無次元化

無次元化とは、物理量を含む方程式から、適切な変数の置換によって物理的な次元を部分的または完全に削除することです。^[1]この手法は、測定単位が関係する問題を簡素化し、パラメータ化することができます。これは次元解析と密接に関連しています。一部の物理システムでは、スケーリングという用語は無次元化と互換的に使用され、特定の量は適切な単位を基準にして測定する方がよいことを示唆しています。これらの単位は、 SI単位などの単位ではなく、システムに固有の量を指します。無次元化は、方程式内の示量量を示量に変換することとは異なります。後者の手順では、変数に依然として単位が残るためです

無次元化によって、システムの特性を復元することもできます。たとえば、システムに固有の共振周波数、長さ、または時定数がある場合、無次元化によってこれらの値を復元できます。この手法は、微分方程式で記述できるシステムに特に有効です。重要な用途の1つは、制御システムの解析です。最も単純な特性単位の1つは、指数関数的に増加するシステムの倍加時間、または逆に指数関数的に減少するシステムの半減期です。より自然な特性単位のペアは、平均年齢/平均寿命で、これは底2ではなく底eに対応します。

無次元化の多くの具体例は、微分方程式の簡略化に由来します。これは、多くの物理的問題が微分方程式で定式化できるためです。次の例を考えてみましょう。

無次元化はこれらの問題に適していますが、これらに限定されるわけではありません。微分方程式以外の分野への応用例としては次元解析があり、統計学における正規化もその一つです。

計測機器は、日常生活で見られる無次元化の実例です。計測機器は、ある既知の単位を基準として校正されます。その後の測定は、この基準を基準として行われます。そして、測定値の絶対値は、基準を基準としてスケーリングすることで復元されます。

根拠

振り子が特定の周期 Tで振動していると仮定します。このようなシステムでは、 Tに対する振動に関する計算を実行することが有利です。ある意味では、これは周期に関して測定値を正規化することです

システムの固有特性を基準として行われた測定は、同じ固有特性を持つ他のシステムにも適用されます。また、同じシステムの異なる実装における共通特性を比較することも可能になります。無次元化は、システムの固有特性に関する事前知識に大きく依存することなく、システムの特性単位を体系的に決定します（システムの特性単位と自然界の単位を混同しないでください）。実際、無次元化は、システムの解析に使用すべきパラメータを示唆することができます。しかし、システムを適切に記述する方程式から始める必要があります。

無次元化の手順

連立方程式を無次元化するには、次の手順を実行する必要があります

すべての独立変数と従属変数を特定します。
それらをそれぞれ、決定する特性測定単位に相対的にスケーリングされた量に置き換えます。
最高次の多項式または微分項の係数で割ります。
できるだけ多くの項の係数が 1 になるように、各変数の特性単位の定義を慎重に選択します。
新しい無次元量を使って方程式系を書き直してください。

最後の3つのステップは通常、無次元化が適用される問題に特有のものです。ただし、ほとんどすべてのシステムでは最初の2つのステップを実行する必要があります。

表記規則

「 x」と「t 」の代わりに使用する変数名に制限はありません。ただし、一般的には、問題に即して使いやすく直感的にわかるように選択されます。例えば、「x 」が質量を表す場合、「 m 」という文字は無次元の質量を表す適切な記号となるかもしれません

この記事では、次の表記法が使用されています。

t – は独立変数（通常は時間量）を表します。無次元化されたものはです。 $\tau$
xは従属変数を表し、質量、電圧、あるいは測定可能な任意の量です。無次元化されたものはです。 $\chi$

量の変数名に添え字「c」を付けることによって、その量をスケールする特性単位を表します。例えば、x が量である場合、x _cはそれをスケールする特性単位です。

説明例として、定数係数を持つ1階微分方程式を考えます。 $a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).$

この方程式では、独立変数はt、従属変数はxです。
を設定する。この式は次のようになる。 $x=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}}$ $a{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).$
最高次項の係数は1次微分項の前にあります。これを割ると ${\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{\text{c}}}{a}}\chi ={\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).$
の前の係数には特性変数t _{c が}1 つだけ含まれているため、最初にこれを 1 に設定するのが最も簡単です。 $\chi$

{\frac {bt_{\text{c}}}{a}}=1\Rightarrow t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}.

1

その後、

{\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{bx_{\text{c}}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.

2

この場合の最終的な無次元方程式は、単位を持つパラメータから完全に独立します ${\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$

代入

単純化のために、あるシステムが2つの変数、つまり従属変数xと独立変数tによって特徴付けられると仮定します。ここで、 xはtの関数です。xとt はどちらも単位を持つ量を表します。これらの2つの変数をスケーリングするには、それぞれxとtと同じ単位を持つ2つの固有の測定単位x _cとt _cがあると仮定し、以下の条件が成り立ちます $\tau ={\frac {t}{t_{\text{c}}}}\Rightarrow t=\tau t_{\text{c}}$ $\chi ={\frac {x}{x_{\text{c}}}}\Rightarrow x=\chi x_{\text{c}}.$

これらの式は、無次元化の際にxとtを置き換えるために使用されます。元のシステムを記述するために微分演算子が必要な場合は、スケールされた対応するものは無次元微分演算子になります。

微分作用素

関係式を考えてみましょう $t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.$

独立変数に関する無次元微分作用素は ${\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.$

強制関数

システムに強制関数がある場合 $f(t)$ $f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).$

したがって、新しい強制関数は無次元量に依存するようになります。 $F$ $\tau$

定数係数の線形微分方程式

一次システム

一次システムの微分方程式を考えてみましょう。 $a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).$

このシステムにおける式1と式2の特性単位の導出は、次のとおりです $t_{\text{c}}={\frac {a}{b}},\ x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.$

二次システム

二次システムは次の形式をとる $a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).$

置換ステップ

変数xとtをスケールされた値に置き換えます。式は次のようになります。

$a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).$

この新しい方程式は、係数において単位を持つ変数がすべて独立しているにもかかわらず、無次元ではありません。最高位の項の係数で割ると、方程式は次のようになります。

${\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).$

ここで、係数が正規化されるようにx _cとt _cの値を決定する必要があります。自由パラメータが2つあるため、最大で2つの係数のみが1になります。

特性単位の決定

変数t _cを考えてみましょう。

一次項が正規化されている場合。 $t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}$
ゼロ次項が正規化されている場合。 $t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}$

どちらの置換も有効です。しかし、教育上の理由から、2次系では後者の置換が用いられます。この置換を選択すると、強制関数の係数を正規化することでx _{cを決定できます。} $1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.$

微分方程式は ${\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$

一次項の係数は単位なしです。定義します。 $2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.$

係数2は、解をζでパラメータ化するために存在します。機械システムや電気システムの文脈では、ζは減衰比として知られており、制御システムの解析に必要な重要なパラメータです。ζ2はシステムの線幅とも呼ばれます。この定義の結果は、普遍振動子方程式です。 ${\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$

高階システム

定数係数を持つ一般的なn階線形微分方程式は次の形をとります $a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}x(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}x(t)+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}x(t)+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\big (}{\frac {d}{dt}}{\big )}^{k}x(t)=Af(t).$

関数f ( t ) は強制関数として知られています。

微分方程式が実数（複素数ではない）の係数のみを含む場合、そのようなシステムの特性は、1次と2次のシステムのみの混合として振る舞います。これは、その特性多項式の根が実数または複素共役対のいずれかであるためです。したがって、1次と2次のシステムに無次元化がどのように適用されるかを理解することで、重ね合わせを通して高次のシステムの特性を決定できます。

系の無次元化形式における自由パラメータの数は、その次数とともに増加する。このため、高階微分方程式では無次元化はほとんど用いられない。記号計算の出現により、この手順の必要性も減少した。

特性単位の回復の例

様々なシステムは、一次または二次システムとして近似できます。これには、機械システム、電気システム、流体システム、熱システム、ねじりシステムなどが含まれます。これは、これらの各例に含まれる基本的な物理量が、一次および二次の微分によって関連付けられているためです。

機械的振動

バネとダンパーに質量が接続され、さらにバネとダンパーが壁に接続されており、同じ線に沿って質量に力が作用しているとします。定義

$x$ = 平衡からの変位 [m]
$t$ = 時間[秒]
$f$ = 系に作用する外力または「擾乱」 [kg⋅m⋅s ⁻² ]
$m$ = ブロックの質量 [kg]
$B$ =ダッシュポットの減衰定数[kg⋅s ⁻¹ ]
$k$ = バネの力定数 [kg⋅s ⁻² ]

加えられた力が正弦波F = F ₀ cos( ωt )であるとすると、ブロックの運動を記述する微分方程式は次のようになる。 $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)$

§ 2次システムで説明したのと同じ方法でこの方程式を無次元化すると、システムのいくつかの特性が得られます。

固有単位x _cは、ブロックが単位力あたりに移動する距離に対応する。

$x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.$

特性変数t _cは振動の周期に等しい

$t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}$

無次元変数 2 ζ はシステムの線幅に対応します。

$2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}$

ζ自体は減衰比である

電気振動

一次直列RC回路

置換された電圧源に接続された直列RCの場合 $R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )$ $Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}=RC,\ F=V.$

最初の特性単位は回路内の総電荷に対応し、2番目の特性単位はシステムの時定数に対応します。

2次直列RLC回路

R、C、L成分の直列構成の場合、Qは置換されたシステム内の電荷である。 $L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )$ $Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ \ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{\text{c}}\omega .$

最初の変数は回路に蓄積される最大電荷に対応します。共振周波数は特性時間の逆数で与えられます。最後の式はシステムの線幅です。Ωは正規化された強制関数周波数とみなすことができます。

量子力学

量子調和振動子

1次元の時間独立な量子調和振動子のシュレーディンガー方程式は $\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).$

波動関数 $| ψ (x)| 2$ の係数の平方は確率密度を表し、これを $x$ について積分すると無次元確率となる。したがって、 $| ψ (x)| 2$ は長さの逆数の単位を持つ。これを無次元化するには、無次元変数の関数として書き直す必要がある。そのためには、を代入する。ここで、 $x$ $c は$ この系の特性長さである。これにより、次式で定義される無次元波動関数が得られる。 ${\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},$ ${\tilde {\psi }}$ $\psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).$

すると微分方程式は次のようになる。 $\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).$

の前の項を無次元にするには、 ${\tilde {x}}^{2}$ ${\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.$

完全に無次元化された方程式は、定義した式である。の前の項は、実際には（偶然にも）調和振動子の基底状態エネルギーである。通常、量子状態のエネルギーを決定することに関心があるため、エネルギー項は無次元化されない。最初の方程式を整理すると、調和振動子のよく知られた方程式は次のようになる。 $\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),$ $E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.$ ${\tilde {E}}$ ${\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).$

統計的類似

統計学では、類似のプロセスとして、通常、差（距離）をスケール係数（統計的分散の尺度）で割り、無次元数を生成します。これを正規化と呼びます。最も一般的な方法は、誤差または残差をそれぞれ標準偏差または標本標準偏差で割り、標準得点とスチューデント化残差を生成することです

参照

参考文献

^ Holmes, Mark H. (2009). Introduction to the Foundations of Applied Mathematics. Springer. pp. 25– 33. ISBN 978-0-387-87749-5。

外部リンク

生物学における微分方程式モデルの分析：クローバー分裂組織集団のケーススタディ（生物学の問題への無次元化の応用）。
数学モデリングと産業数学のコースノート、 Jonathan Evans、バース大学数学科学科。(第 3 章を参照)。
微分方程式のスケーリングHans Petter Langtangen、Geir K. Pedersen、オスロ大学、Simula 研究研究所、情報学部、バイオメディカルコンピューティングセンター。

[1] Holmes, Mark H. (2009). Introduction to the Foundations of Applied Mathematics. Springer. pp. 25– 33. ISBN 978-0-387-87749-5。