Common logarithm

Mathematical function

A graph of the common logarithm of numbers from 0.1 to 100

数学において、常用対数（または「標準対数」）は、底が10の対数です^。[1]十進対数、十進対数、ブリッグス対数とも呼ばれます。「ブリッグス対数」という名称は、「常用対数」の値を考案・発展させたイギリスの数学者ヘンリー・ブリッグスにちなんで名付けられました。歴史的には、「常用対数」はラテン語でlogarithmus decimalis ^[2]またはlogarithmus decadis ^[3]として知られていました。

常用対数を用いる数学的記法はlog( x )、^[4]、 _log10 ( x )、 [ ^5]、または大文字のLを用いたLog( x )です。^[a]電卓では「log」と表示されますが、^[6]数学者は「log」と書く場合、常用対数ではなく自然対数（底e ≈ 2.71828の対数）を意味するのが一般的です。これは、常用対数という名前が示すものとは反対に、純粋数学において最も一般的に用いられる対数であるためです。^[7]

常用対数表のページです。このページでは、1000から1509までの数値の対数を小数点以下5桁まで示しています。完全な表は9999までの値をカバーしています

1970年代初頭以前は、携帯型の電子計算機は入手できず、掛け算ができる機械式計算機は大きく、高価で、広く入手できるものではありませんでした。代わりに、10を底とする対数表は、計算尺では達成できないほどの精度が求められる科学、工学、航海術の分野で使用されました。掛け算と割り算を加算と減算に変えることで、対数の使用は、面倒で間違いやすい紙と鉛筆による掛け算と割り算を回避しました。^[1]対数は非常に便利だったため、 10を底とする対数表は多くの教科書の付録に掲載されていました。数学と航海のハンドブックには、三角関数の対数表も含まれていました。^[8]このような表の歴史については、対数表を参照してください

計算尺の目盛りには、対数の差に比例した距離で数字が配置されています。下の目盛りの1から2までの距離と上の目盛りの1から3までの距離を機械的に加算することで、 2  ×  3 = 6であることがすぐにわかります。

仮数と特性

10を底とする対数の重要な特性は、10のべき乗だけ異なる1より大きい数の対数はすべて同じ小数部を持つということです。小数部は仮数と呼ばれます。^[b]したがって、対数表には小数部のみを示しておけば十分です。常用対数表では通常、1000から9999などの範囲の各数値の仮数を、小数点以下4桁または5桁以上でリストしていました

特性と呼ばれる整数部は、小数点を最初の有効数字のすぐ右に移動させる必要がある桁数を数えるだけで計算できます。例えば、120の対数は次の計算で求められます

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

最後の数値（0.07918）は、120の常用対数の小数部または仮数部であり、示されている表にあります。120の小数点の位置から、120の常用対数の整数部、つまり特性が2であることがわかります。

負の対数

1未満の正の数は負の対数を持ちます。例えば、

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

正と負の対数を元の数値に戻すために別々の表を使用する必要がないように、負の対数は負の整数特性と正の仮数部として表すことができます。これを容易にするために、バー表記と呼ばれる特別な表記法が使用されます

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}$

特性値の上のバーは、それが負であることを示し、仮数は正のままです。バー記法で数値を声に出して読む場合、記号は「バーn」と読み上げられるため、「バー2点07918…」と読みます。別の慣例としては、10を法とする対数を表す方法があります。この場合、 ${\displaystyle {\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,}$

計算結果の実際の値は、結果の妥当な範囲に関する知識によって決定されます。^[c]

次の例では、バー記法を使用して0.012 × 0.85 = 0.0102を計算します。

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* この手順により、仮数は0と1の間になり、その逆対数（10の^仮数）を調べることができます。

次の表は、同じ仮数を10の累乗で異なる数値の範囲にどのように使用できるかを示しています。

常用対数、特性、および10の累乗×数値の仮数

数値	対数	特性	仮数	複合形式
n = 5 × 10 i	log 10 ( n )	i = floor(log 10 ( n ))	log 10 ( n ) − i
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1 .698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

仮数は5  ×  10 ⁱのすべてに共通であることに注意してください。これは任意の正の実数 に当てはまりますなぜなら ${\displaystyle x\times 10^{i}}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

iは定数なので、仮数は から得られ、は与えられた に対して定数です。これにより、対数表には仮数ごとに1つのエントリのみを含めることができます。5  ×  10 ⁱの例では、0.698 970 (004 336 018 ...) は5（または0.5、500など）でインデックス付けされるとリストされます。 ${\displaystyle \log _{10}(x)}$ ${\displaystyle x}$

歴史

常用対数は、17世紀のイギリスの数学者ヘンリー・ブリッグスにちなんで「ブリッグス対数」と呼ばれることもあります。1616年と1617年に、ブリッグスはエディンバラでジョン・ネイピア（現在では自然対数（eを底とする）と呼ばれている対数）を発明し、ネイピアの対数の変更を提案しました。これらの会議で、ブリッグスが提案した変更が承認され、2度目の訪問から戻った後、彼は対数の 最初の千里積を発表しました

10を底とする対数は計算に最も便利だったため、技術者はlog ₁₀ ( x )を意味する場合、一般的に単に「 log( x ) 」と書きました。一方、数学者は自然対数のlog _e ( x )を意味する場合、 「 log( x ) 」と書きました。今日では、両方の表記法が見られます。携帯型電子計算機は数学者ではなく技術者によって設計されているため、技術者の表記法に従うのが慣例となりました。そのため、自然対数を表す場合に「ln( x )」と書く表記法は、「常用対数」の使用をはるかに一般的でなくなった電子計算機の発明によってさらに普及した可能性があります

曖昧さを軽減するために、ISO 80000仕様では、 log _e ( x )はln ( x )と表記し、log ₁₀ ( x )はlg ( x )と表記することを推奨していますが、残念ながらCLRS、Sedgwick、およびThe Chicago Manual of Styleでは、底2の対数にこの表記が使用されています。^{[10] [11] [12]}

数値

一般的な科学計算機の対数キー（底10の場合はlog 、底eの場合はln）。携帯型計算機の登場により、計算の補助として常用対数を使用することはほぼなくなりました。

底10の対数の数値は、次の恒等式で計算できます。^[5]

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ または または ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$ ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

任意の利用可能な底の対数を使用して ${\displaystyle \,B~.}$

底eの対数（自然対数 § 効率的な計算を参照）と底2の対数（二元対数を計算するアルゴリズムを参照）の数値を決定する手順が存在します。

微分

底bの対数の微分は^[13]のようになります。

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$したがって。 ${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}}$

参照

• 二進対数
• 共線対数
• デシベル
• 対数目盛り
• ネイピア対数
• 仮数部（一般に仮数とも呼ばれる）

注記

1. 表記Logは曖昧です。これは、複素自然対数多値関数を意味する場合もあります
2. 仮数という語のこの用法は、古くからある非数値的な意味、つまり、例えばテキストへの小さな追加や補足に由来しています。^{[要出典]この語は}ヘンリー・ブリッグスによって導入されました。^{[9] 「仮数」という言葉は、}浮動小数点数の有効桁を表す部分を表すためによく使用されますが、 IEEE 754では「仮数部」という用語が使用されており、対数仮数との混同を避けるためにこちらの方が好まれる場合があります
3. 例えば、Bessel, FW (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen". Astronomische Nachrichten . 331 (8): 852– 861. arXiv : 0908.1823 . Bibcode :1825AN......4..241B. doi :10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.は（第8節の冒頭） 、 を示しています。文脈から、 は地球楕円体の短半径（トイズ単位）（大きな数）、 は地球楕円体の離心率（小さな数）であることが理解されます。 ${\displaystyle \log b=6.51335464}$ ${\displaystyle \log e=8.9054355}$ ${\displaystyle b=10^{6.51335464}}$ ${\displaystyle e=10^{8.9054355-10}}$

参考文献

1. ホール、アーサー・グラハム；フリンク、フレッド・グッドリッチ（1909年）「第4章 対数 [23] 常用対数」三角法。第1巻 平面三角法。ニューヨーク：ヘンリー・ホルト・アンド・カンパニー。31ページ。
2. オイラー、レオンハルト（1748年）「第22章 非零問題の解法と関連円」有限分析入門（第2部）（ラテン語）。ローザンヌ：マーカム＝マイケル・ブスケ。304ページ
3. Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (in Latin). Vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. p. 198.
4. 「対数入門」. www.mathsisfun.com . 2020年8月29日閲覧.
5. Weisstein, Eric W. 「常用対数」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月29日閲覧.
6. 「電卓の使い方 - 対数と指数の法則 - 高等数学改訂版」. BBC Bitesize . BBC . 2025年7月8日閲覧
7. 「対数入門」www.mathsisfun.com 。 2025年7月8日閲覧。
8. ヘドリック、アール・レイモンド (1913). 対数表と三角関数表. ニューヨーク、アメリカ合衆国:マクミラン.
9. シュワルツマン、スティーブン (1994年12月31日). 数学の言葉：英語の数学用語の語源辞典. アメリカ数学協会. 131ページ. ISBN 978-1-61444-501-2。
10. コーメン、トーマス・H. ;レイサーソン、チャールズ・E. ;リベスト、ロナルド・L. ;スタイン、クリフォード(2001) [1990]、『アルゴリズム入門（第2版）』、MITプレスおよびマグロウヒル、34、53～54ページ、 ISBN   0-262-03293-7
11. セジウィック、ロバート、ウェイン、ケビン・ダニエル (2011)、『アルゴリズム』、Addison-Wesley Professional、185ページ、ISBN 978-0-321-57351-3。
12. 『シカゴ・マニュアル・オブ・スタイル』（第25版）、シカゴ大学出版局、2003年、530ページ
13. 「対数関数の微分」、Math24、2021年4月14日。2020年10月1日時点のオリジナルからのアーカイブ。

参考文献

• ミルトン・アブラモウィッツ、アイリーン・アン・ステガン編 (1983) [1964年6月]. 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 . 応用数学シリーズ. 第55巻（1972年12月の第10刷に訂正を加えた第9刷）; 初版. ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省、国立標準局、ドーバー出版. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• マイケル・モーザー (2009). 『工学音響学：騒音制御入門』. シュプリンガー. 448ページ. ISBN 978-3-540-92722-8。
• ポリヤニン、アンドレイ・ドミトリエヴィチ、マンジロフ、アレクサンダー・ウラジミロヴィチ (2007) [2006-11-27]. エンジニアと科学者のための数学ハンドブック. CRC Press . p. 9. ISBN 978-1-58488-502-3。

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