文字テーブル

Two-dimensional group theory table

抽象代数学の一分野である群論において、特性表は、行が既約表現に対応し、列が群の元の共役類に対応する2次元の表である。エントリは、指定された行の群表現における列のクラスの群の元を表す行列のトレースである特性で構成される。化学、結晶学、分光学において、点群の特性表は、例えば分子振動をその対称性に従って分類したり、2つの状態間の遷移が対称性の理由で禁制であるかどうかを予測したりするために使用される。物理化学、量子化学、分光学、無機化学に関する大学レベルの教科書の多くは、対称群特性表の使用について1章を割いている。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

定義と例

有限群の既約複素指標は、群に関する多くの有用な情報を簡潔な形式で符号化した指標表を形成します。各行は既約指標でラベル付けされ、行のエントリはのそれぞれの共役類の任意の代表に対するその指標の値です（指標は類関数であるため）。列は の共役類（の代表）でラベル付けされます。最初の行は、すべてのに対して による1 次元ベクトル空間へのGの自明な作用である自明表現の指標でラベル付けするのが通例です。したがって、最初の行の各エントリは 1 です。同様に、最初の列は、恒等関数でラベル付けするのが通例です。最初の列のエントリは、恒等関数 における既約指標の値、つまり既約指標の次数です。次数 1 の指標は線型指標として知られています。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

以下は、 3 つの要素と生成元uを持つ巡回群のキャラクタ テーブルです。 ${\displaystyle C_{3}=\langle u\rangle }$

	（） ${\displaystyle 1}$	（） ${\displaystyle u}$	（） ${\displaystyle u^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {1} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$

ここで、ω は 1 の原始立方根です。一般巡回群の指標表は、DFT行列（のスカラー倍）です。

もう 1 つの例は、次の文字テーブルです。 ${\displaystyle S_{3}}$

	（1）	（12）	（123）
χトリヴ	1	1	1
χサイン	1	−1	1
χスタンド	2	0	−1

ここで、(12)は(12)、(13)、(23)からなる共役類を表し、(123)は(123)、(132)からなる共役類を表す。対称群の指標表の詳細については、[2]を参照のこと。

指標表の最初の行は常に1で構成され、自明な表現（要素1を含む1×1行列からなる1次元表現）に対応する。さらに、指標表は常に正方である。これは、(1) 既約指標は互いに直交しており、(2) 他の非自明な類関数はどの指標にも直交しないからである。（類関数とは、共役類に対して定数である関数のことである。）これは、有限群Gの既約表現がその共役類と一対一であるという重要な事実と結びついている。この一対一性は、類和がGの群代数の中心の基底を形成し、その次元がGの既約表現の数に等しいことを示すことによっても導かれる。

直交関係

有限群Gの複素数値クラス関数の空間には自然な内積がある。

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

ここで、 はにおけるの値の複素共役を表す。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の直交基底を形成し、指標表の行の直交関係が得られる。 ${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

列の直交関係は次のとおりです。 ${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate}}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

ここで、和はGの既約な指標すべてにわたっており、記号はの中心化子の位数を表します。 ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ ${\displaystyle g}$

任意の文字 の場合、のときのみ、それが既約となります。 ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1}$

直交関係は、次のような多くの計算に役立ちます。

• 未知の文字を既約文字の線形結合として分解します。つまり、既約表現V _iのコピーの数です。 ${\displaystyle V=\left\langle \chi ,\chi _{i}\right\rangle }$
• 既約文字の一部のみがわかっている場合に完全な文字テーブルを構築する。
• グループの共役類の代表の中心化者の順序を見つける。
• G内の任意のgについて、群の順序 を見つけます。 ${\displaystyle \left|G\right|=\left|Cl(g)\right|*\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}}$

既約表現Vが非自明である場合、 ${\displaystyle \sum _{g}\chi (g)=0.}$

より具体的には、有限群G が（自由ベクトル空間によって張られる）自身に作用する順列である正規表現を考える。この表現の指標は と であり、恒等表現ではない。そして、既約表現 が与えられると、 ${\displaystyle \chi (e)=\left|G\right|}$ ${\displaystyle \chi (g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left|G\right|}}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatorname {dim} V_{i}}$。

次に、正規表現をGの既約表現の和として分解すると、 が得られ、そこから結論が導かれる。 ${\displaystyle V_{\text{reg}}=\bigoplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}}$

${\displaystyle |G|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}}$

すべての既約表現 に対して となる。この和は、指標表における既約表現の次元を絞り込むのに役立つ。例えば、群の位数が10で共役類が4つある場合（例えば、位数が10の二面体群）、群の位数を4つの平方数の和として表す唯一の方法は となる。したがって、すべての既約表現の次元がわかる。 ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle 10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}}$

プロパティ

複素共役は文字テーブルに作用します。表現の複素共役は再び表現であるため、文字についても同じことが当てはまり、したがって、実数でない複素数値をとる文字は共役文字を持ちます。

グループGの特定の特性はその特性表から推測できます。

• Gの位数は、第 1 列の要素（既約指標の次数）の平方和によって与えられます。より一般的には、任意の列の要素の絶対値の平方和は、対応する共役類の元の中心化子の位数を与えます。
• Gのすべての正規部分群（ひいてはGが単純かどうか）は、その指標表から判断できる。指標 χ の核とは、 Gの元gのうち χ(g) = χ(1) となるものの集合である。これはGの正規部分群である。G の各正規部分群は、Gの既約指標の核の共通部分である。
• Gの既約表現の数は、Gが持つ共役類の数に等しい。
• Gの交換子部分群は、 Gの線型指標の核の交差です。
• Gが有限である場合、指標テーブルは正方で、共役類と同じ数の行を持つため、Gがアーベルである場合と、各共役類のサイズが 1 である場合と、 Gの指標テーブルがアーベルである場合と、各既約指標が線形である場合に限ります。 ${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• モジュラー表現理論からのリチャード・ブラウアーのいくつかの結果を使用すると、有限群の各共役類の元の順序の素因数は、その特性表から演繹できることがわかります（グラハム・ヒグマンの観察）。

指標表は一般に同型性を除いて 群を決定しない。例えば、四元数群と位数8の二面体群は同じ指標表を持つ。ブラウアーは、指標表とその共役類の元の冪がどのように分配されているかという知識を組み合わせることで、同型性を除いて有限群を決定できるかどうかを問うた。1964年、 ECデイドはこれに否定的な回答をした。

Gの線型表現はそれ自体がテンソル積 の基底群である。これは、 1次元ベクトル空間のテンソル積がやはり1次元であることによる。つまり、と が線型表現であるならば、 は新たな線型表現を定義する。これにより、演算 の基底群と呼ばれる線型指標群が生じる。この群はディリクレ指標やフーリエ解析と関連している。 ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$ ${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

外部自己同型

外部自己同型群は、指標表の列（共役類）とそれに応じた行の入れ替えによって作用し、これにより表に別の対称性がもたらされます。例えば、アーベル群は外部自己同型 を持ちますが、これは基本アーベル2群を除いて自明ではありません。また、アーベル群はまさに共役（内部自己同型）が自明に作用する群であるため、外部 となります。上記の の例では、この写像は と を送信し、それに応じて と を入れ替えます（との値を入れ替えます）。この特定の自己同型（アーベル群では負）は複素共役と一致することに注意してください。 ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$

形式的には、がGの自己同型でが表現である場合、は表現である。 が内部自己同型（何らかの元aによる共役）である場合、表現は類関数（共役によって値が変化しない）であるため、 は表現に自明に作用する。したがって、外部自己同型のクラスが与えられた場合、 は指標に作用する。内部自己同型は自明に作用するため、自己同型群の作用は商に降下する。 ${\displaystyle \phi \colon G\to G}$ ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} }$ ${\displaystyle \rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{a}}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} }$ ${\displaystyle \mathrm {Out} }$

この関係は両方向に使用できます。外部自己同型が与えられた場合、新しい表現を生成することができます (表現が外部自己同型によって交換される共役類上で等しくない場合)。また逆に、キャラクタ テーブルに基づいて可能な外部自己同型を制限することもできます。

特性表を用いて水分子の振動モードを見つける

水分子の振動モードの総数を求めるには、まず水分子のキャラクタリスティックス表から 既約表現 Γ _{irreducible を計算する必要があります。}

Γを見つける_還元可能Hの文字表より_²O分子

水（）分子は点群に属します。^[7]以下は点群のキャラクター表であり、水分子のキャラクター表でもあります。 ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$ ${\displaystyle C_{2v}}$ ${\displaystyle C_{2v}}$

点群のキャラクタ表 ${\displaystyle C_{2v}}$

	${\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v}}$	${\displaystyle \sigma '_{v}}$
${\displaystyle A_{1}}$	1	1	1	1	${\displaystyle z}$	${\displaystyle x^{2},y^{2},z^{2}}$
${\displaystyle A_{2}}$	1	1	−1	−1	${\displaystyle R_{z}}$	${\displaystyle xy}$
${\displaystyle B_{1}}$	1	−1	1	−1	${\displaystyle R_{y},x}$	${\displaystyle xz}$
${\displaystyle B_{2}}$	1	−1	−1	1	${\displaystyle R_{x},y}$	${\displaystyle yz}$

ここで、最初の行はこの点群の可能な対称操作を記述し、最初の列はマリケン記号を表します。5列目と6列目は軸変数の関数です。

機能:

• ${\displaystyle x}$、並進運動と IR 活性バンドに関連しています。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle R_{x}}$、およびそれぞれの軸の周りの回転に関連しています。 ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle R_{z}}$
• 二次関数( 、、、、、、、、など)は、ラマン活性バンドに関連しています。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle zx}$

表現の指標を決定する際には、それが変化しないか、移動したか、そして方向が反転したかを割り当てます。簡約表現の指標を決定する簡単な方法は、対称操作を実行する際に、3つの軸（）のそれぞれに沿って、「移動していない原子の数」と「原子あたりの寄与」を乗じることです。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$ ${\displaystyle x,y,z}$

特に明記しない限り、恒等操作 の場合、各原子の「シフトされていない原子あたりの寄与」は常に です。これは、この操作中、どの原子も位置を変えないからです。任意の反射対称操作 の場合、「原子あたりの寄与」は常に です。これは、任意の反射の場合と同様に、原子は2つの軸に沿って変化せず、もう1つの軸に沿って方向を反転するからです。逆対称操作 の場合、「シフトされていない原子あたりの寄与」は常に です。これは、この操作中、原子の3つの軸のそれぞれが方向を反転するからです。および対称操作の「シフトされていない原子あたりの寄与」を計算する簡単な方法は、以下の式を使用することです^[8]。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle C_{n}=2\cos \theta +1}$

${\displaystyle S_{n}=2\cos \theta -1}$

どこ、 ${\displaystyle \theta ={\frac {360}{n}}}$

上記の記述を簡略化したものを以下の表にまとめます。

手術	貢献 シフトされていない原子あたり
${\displaystyle E}$	3
${\displaystyle C_{2}}$	−1
${\displaystyle C_{3}}$	0
${\displaystyle C_{4}}$	1
${\displaystyle C_{6}}$	2
${\displaystyle \sigma _{xy/yz/zx}}$	1
${\displaystyle i}$	−3
${\displaystyle S_{3}}$	−2
${\displaystyle S_{4}}$	−1
${\displaystyle S_{6}}$	0

任意の対称操作の の特性この操作中にシフトされていない原子の数3つの軸のそれぞれに沿ったシフトされていない原子あたりの寄与 ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \times }$

文字を見つける ${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$

${\displaystyle C_{2v}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v(xz)}}$	${\displaystyle \sigma '_{v(yz)}}$
シフトされていない原子の数	3	1	3	1
シフトされていない原子あたりの寄与	3	−1	1	1
${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$	9	−1	3	1

既約表現Γの計算_{還元不可能な}Γの可約表現から_還元可能キャラクターテーブルと一緒に

以上の議論から、水分子（点群）の新しい特性表は次のように書ける。 ${\displaystyle C_{2v}}$

分子の新しい文字テーブルを含む ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$

	${\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v(xz)}}$	${\displaystyle \sigma '_{v(yz)}}$
${\displaystyle A_{1}}$	1	1	1	1
${\displaystyle A_{2}}$	1	1	−1	−1
${\displaystyle B_{1}}$	1	−1	1	−1
${\displaystyle B_{2}}$	1	−1	−1	1
${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$	9	−1	3	1

を含む新しい特性表を使用すると、分子のすべての運動に対する簡約表現は以下の式で簡約できる。 ${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$ ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$

${\displaystyle N={\frac {1}{h}}\sum _{x}(X_{i}^{x}\times X_{r}^{x}\times n^{x})}$

どこ、

${\displaystyle h=}$グループの順序、

${\displaystyle X_{i}^{x}=}$特定のクラスの文字、 ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$

${\displaystyle X_{r}^{x}=}$特定のクラスの簡約表現から文字を取り出す。

${\displaystyle n^{x}=}$クラス内の操作の数

それで、

${\displaystyle N_{A_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times 1\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times 1\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{A_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1+((-1)\times 1\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=1}$

${\displaystyle N_{B_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{B_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times 1\times 1)]=2}$

したがって、水分子のすべての運動の簡約表現は次のようになる。

${\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}}=3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}}$

水分子の並進運動

並進運動は、文字表の簡約表現に対応し、関数は、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

分子の場合 ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$

${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle z}$
${\displaystyle A_{2}}$
${\displaystyle B_{1}}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle B_{2}}$	${\displaystyle y}$

、および関数に対応するの は、簡約表現、およびのみであるため、 ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{translational}}=A_{1}+B_{1}+B_{2}}$

水分子の回転運動

回転運動は、、関数を持つ文字表の簡約表現に対応する。 ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle R_{z}}$

分子の場合 ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$

${\displaystyle A_{1}}$
${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle R_{z}}$
${\displaystyle B_{1}}$	${\displaystyle R_{y}}$
${\displaystyle B_{2}}$	${\displaystyle R_{x}}$

、および関数に対応するの は、簡約表現、およびのみであるため、 ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{rotational}}=A_{2}+B_{1}+B_{2}}$

水分子の全振動モード

全振動モード、 ${\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}=\Gamma _{\text{irreducible}}-\Gamma _{\text{translational}}-\Gamma _{\text{rotational}}}$

${\displaystyle =(3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2})-(A_{1}+B_{1}+B_{2})-(A_{2}+B_{1}+B_{2})}$

${\displaystyle =2A_{1}+B_{1}}$

したがって、水分子には全振動モードが可能であり、そのうちの2つは対称振動モード（ ）であり、もう1つの振動モードは反対称振動モード（） である。 ${\displaystyle 2+1=3}$ ${\displaystyle 2A_{1}}$ ${\displaystyle 1B_{1}}$

水分子がIR活性かラマン活性かを確認する

特定のモードに対して IR アクティブまたはラマン アクティブになるには、いくつかのルールがあります。

• 、または任意の既約表現がある場合、モードはIRアクティブである。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• 、、、、、、、または任意の既約表現のような二次関数がある場合、モードはラマン活性である。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle xz}$
• いかなる既約表現に対しても、、または二次関数が存在しない場合 、モードはIR活性でもラマン活性でもない。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

水分子の振動モードには、、または、および二次関数の両方が含まれているため、IR 活性振動モードとラマン活性振動モードの両方があります。 ${\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

同様の規則が他の既約表現にも適用される。 ${\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}},\Gamma _{\text{translational}},\Gamma _{\text{rotational}}}$

特性表を用いてエチレン分子の振動モードを見つける

エチレンはD2h点群に属し、第一列に8つのマリケン記号があります。さらに、エチレン分子は6つの原子を含み、それぞれがx軸、y軸、z軸を持ちます。つまり、分子は合計18の軸を持ちます。

分子の振動モードについては、既約表現 Γ _irreducibleを計算する必要がある。また、既約表現は既約表現と関連している。

ここで、表現計算を計算する別の方法を示します。 x、y、z 軸の変化を見つける必要があります。原子が操作後に場所を変更した場合、 Γ_還元可能への寄与はありません。原子が操作後に同じ場所を維持している場合は、軸を確認します。軸が同じ方向を維持している場合、 Γ_還元可能への寄与は 1 です。軸が反対方向に反転した場合、 Γ_還元可能への寄与は -1 です。軸が特定の角度θで回転する場合、寄与は cos θです。すべての原子のすべての軸を計算した後、この操作の還元可能な表現 Γ_還元可能の値が存在します。この場合、エチレンは、最初の行に 8 つの対称操作がある D _2h点群であり、各操作は異なる Γ_還元可能を提供します。

E: 恒等対称性。すべての原子は元の位置を維持するため、x軸、y軸、z軸はすべて同じになります。18個の軸は同じ位置を維持し、それぞれが1つの軸を可約数に寄与します。Eの可約数は18です。

C ₂ (x), C ₂ (y): 分子がx軸またはy軸に沿って回転すると、各原子は移動し、可約係数への寄与はゼロになります。C2(x)とC2(y)のΓ_{可約係数は}全体で0です。

C ₂ (z): 分子はZ軸に沿って回転し、同じ位置に残るのは2つの炭素原子のみである。各炭素原子のX軸とY軸はそれぞれ反対の方向へ反転するが、Z軸は同じ方向を維持し、各原子に負の1を付与する。全体のΓは_-2である。

i: 分子は中心を通る逆行列である。すべての原子の位置が移動するため、i における 全体的な Γ_{可約数は0 である。}

σ(xy): 分子はxy平面を横切って反転します。σ(xy) におけるΓ_は、すべての原子の位置が移動するため、全体として 0 となります。

σ(xz): 分子はxz平面を横切って反転しますが、2つの炭素原子は同じ場所に残ります。x軸とz軸は変化せず、それぞれ1つの可約数に寄与します。しかし、y軸は反転し、-1のΓ_可約数に寄与します。したがって、各炭素は1つのΓ_可約数に寄与し、全体のΓ_可約数は2です。

σ(yz): これは他の演算とは異なります。6つの原子はすべて元の位置を維持します。y軸とz軸は変わりませんが、x軸が反転するため、各原子につき1つのΓ_{縮約可能領域が生じます。Γ縮約可能}領域の総数は6です。

エチレンの新しい特性表 ${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$

	E	C 2 (x)	C 2 (y)	C 2 (z)	私	σ(xy)	σ(xz)	σ(yz)
Γ可約	18	0	0	-2	0	0	2	6

次のステップは、既約表現に基づいて既約表現を計算することです。計算式は次のとおりです。

 ${\displaystyle N_{A_{g}}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times 1)]=3}$ ${\displaystyle N_{B_{1}g}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times (-1))]=1}$ ${\displaystyle N_{B_{2}g}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times (-1))]=2}$ ${\displaystyle N_{B_{3}g}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times 1)]=3}$

 ${\displaystyle N_{A_{u}}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times (-1))]=1}$

 ${\displaystyle N_{B_{1}u}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times 1)]=3}$

 ${\displaystyle N_{B_{2}u}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times 1)]=3}$

 ${\displaystyle N_{B_{3}u}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times (-1))]=2}$

Γ_既約= 3 A _g +1 B _1g +2 B _2g +3 B _3g +1 A _u +3 B _1u +3 B _2u +2 B _3u

並進運動は「線形関数、回転」におけるx、y、z関数を持つ。したがって、Γ _trans = 1 B _1u +1 B _2u +1 B _3u

回転運動は、「線形関数、回転」においてR _x、R _y、R _{z関数で表されます。したがって、Γ rot} = 1 B _1g +1 B _2g +1 B _3g

振動運動: Γ _vib = Γ_既約-Γ _trans -Γ _rot = 3 A _g +1 B _2g +2 B _3g +1 A _u +2 B _1u +2 B _2u +1 B _3u

最後のステップは、どの振動が赤外線またはラマン活性であるかを特定することです。つまり、対称性操作は赤外線またはラマンスペクトルを用いて検出できるということです。

まず、IRが機能するためには、「線形関数、回転」においてx、y、z関数が必須です。Γ _vibでは、2 B _1u +2 B _2u +1 B _3uのみがIR活性です。

ラマン活性であるためには、「二次関数」には x ²、 y ²、 z ²、 xy 、 xz 、 yz 、 x ² +y ²、または x ² -y ²関数が含まれていなければなりません。Γ _vibでは、 3 A _g +1 B _2g +2 B _3gのみがラマン活性です。

参照

• 既約表現 § 理論物理学と化学への応用
• 分子の対称性
• 化学的に重要な3D点群のキャラクタテーブル一覧
• GroupNamesの小グループの文字テーブル
• アイザックス、I. マーティン (1976).有限群のキャラクタ理論. ドーバー出版.
• ローランド、トッド；ワイスタイン、エリック・W.「文字表」。MathWorld。

参考文献

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5. PR BunkerとPer Jensen（1998）、分子対称性と分光法、第2版、NRCリサーチプレス、オタワISBN 9780660196282[1]
6. GL MiesslerとDA Tarr著『無機化学』第2版、ピアソン、プレンティス・ホール、1998年ISBN 0-13-841891-8、第4章。
7. Reimers, JR; Watts, RO (1984-06-10). 「水分子の局所モードポテンシャル関数」 .分子物理学. 52 (2): 357– 381. doi :10.1080/00268978400101271. ISSN  0026-8976.
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