3850005F. doi :10.1142/S0217751X23500057. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\\[0.6ex]&={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}&{\text{ (SI単位系)}}\\[1.5ex]P&={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}&{\text{ (cgs単位)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1662a9737fbae4e0fce0e45b7678a437cf80a4a1)
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