特性多項式

Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix

線型代数において、正方行列の特性多項式は行列の相似性に関して不変であり、固有値を根として持つ多項式である。特性多項式は係数として行列の行列式と跡を持つ。有限次元ベクトル空間の自己準同型写像の特性多項式は、任意の基底上のその自己準同型写像の行列の特性多項式である（つまり、特性多項式は基底の選択に依存しない）。特性方程式は行列式方程式とも呼ばれ、^{[1] [2] [3]}特性多項式をゼロとすることで得られる方程式である。

スペクトルグラフ理論では、グラフの特性多項式はその隣接行列の特性多項式である。^[4]

モチベーション

固有値と固有ベクトルは線形代数において基本的な役割を果たします。線形変換が与えられた場合、固有ベクトルは変換によって方向が変化しないベクトルであり、対応する固有値はベクトルの大きさの変化の尺度となるからです。

もっと正確に言えば、変換が正方行列で表されると仮定します。この場合、固有ベクトルとそれに対応する固有値は、次式を満たす必要があります。または、( であるため ) は単位行列で あり、(零ベクトルは任意の に対してこの式を満たしますが、固有ベクトルとはみなされません)。 ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} =\lambda I\mathbf {v} }$ $${\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

したがって、行列は特異行列でなければならず、その行列式はゼロでなければなりません。 ${\displaystyle (\lambda I-A)}$ $${\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}$$

言い換えれば、Aがn × n行列であるとき、Aの固有値は、 xのn次単項多項式の根 である。この多項式はAの特性多項式である。 $${\displaystyle \det(xI-A),}$$

正式な定義

行列を考える。の特性多項式はで表され^、[5]で定義される多項式である。ここで は単位行列を表す。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle p_{A}(t),}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

ある著者は特性多項式を と定義します。この多項式はここで定義されたものとは符号によって異なるため、 の固有値を根として持つなどの特性には違いはありません。ただし、上記の定義では常にモニック多項式が得られますが、代わりの定義では が偶数の場合にのみモニックになります。 ${\displaystyle \det(A-tI).}$ ${\displaystyle (-1)^{n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

例

行列の特性多項式を計算するには、次の行列式を計算する。そして、次の特性多項式 であることが分かる。 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$ ${\displaystyle A.}$

もう一つの例として、双曲角φの双曲関数を用いる。行列をとれば、その特性多項式は $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$$

プロパティ

行列の固有多項式は単項式（その主係数は）であり、その次数は である。固有多項式に関する最も重要な事実は、動機付けの段落ですでに述べたとおりである。 の固有値はの根とまったく同じである（これはの最小多項式にも当てはまるが、その次数は より小さい可能性がある）。 固有多項式のすべての係数は、行列の要素における多項式式である。 特に、 の定数係数はであり、の係数は1 であり、 の係数はtr(− A ) = −tr( A )である（ここでtr( A )はのトレースである）。 （ここで与えられた符号は、前の節で与えられた正式な定義に対応している。別の定義では、これらはそれぞれ および( −1) ^{n – 1} tr( A )となる。^[6]） ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t^{0}}$ ${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \det(A)}$

行列の特性多項式は次のように表される。 ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

外積代数の言語を使用すると、行列の特性多項式は次のように表現できます。 ここで、 は次元を持つの番目の外積のトレースです。このトレースは、サイズのすべての主小行列式の和として計算できます。再帰的なFaddeev–LeVerrier アルゴリズムでは、これらの係数をより効率的に計算します^{[説明が必要]}。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}$$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k.}$

係数のフィールドの特性が各トレースを単一の行列式として計算できる場合、行列の行列式は、 ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle k\times k}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

ケーリー・ハミルトン定理は、特性多項式においてを で置き換えると（結果として得られるべき乗を行列のべき乗、定数項を単位行列の積と解釈する）、零行列が得られることを述べています。非公式に言えば、すべての行列はそれ自身の特性方程式を満たします。この記述は、 の最小多項式がの特性多項式を割り切るということと同じです。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

2つの相似な行列は同じ特性多項式を持ちます。しかし、その逆は一般には成り立ちません。つまり、同じ特性多項式を持つ2つの行列が必ずしも相似であるとは限りません。

行列とその転置行列は同じ特性多項式を持つ。が三角行列に相似となるのは、その特性多項式が 上の線形因子に完全に因数分解できる場合のみである（特性多項式の代わりに最小多項式を用いても同様である）。この場合、はジョルダン標準形の行列に相似となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

2つの行列の積の特性多項式

と が2つの正方行列である場合、との特性多項式は一致する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$ $${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

証明： が代数的重複度 のの非ゼロの一般化固有値であり、が の核に属する場合、は の核に属するので、との非ゼロの一般化固有空間は同じ次元を持ちます。したがって、と はどちらも であるため、固有値 0 を持つ残りの一般化固有空間は同じ次元を持ちます。したがって、と は同じ特性多項式を持ちます。なぜなら、すべての一般化固有値は同じであり、代数的重複度も同じだからです。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (BA-\lambda )^{k}}$ ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle (AB-\lambda )^{k}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

より一般的には、が の位数行列でが の位数行列であれば は行列であり、は行列であり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m,}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$$

これを証明するには、必要であれば、とを交換することで仮定できる。そして、下端をゼロの行で囲み、右端をゼロの列で囲むことで、2つの行列とが得られる。これらの行列は、ゼロの行と列で囲まれた行列とに等しい。結果は、正方行列の場合、との特性多項式を比較することで得られる。 ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB.}$

特性多項式あ^け

が固有ベクトルを持つ正方行列の固有値である場合、は の固有値である。なぜなら ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ ${\displaystyle A^{k}}$ $${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

重複度も同様に一致することが示されており、これは の代わりに任意の多項式に一般化される: ^[7] ${\displaystyle x^{k}}$

定理—を正方行列とし、を多項式とする。の特性多項式が因数分解できる 場合、行列の特性多項式は次のように与えられる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$$ ${\displaystyle f(A)}$ $${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}$$

つまり、における の代数的重複度は、におけるの代数的重複度の和に等しく、特に 、であり、ここで、例えば 多項式は、行列上で次のように単純に評価される。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$ ${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}$

この定理は任意の体や可換環上の行列や多項式に適用されます。^[8]しかし、行列が複素数などの代数的に閉じた体上にない限り、線形因数分解を持つ という仮定は常に正しいとは限りません。 ${\displaystyle p_{A}(t)}$

証拠

この証明は、複素数（または任意の代数閉体）上の行列および多項式にのみ適用されます。その場合、任意の正方行列の特性多項式は常に のように因数分解できます 。ここでは、重複可能なの固有値です。さらに、ジョルダン分解定理は、任意の正方行列が のように分解できることを保証します。ここで は可逆行列であり、対角線上に を持つ上三角行列です（各固有値は、その代数的重複度に応じて重複します）。（ジョルダン正規形にはより強い性質がありますが、これで十分です。代わりに、あまり一般的ではありませんが、証明がやや簡単なシュール分解を使用することもできます。） $${\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)}$$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=S^{-1}US,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

とします 。すると 、の対角線を持つ 上三角行列の場合、はの対角線を持つ上三角行列であり 、したがって は対角線を持つ上三角行列です。したがって、の 固有値はです。 はに類似している ため、 は同じ固有値を持ち、同じ代数的重複度を持ちます。 ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$ $${\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},}$ ${\displaystyle U^{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}$ ${\displaystyle U^{i},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}$ ${\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}$ ${\displaystyle f(U),}$

永年関数と永年方程式

世俗的な機能

「永年関数」という用語は、現在では特性多項式と呼ばれるものを指すために使われてきました（一部の文献では、依然として「永年関数」という用語が使用されています）。この用語は、特性多項式がラグランジュの振動理論に基づく惑星軌道の永年摂動（1世紀の時間スケール、つまり年周運動に比べて遅い）を計算するために使われていたことに由来しています。

世俗方程式

永年方程式にはいくつかの意味がある場合があります。

• 線形代数学では特性方程式の代わりに使用されることもあります。
• 天文学では、短い周期の不等式を考慮した後に残る惑星の運動の不等式の大きさを代数的または数値的に表現したものです。^[9]

• 電子のエネルギーとその波動関数に関連する分子軌道計算では、特性方程式の代わりに使用されます。

一般結合代数の場合

体上の要素を持つ行列の特性多項式の上記の定義は、が単なる可換環である場合にも、何ら変更を加えることなく一般化されます。Garibaldi (2004) は、体上の任意の有限次元（結合的だが必ずしも可換ではない）代数の元の特性多項式を定義し、この一般性において特性多項式の標準的な性質を証明しています。 ${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

参照

• 特性方程式（曖昧さ回避）
• テンソルの不変量
• コンパニオンマトリックス
• ファデーエフ・ルヴェリエアルゴリズム
• ケーリー・ハミルトン定理
• サミュエルソン・バーコウィッツアルゴリズム

参考文献

1. エルンスト、ギルミン(1953)。回路理論入門。ワイリー。 366、541ページ。ISBN 0471330663。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
2. Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (1952年1月). 「線形方程式系の条件を改善するためのガウス変換の拡張」(PDF) .計算数学. 6 (37): 18– 34. doi : 10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 . 2020年10月3日閲覧。
3. フランク、エブリン (1946). 「複素係数を持つ多項式の零点について」(PDF) .アメリカ数学会報. 52 (2): 144– 157. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 .
4. 「グラフの特性多項式 – Wolfram MathWorld」 。 2011年8月26日閲覧。
5. スティーブン・ローマン (1992). 上級線形代数（第2版）. シュプリンガー. p. 137. ISBN 3540978372。
6. この講義ノートの定理4
7. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (第2版). Cambridge University Press . pp. 108–109, Section 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6。
8. ラング、セルジュ (1993).代数学. ニューヨーク: シュプリンガー. p.567, 定理3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC  852792828。
9. 「secular equation」 . 2010年1月21日閲覧。

• TS Blyth & EF Robertson (1998) Basic Linear Algebra、p 149、Springer ISBN 3-540-76122-5。
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra第 2 版、p 246、Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8。
• ガリバルディ、スキップ（2004）「特性多項式と行列式はアドホックな構成ではない」アメリカ数学月刊誌、111（9）：761-778、arXiv：math/0203276、doi：10.2307/4145188、JSTOR  4145188、MR  2104048
• ヴェルナー・グルーブ (1974)線形代数第4版、pp 120–5、シュプリンガー、ISBN 0-387-90110-8。
• ポール・C・シールド（1980）『初等線形代数』第3版、p 274、ワース出版社 ISBN 0-87901-121-1。
• ギルバート・ストラング（1988）『線形代数とその応用』第3版、p 246、ブルックス/コール ISBN 0-15-551005-3。

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