Model of mesons in the massless quark limit
可積分カイラル模型における2つのソリトンの散乱過程。グラフは系のエネルギー密度を示し、最大値はソリトンを表す。 [1] [2] 原子核物理学 において 、 カイラル模型は 、 1960年に フェザ・ギュルセイ が導入した 現象論的 モデルであり、 カイラル極限（ クォーク の質量がゼロになる極限） における 中間子 の 有効 相互作用を記述するが、クォークについてはまったく言及していない。これは、 リー群 の 主 同次空間 をその 標的多様体とする 非線形シグマ模型 である。このモデルが最初に導入されたとき、このリー群は SU( N ) であった。ここで、 Nはクォークの フレーバー の数である 。標的多様体の リーマン計量 は、SU( N )の マウラー・カルタン形式 に作用する キリング形式 に正の定数を乗じて与えられる 。 G {\displaystyle G}
このモデルの 内部 グローバル対称性 は、それぞれ左コピーと右コピーである。ここで、左コピーは ターゲット空間に対する 左作用として作用し、右コピーは 右作用 として作用する。現象論的には、左コピーは左巻きクォーク間のフレーバー回転を表し、右コピーは右巻きクォーク間の回転を表す。これらのLとRは互いに完全に独立している。これらの対称性の軸部分は 自発的に破れ 、対応するスカラー場は必要な 南部−ゴールドストーンボソン となる。 G L × G R {\displaystyle G_{L}\times G_{R}}
この模型は後に2次元の場合において 可積分系 、特に可積分場の理論として研究された。その可積分性は 1982年に ファデーエフ と レシェティキンによって 量子逆散乱法 によって示された。2次元主カイラル模型は、 ラックス対 /零曲率定式化、無限個の対称性、そして基礎となる 量子群 対称性（この場合は ヤン 対称性）といった可積分性の兆候を示す。
このモデルは、 スキルミオン と呼ばれる 位相ソリトン を許容します。
正確なカイラル対称性からの逸脱はカイラル摂動論 で扱われます 。
多様体 （ 時空 とみなされる） Mと、 コンパクト リー群 G の選択 において 、場の内容は関数 となる 。これは、関連する場 、すなわち マウラー・カルタン形式 である - 値 ベクトル場 （実際には共ベクトル場）を定義する。 主カイラル模型は 、が無次元結合で ある ラグランジアン密度 によって定義される。 微分幾何学的 言語では、場は、 M の 主同質空間 に同型の ファイバー を持つ 主束 の 切断 である （したがって、これが 主 カイラル模型を定義する）。 U : M → G {\displaystyle U:M\rightarrow G} j μ = U − 1 ∂ μ U {\displaystyle j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} L = κ 2 t r ( ∂ μ U − 1 ∂ μ U ) = − κ 2 t r ( j μ j μ ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _{\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U)=-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),} κ {\displaystyle \kappa } U {\displaystyle U} π : P → M {\displaystyle \pi :P\rightarrow M}
現象学
オリジナルの2フレーバーモデルの概要 ギュルゼー（1960年；ゲルマンとレヴィも参照）のカイラル模型は、現在では 2つの軽いクォーク u と dを持つ QCD の有効な理論として認識されている。QCDラグランジアンは、左巻きクォーク場と右巻きクォーク場の独立したグローバルフレーバー回転に対して近似的に不変である。
{ q L ↦ q L ′ = L q L = exp ( − i θ L ⋅ 1 2 τ ) q L q R ↦ q R ′ = R q R = exp ( − i θ R ⋅ 1 2 τ ) q R {\displaystyle {\begin{cases}q_{\mathsf {L}}\mapsto q_{\mathsf {L}}'=L\ q_{\mathsf {L}}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{\mathsf {L}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}\right)}q_{\mathsf {L}}\\q_{\mathsf {R}}\mapsto q_{\mathsf {R}}'=R\ q_{\mathsf {R}}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{\mathsf {R}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}\right)}q_{\mathsf {R}}\end{cases}}} ここで、 τは フレーバー空間におけるパウリ行列を表し、 θ L 、 θ R は対応する回転角です。
対応する対称群 はカイラル群であり、6つの保存電流によって制御される。 SU ( 2 ) L × SU ( 2 ) R {\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\ }
L μ i = q ¯ L γ μ τ i 2 q L , R μ i = q ¯ R γ μ τ i 2 q R , {\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{\mathsf {L}}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{\mathsf {L}},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{\mathsf {R}}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{\mathsf {R}}\ ,} これはベクトル電流と軸ベクトル電流で同様に表現できる。
V μ i = L μ i + R μ i , A μ i = R μ i − L μ i . {\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}~.} 対応する保存電荷はカイラル群の代数を生成する。
[ Q I i , Q I j ] = i ϵ i j k Q I k [ Q L i , Q R j ] = 0 , {\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{\mathsf {L}}^{i},Q_{\mathsf {R}}^{j}\right]=0,} ここで 、I = L, R 、 または、同等に、
[ Q V i , Q V j ] = i ϵ i j k Q V k , [ Q A i , Q A j ] = i ϵ i j k Q V k , [ Q V i , Q A j ] = i ϵ i j k Q A k . {\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.} 1970 年代初頭には、 これらの交換関係をハドロン反応に適用することが、 現在の代数計算の主流となっていました。
カイラル模型の範囲であるハドロン、擬スカラー中間子のレベルでは、カイラル 群は QCD真空 によって 自発的に に分解されます 。つまり、これは 非線形に 、 南部-ゴールドストーンモード で実現されます。Q V は 真空 を消滅させますが、 Q A は 消滅させません！これは、 のリー代数がSO(4)のリー代数と同型であるという事実に基づく幾何学的議論によってうまく視覚化されます 。線形ウィグナー-ワイルモードで実現される破断されない部分群は であり、 これはSU(2)（V：アイソスピン）と局所的に同型です。 SU ( 2 ) L × SU ( 2 ) R {\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\ } SU ( 2 ) V , {\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\ ,} SU ( 2 ) L × SU ( 2 ) R {\displaystyle {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\ } SO ( 3 ) ⊂ SO ( 4 ) {\displaystyle \ {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)\ }
SO(4)の非線形実現を 構築するには 、ベクトルの4次元回転を記述する表現
( π σ ) ≡ ( π 1 π 2 π 3 σ ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},} 6つの角度でパラメータ化された微小回転
{ θ i V , A } , i = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,} は次のように与えられる。
( π σ ) ⟶ S O ( 4 ) ( π ′ σ ′ ) = [ 1 4 + ∑ i = 1 3 θ i V V i + ∑ i = 1 3 θ i A A i ] ( π σ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}} どこ
∑ i = 1 3 θ i V V i = ( 0 − θ 3 V θ 2 V 0 θ 3 V 0 − θ 1 V 0 − θ 2 V θ 1 V 0 0 0 0 0 0 ) ∑ i = 1 3 θ i A A i = ( 0 0 0 θ 1 A 0 0 0 θ 2 A 0 0 0 θ 3 A − θ 1 A − θ 2 A − θ 3 A 0 ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.} 4 つの実数 ( π 、 σ ) は、最小の非自明なカイラル多重項を定義し、線形シグマ モデルのフィールド内容を表します。
SO(4)の上記の線形実現から非線形実現へと切り替えると、実際には ( π , σ ) の4つの成分のうち3つだけが4次元回転に関して独立であることが分かる。これらの3つの独立成分は超球面S 3 上の座標に対応し、 π と σは 次の
制約を受ける。
π 2 + σ 2 = F 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2}\ ,} F は 次元 = 質量 の パイ 中間子崩壊定数です 。
これを利用してσ を消去すると、 SO(4)の下での π の次のような変換特性が得られる。
{ θ V : π ↦ π ′ = π + θ V × π θ A : π ↦ π ′ = π + θ A F 2 − π 2 θ V , A ≡ { θ i V , A } , i = 1 , 2 , 3. {\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.} 2番目の式の右辺の 非線形項（ πの シフト）は、SO(4)の非線形実現の基礎となる。カイラル群はパイ中間子三重項上で非線形に実現されるが、これは角度によってパラメータ化された アイソスピン回転に対して依然として線形変換する。 対照的に、は 非線形「シフト」（自発的破れ）を表す。 SU ( 2 ) L × SU ( 2 ) R ≃ SO ( 4 ) {\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\simeq {\text{SO}}(4)\ } SU ( 2 ) V ≃ SO ( 3 ) {\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)\ } { θ V } . {\displaystyle \ \left\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\right\}~.} { θ A } {\displaystyle \ \left\{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\right\}\ }
スピノル写像 を通して、これらの （ π 、 σ ） の4次元回転は、 ユニタリ行列を導入することで2×2行列表記法で便利に記述することもできる。
U = 1 F ( σ 1 2 + i π ⋅ τ ) , {\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right)\ ,} そして、カイラル回転における U の変換特性は
U ⟶ U ′ = L U R † , {\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger }\ ,} どこ θ L = θ V − θ A , θ R = θ V + θ A . {\displaystyle ~\theta _{\mathsf {L}}=\theta _{V}-\theta _{A}\ ,\quad \theta _{\mathsf {R}}=\theta _{V}+\theta _{A}~.}
非線形実現への移行は次のように行われる。
U = 1 F ( F 2 − π 2 1 2 + i π ⋅ τ ) , L π ( 2 ) = 1 4 F 2 ⟨ ∂ μ U ∂ μ U † ⟩ t r , {\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}\ }}\ \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right)\ ,\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\tfrac {1}{4}}F^{2}\ \langle \ \partial _{\mu }U\ \partial ^{\mu }U^{\dagger }\ \rangle _{\mathsf {tr}}\ ,} ここで は フレーバー空間における トレース を表します。これは 非線形シグマモデル です。 ⟨ … ⟩ t r {\displaystyle \ \langle \ldots \rangle _{\mathsf {tr}}\ }
または を含む項は 独立ではなく、部分積分によってこの形にすることができます。定数 ∂ μ ∂ μ U {\displaystyle \textstyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\ U\ } ∂ μ ∂ μ U † {\displaystyle \textstyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\ U^{\dagger }\ } 1 / 4 F 2 は、ラグランジアンが、パイオンの観点から書かれたときに、質量のないスカラー場の通常の自由項と一致するように選択される。
L π ( 2 ) = 1 2 ∂ μ π ⋅ ∂ μ π + 1 2 ( ∂ μ π ⋅ π F ) 2 + O ( π 6 ) . {\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}}{F}}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6})~.}
代替パラメータ化 代替の同等の（Gürsey, 1960）パラメータ化
π ↦ π sin ( | π / F | ) | π / F | , {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},} U についてはより単純な式が得られる 。
U = 1 cos | π / F | + i π ^ ⋅ τ sin | π / F | = e i τ ⋅ π / F . {\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.} 再パラメータ化された π 変換に
注目してください。
L U R † = exp ( i θ A ⋅ τ / 2 − i θ V ⋅ τ / 2 ) exp ( i π ⋅ τ / F ) exp ( i θ A ⋅ τ / 2 + i θ V ⋅ τ / 2 ) {\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)} したがって、等回転 V の場合、明らかに上記と同一であり、同様に、
π ⟶ π + θ A F + ⋯ = π + θ A F ( | π / F | cot | π / F | ) {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)} 対称性の破れ A の下では、シフトは次のように表される。このより単純な表現は N個の 軽いクォークに容易に一般化できる（Cronin, 1967）。 SU ( N ) L × SU ( N ) R / SU ( N ) V . {\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}
統合可能性
積分可能なカイラルモデル リチャード・S・ ワード [3] によって提唱された 可積分 カイラル模型 、あるいは ワード模型は 、行列値体を用いて記述され 、偏微分方程式で与えられる。 これは、期待される 運動項と ウェス・ズーミノ・ウィッテン項 に類似した項を含むラグランジアン定式化を持つ。また、 ボゴモルニ方程式と形式的には同一であるが、 ローレンツシグネチャ を持つ 定式化も持つ 。これらの定式化の関係は、Dunajski (2010)に示されている。 J : R 3 → U ( n ) {\displaystyle J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)} ∂ t ( J − 1 J t ) − ∂ x ( J − 1 J x ) − ∂ y ( J − 1 J y ) − [ J − 1 J t , J − 1 J y ] = 0. {\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}
多くの正確な解が知られている。 [4] [5] [6]
2次元主カイラルモデル ここで、基礎となる多様体 は リーマン面 、特に円筒面 または平面とされ 、慣例的に 実 座標が与えられ 、円筒面上には 周期座標が与えられる。 弦理論 への応用においては、この円筒面は 閉じた弦によって掃引された 世界面となる。 [7] M {\displaystyle M} C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} C {\displaystyle \mathbb {C} } τ , σ {\displaystyle \tau ,\sigma } σ ∼ σ + 2 π {\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }
グローバル対称性 大域的対称性は、群値体において、およびとして内部対称性として作用する 。 対応 する保存カレントは、 ノイマンの定理から次のように表される。 運動方程式 は 、 これらのカレントの保存と等価であることがわかる。
さらに、 カレントは平坦性条件も満たすため、 運動方程式は完全にカレントを用いて定式化することができる。 g ( x ) {\displaystyle g(x)} ρ L ( g ′ ) g ( x ) = g ′ g ( x ) {\displaystyle \rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)} ρ R ( g ) g ( x ) = g ( x ) g ′ {\displaystyle \rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'} L α = g − 1 ∂ α g , R α = ∂ α g g − 1 . {\displaystyle L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,\qquad R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.} ∂ α L α = ∂ α R α = 0 , or, in coordinate-free form, d ∗ L = d ∗ R = 0. {\displaystyle \partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0,~{\text{ or, in coordinate-free form, }}~d*L=d*R=0.} d L + 1 2 [ L , L ] = 0 or, in coordinates, ∂ α L β − ∂ β L α + [ L α , L β ] = 0 , {\displaystyle dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0~~~{\text{ or, in coordinates, }}~~~\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,}
量子化により、これらの電流の軸方向の組み合わせによってカイラル異常が発生し、これは前述のトポロジカル WZWN 項 にまとめられます。
光円錐座標における世界面を考える。適切な Lax行列 の成分は、 すべての に対する の零曲率条件が、 電流の保存と電流の平坦性、すなわち主カイラルモデル（PCM）の運動方程式と等価で ある
という要件である 。 x ± = t ± x {\displaystyle x^{\pm }=t\pm x} L ± ( x + , x − ; λ ) = j ± 1 ∓ λ . {\displaystyle L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.} L ± {\displaystyle L_{\pm }} λ {\displaystyle \lambda } j = ( j + , j − ) {\displaystyle j=(j_{+},j_{-})}
参照
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理論 モデル
通常 低次元 コンフォーマル 超対称性 超共形 超重力 位相幾何学 粒子理論
関連している
幾何学的積分可能性 古典力学では
量子力学では 可積分偏微分方程式/古典可積分場理論
積分可能な量子場理論
正確に解ける統計 格子モデル 正確に解ける量子スピン鎖
寄稿者
古典力学と幾何学 偏微分方程式 IQFT 古典統計格子と量子統計格子
![{\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{\mathsf {L}}^{i},Q_{\mathsf {R}}^{j}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95522f73b10a4c6cd4020cf7c7eef03ca6d3007e)
![{\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5edb6d385bb4d5665ba1266a14b603fa3bf99b4)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804c6ff250169732a3adfb2c96d8dae9a9e54413)
![{\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef1f24e65dbfba3b5d10f05a996f1a3610c80a8)
![{\displaystyle dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0~~~{\text{ または、座標では、 }}~~~\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff6bb43a4f69c2adffcff8a10c817b734e288f1)
