弦（幾何学）

円の弦（ラテン語の chorda に由来し、「ガット」または「弦」を意味する）は、両端が円弧上にある直線です。弦を両方向に無限に延長して直線にすると、それは割線になります。弦の中点を通る垂線は、サジッタ（ラテン語で「矢」を意味する）と呼ばれます。

より一般的には、弦とは、例えば楕円上の任意の曲線上の2点を結ぶ線分です。円の中心点を通る弦は、その円の直径です。

円を描いて

円の弦の特性には次のものがあります。

弦の長さが等しい場合のみ、弦は中心から等距離にあります。
等しい弦は、円の中心から等しい角度で伸びます。
円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その特定の円の最長の弦となります。
弦ABと弦CDの延長線（割線）が点Pで交差する場合、その長さはAP·PB = CP·PD（点のべき乗定理）を満たします。

円錐曲線

円錐曲線の平行弦の中点は同一直線上にある（円錐曲線の中点定理）。^[1]

三角法では

弦は三角法の初期の発展において広く利用されました。紀元前2世紀にヒッパルコスによって編纂された最初の三角関数表は現存していませんが、弦関数の値が7の位ごとに表形式で示されています。+1/2⁠ 度。2世紀には、プトレマイオスは天文学の本の中でより広範な弦表を編纂し、 ⁠から ⁠ までの角度の弦の値を示しました。1/2⁠ 180度ずつ増分⁠1/2⁠度。プトレマイオスは直径120の円を使用し、弦の長さを整数部の後に60進法の2桁の精度で与えた。 ^[2]

弦関数は、図に示すように幾何学的に定義されます。角度の弦とは、単位円上の2点間の弦の長さであり、その中心角によって隔てられています。角度θは正の方向にとられ、 $0 < θ \leq π$ （ラジアン）の区間になければなりません。弦関数は、一方の点を(1,0)、もう一方の点を( $cos$ $θ$ $, sin$ $θ$ )とし、ピタゴラスの定理を用いて弦の長さを計算することで、現代の正弦関数と関連付けることができます。 ^[2]

\operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).

^[3]

最後のステップでは、半角の公式を使用します。現代の三角法が正弦関数に基づいているように、古代の三角法は弦関数に基づいていました。ヒッパルコスは弦に関する12巻の著作を著したと伝えられていますが、現在はすべて失われているため、おそらく弦について多くのことが知られていたと考えられます。下の表（cは弦の長さ、Dは円の直径）では、弦関数は現代のよく知られた恒等式と類似した多くの恒等式を満たすことがわかります。

名前	正弦ベース	コードベース
ピタゴラス	$\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1\,$	$\operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,$
半角	$\sin {\frac {\theta}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta}{2}}}\,$	$\operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,$
アポセム（a）	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
角度（θ）	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \theta$

逆関数も存在する: ^[4]

\theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}

参照

円セグメント– 円の中心と境界上の円弧の 2 つの端点によって形成される三角形を削除した後に残る扇形の部分。
コードのスケール
プトレマイオスの弦表
ホールディッチの定理、凸閉曲線内で回転する弦の場合
円グラフ
エクセカントとエクコセカント
ヴェルシンとハバーシン– （） $\operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}$
ジンドラー曲線（弧の長さを半分に分けるすべての弦の長さが同じである閉じた単純な曲線）
ベルトランのパラドックス（確率）弦の平均長さのパラドックス

参考文献

^ ギブソン, CG (2003). 「7.1 中点軌跡」.初等ユークリッド幾何学入門. ケンブリッジ大学出版局. pp. 65– 68. ISBN 9780521834483。
^ ab マオール、イーライ (1998).三角関数の喜び. プリンストン大学出版局. pp. 25– 27. ISBN 978-0-691-15820-4。
^ Weisstein, Eric W. 「円セグメント」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より。
^ Simpson, David G. (2001-11-08). 「AUXTRIG」（FORTRAN-90ソースコード）. 米国メリーランド州グリーンベルト：NASAゴダード宇宙飛行センター. 2015年10月26日閲覧。

外部リンク

三角法の歴史の概要
三角関数 2017年3月10日アーカイブWayback Machine、歴史に焦点を当てて
弦（円）インタラクティブアニメーション付き

[1] ギブソン, CG (2003). 「7.1 中点軌跡」.初等ユークリッド幾何学入門. ケンブリッジ大学出版局. pp. 65– 68. ISBN 9780521834483。

[Maor-2] マオール、イーライ (1998).三角関数の喜び. プリンストン大学出版局. pp. 25– 27. ISBN 978-0-691-15820-4。

[3] Weisstein, Eric W. 「円セグメント」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より。

[Simpson_2001-4] Simpson, David G. (2001-11-08). 「AUXTRIG」（FORTRAN-90ソースコード）. 米国メリーランド州グリーンベルト：NASAゴダード宇宙飛行センター. 2015年10月26日閲覧。