電荷キャリア密度

電荷キャリア密度（キャリア濃度とも呼ばれる）は、体積あたりの電荷キャリアの数を表します。SI単位では、m ^-3で測定されます。他の密度と同様に、原理的には位置に依存します。しかし、通常、キャリア濃度は単一の数値で表され、材料全体の平均キャリア密度を表します。

電荷キャリア密度には、電気伝導率、熱伝導率などの関連現象、共有結合などの化学結合に関する方程式が関係します。

計算

キャリア密度は通常、物質内の電荷キャリアのエネルギー範囲にわたって状態密度を積分することによって理論的に得られます（たとえば、電子の場合は伝導帯にわたって積分し、正孔の場合は価電子帯にわたって積分します）。

電荷キャリアの総数が分かっている場合、キャリア密度は体積で割るだけで求められます。数学的に説明すると、電荷キャリア密度は粒子密度なので、これを体積で積分すると、その体積内の電荷キャリア数が得られます。ここで、は位置に依存する電荷キャリア密度です。 $V$ $N$ $N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.$ $n(\mathbf {r} )$

密度が位置に依存せず、定数に等しい場合、この式は次のように簡略化される。 $n_{0}$ $N=V\cdot n_{0}.$

半導体

キャリア密度は半導体にとって重要であり、化学ドーピングのプロセスにおいて重要な量です。バンド理論を用いると、電子密度は伝導帯における単位体積あたりの電子数です。正孔の場合、は価電子帯における単位体積あたりの正孔数です。電子のこの数値を計算するには、伝導帯電子の全密度は、バンドの底からバンドの頂まで、バンド内の異なるエネルギーにおける伝導電子密度の合計によって決まると考えられます。 $n_{0}$ $p_{0}$ $n_{0}$ $E_{c}$ $E_{\text{top}}$

$n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE$

電子はフェルミオンであるため、特定のエネルギーにおける伝導電子の密度は、状態密度、つまり伝導状態がいくつあり得るかと、フェルミ・ディラック分布との積で表され、フェルミ・ディラック分布は、実際に電子が存在する状態の割合を示す。 $N(E)$ $g(E)$ $f(E)$ $N(E)=g(E)f(E)$

計算を簡略化するため、フェルミ・ディラック分布に従って電子をフェルミオンとして扱う代わりに、マクスウェル・ボルツマン分布で与えられる相互作用しない古典的な気体として扱います。この近似は、の振幅がの場合にはほとんど影響しません。これは室温付近の半導体では当てはまります。この近似は、非常に低い温度や極めて小さなバンドギャップでは無効です。 $|E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T$

$f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}$

3次元の状態密度は次のとおりです。 $g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}$

これらの式を組み合わせて簡略化すると、次のようになります。

$n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}$

ここで、この特定の半導体における電子の有効質量は、伝導帯とフェルミ準位間のエネルギー差（バンドギャップの半分）です。 $m^{*}$ $E_{c}-E_{f}$ $E_{g}$

$E_{g}=2(E_{c}-E_{f})$

正孔についても同様の式を導くことができます。キャリア濃度は、電子がバンドギャップを行き来する様子を化学反応の可逆反応の平衡状態のように扱うことで計算でき、電子の質量作用則が導かれます。質量作用則は、固有キャリア濃度と呼ばれる量を定義します。これは、ドープされていない材料の場合、以下の式で表されます。 $n_{i}$

$n_{i}=n_{0}=p_{0}$

次の表には、バンドギャップの増加順に、真性半導体の真性キャリア濃度の値をいくつか示します。

材料	300Kにおけるキャリア密度（1/cm ^{3 ）}
ゲルマニウム^[1]	2.33 × 10 ¹³
シリコン^[2]	9.65 × 10 ⁹
ガリウムヒ素^[3]	2.1 × 10 ⁶
3C-SiC ^[4]	1.0 × 10 ¹
6H-SiC ^[4]	2.3 × 10 ⁻⁶
4H-SiC ^[4]	8.2 × 10 ⁻⁹
窒化ガリウム^[4]	1.9 × 10 ⁻¹⁰
ダイヤモンド^[4]	1.6 × 10 ⁻²⁷

これらの材料をドーピングすると、キャリア濃度は変化します。例えば、純粋なシリコンに少量のリンをドーピングすると、電子のキャリア密度nが増加します。すると、n > pとなるため、ドーピングされたシリコンはn型外因性半導体になります。純粋なシリコンに少量のホウ素をドーピングすると、正孔のキャリア密度が増加するため、p > nとなり、p型外因性半導体になります。

金属

キャリア密度は金属にも適用可能であり、単純なドルーデモデルから推定することができる。この場合、キャリア密度（この文脈では自由電子密度とも呼ばれる）は次のように推定できる。^[5]

$n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}$

ここで、はアボガドロ定数、Zは価電子数、は物質の密度、は原子量です。金属は複数の酸化数を示すことができるため、元素が単体で持つべき「価電子」の数の正確な定義はある程度恣意的ですが、以下の表はアシュクロフトとマーミンに示されている自由電子密度を示しています。これらの自由電子密度は、価数、、および実験結晶構造データから計算された質量密度に関する合理的な仮定に基づいて、上記の式を用いて計算されています。^[5] $N_{\text{A}}$ $\rho _{m}$ $m_{a}$ $Z$ $\rho _{m}$

材料	価電子の数	300Kにおけるキャリア密度（1/cm ^{3 ）}
銅	1	8.47 × 10 ²²
銀	1	5.86 × 10 ²²
金	1	5.90 × 10 ²²
ベリリウム	2	2.47 × 10 ²³
マグネシウム	2	8.61 × 10 ²²
カルシウム	2	4.61 × 10 ²²
ストロンチウム	2	3.55 × 10 ²²
バリウム	2	3.15 × 10 ²²
ニオブ	1	5.56 × 10 ²²
鉄	2	1.70 × 10 ²³
マンガン	2	1.65 × 10 ²³
亜鉛	2	1.32 × 10 ²³
カドミウム	2	9.27 × 10 ²²
アルミニウム	3	1.81 × 10 ²³
ガリウム	3	1.54 × 10 ²³
インジウム	3	1.15 × 10 ²³
タリウム	3	1.05 × 10 ²³
錫	4	1.48 × 10 ²³
鉛	4	1.32 × 10 ²³
ビスマス	5	1.41 × 10 ¹⁷
アンチモン	5	1.65 × 10 ²³

たとえばホール効果によって推定される金属間の n の値は、多くの場合同じ桁数になりますが、この単純なモデルではキャリア密度を非常に高い精度で予測することはできません。

測定

電荷キャリアの密度は多くの場合ホール効果^[6]を使って決定することができ、その電圧はキャリア密度に反比例する。

参考文献

^ O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz (2002). 「ゲルマニウム（Ge）の固有キャリア濃度」.第4族元素、第4-4族および第3-5族化合物。パートb – 電子的特性、輸送特性、光学的特性、その他の特性。ランドルト・ベルンシュタイン – 第3族凝縮物質。pp. 1– 3. doi :10.1007/10832182_503. ISBN 978-3-540-42876-3。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Pietro P. Altermatt, Andreas Schenk, Frank Geelhaar, Gernot Heiser (2003). 「バンドギャップ狭小化を考慮した結晶シリコンの固有キャリア密度の再評価」Journal of Applied Physics . 93 (3): 1598. Bibcode :2003JAP....93.1598A. doi :10.1063/1.1529297. hdl : 1959.4/39855 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Rössler, U. (2002). 「ガリウムヒ素（GaAs）、固有キャリア濃度、電気伝導率および熱伝導率」.第4族元素、第4-4族および第3-5族化合物。パートb – 電子的特性、輸送特性、光学的特性およびその他の特性。ランドルト・ベルンシュタイン – 第3族凝縮物質。pp. 1– 8. doi :10.1007/10832182_196. ISBN 978-3-540-42876-3。
^ abcde Gachovska, Tanya K.; Hudgins, Jerry L. (2018). 「SiCおよびGaNパワー半導体デバイス」.パワーエレクトロニクスハンドブック. Elsevier. p. 98. doi :10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2. ISBN 9780128114070。
^ ab アシュクロフト、マーミン.固体物理学. pp. 4– 5.
^ Edwin Hall (1879). 「磁石の電流に対する新たな作用について」. American Journal of Mathematics . 2 (3): 287–92 . doi :10.2307/2369245. JSTOR 2369245. S2CID 107500183. 2011年7月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[1] O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz (2002). 「ゲルマニウム（Ge）の固有キャリア濃度」.第4族元素、第4-4族および第3-5族化合物。パートb – 電子的特性、輸送特性、光学的特性、その他の特性。ランドルト・ベルンシュタイン – 第3族凝縮物質。pp. 1– 3. doi :10.1007/10832182_503. ISBN 978-3-540-42876-3。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[2] Pietro P. Altermatt, Andreas Schenk, Frank Geelhaar, Gernot Heiser (2003). 「バンドギャップ狭小化を考慮した結晶シリコンの固有キャリア密度の再評価」Journal of Applied Physics . 93 (3): 1598. Bibcode :2003JAP....93.1598A. doi :10.1063/1.1529297. hdl : 1959.4/39855 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] Rössler, U. (2002). 「ガリウムヒ素（GaAs）、固有キャリア濃度、電気伝導率および熱伝導率」.第4族元素、第4-4族および第3-5族化合物。パートb – 電子的特性、輸送特性、光学的特性およびその他の特性。ランドルト・ベルンシュタイン – 第3族凝縮物質。pp. 1– 8. doi :10.1007/10832182_196. ISBN 978-3-540-42876-3。

[Gachovska2018-4] Gachovska, Tanya K.; Hudgins, Jerry L. (2018). 「SiCおよびGaNパワー半導体デバイス」.パワーエレクトロニクスハンドブック. Elsevier. p. 98. doi :10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2. ISBN 9780128114070。

[Ashcroft-5] アシュクロフト、マーミン.固体物理学. pp. 4– 5.

[6] Edwin Hall (1879). 「磁石の電流に対する新たな作用について」. American Journal of Mathematics . 2 (3): 287–92 . doi :10.2307/2369245. JSTOR 2369245. S2CID 107500183. 2011年7月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。