円基準

非線形制御および安定性理論において、円周基準は非線形時変システムの安定性基準の一つである。これは、線形時不変（LTI）システムに対するナイキスト安定性基準の一般化と見ることができる。

概要

非線形フィードバックを受ける線形システム、すなわちフィードバックループに非線形要素が存在するシステムを考える。この要素がセクター条件を満たし、（単純化のため）開ループシステムは安定であると仮定する。ナイキスト軌跡が、 x軸上の線分を直径とする円を貫通しない場合、閉ループシステムは大域的に漸近的に安定である。 ${\displaystyle \varphi (v,t)}$ ${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$ ${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$

概要

非線形システムを考える

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$

仮に

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$安定している
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$

すると、システムの任意の解に対して、次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$

条件3は周波数条件とも呼ばれます。条件1はセクター条件です。

外部リンク

• 円基準による動的出力フィードバック安定化の十分条件
• ポポフとサークル基準（Cam UK）
• Mathematicaにおける円周基準を用いた安定性解析

参考文献

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar (2011). 『非線形動的システムと制御：リアプノフに基づくアプローチ』 プリンストン大学出版局. ISBN 9781400841042。

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