2点間の円の一部
扇形 は 緑色で示されています。長さLの曲線境界は円弧です。 円弧 は 、 2 つの異なる 点 の間にある 円弧 です 。2 点が正反対の場合、一方の弧 ( 短弧) は円の中心で π ラジアン (180 度 )未満の角度 をなし 、もう一方の弧( 長弧) は π ラジアンを超える 角度 をなします 。円弧は、円周の一部またはセグメントとして定義されます。弧の 両端 を結ぶ直線は、 円 弦 と呼ばれます。弧の長さが円のちょうど半分である場合、その弧は 半円弧 と呼ばれます 。
長さ 半径r で円の中心を角度 θ （ラジアンで測定）で 囲む円弧の 長さ（より正確には 弧長）は、 中心角 であり
、
L ＝ θ r 。 {\displaystyle L=\theta r.} これは
L c 私 r c あなた メートル f e r e n c e ＝ θ 2 π 。 {\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {円周} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.} 円周での代入
L 2 π r ＝ θ 2 π 、 {\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},} そして、 α は度で測った同じ角度であり、 θ = α / 180 π 、弧の長さは
L ＝ α π r 180 。 {\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.} 円弧の長さを決定する実用的な方法は、円弧の端点から円の中心まで 2 本の線を描き、その 2 本の線が中心と交わる角度を測定し、次の式を掛け合わせて L を求めることです。
角度 の測定値 （度/360°）= L /円周。 例えば、角度が60度で円周が24インチの場合、
60 360 ＝ L 24 360 L ＝ 1440 L ＝ 4. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}} これは、円の円周と円の度数（常に 360 度）が正比例するためです。
円の上半分は次のようにパラメータ化できる。
y ＝ r 2 − × 2 。 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.} からまで の弧の長さ は × ＝ 1つの {\displaystyle x=a} × ＝ b {\displaystyle x=b}
L ＝ r [ アークサイン （ × r ） ] 1つの b 。 {\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}
セクターエリア 円弧と円の中心（円弧とその端点に引かれた2つの半径で囲まれた）によって形成される扇形の面積は
あ ＝ r 2 θ 2 。 {\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.} 面積 A は 円の面積 に対して、円に対する 角度 θ と同じ比率を持ちます。
あ π r 2 ＝ θ 2 π 。 {\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.} 両辺で π をキャンセルすることができます。
あ r 2 ＝ θ 2 。 {\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta}{2}}.} 両辺に r 2 を掛けると、最終結果が得られます。
あ ＝ 1 2 r 2 θ 。 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .} 上記の変換を用いると、度で測定された中心角に対する扇形の面積は、
あ ＝ α 360 π r 2 。 {\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}
セグメントエリア 円弧とその両端を結ぶ直線で囲まれた図形の面積は
1 2 r 2 （ θ − 罪 θ ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).} 円弧 の面積を求めるには 、円の中心と円弧の両端で決まる三角形の面積を面積から差し引く必要があります 。 詳細については 「円弧」を参照してください。 あ {\displaystyle A}
半径 線分 APと線分PBの 積は、 線分CPと線分PDの積に等しい。弧の幅がAB、高さがCPの場合、円の直径は C D ＝ あ P ⋅ P B C P + C P {\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP} 交差弦定理（ 点のべき乗 または正接定理とも呼ばれる） を使用すると 、円弧の
高さ H と幅 W が与えられたときに円の半径 r を 計算できます。
円弧と同じ端点を持つ 弦 を考えてみましょう。その垂直二等分線は別の弦であり、円の直径です。最初の弦の長さは W で、二等分線によって2つの等しい半分に分けられ、それぞれの長さは W / 2 。直径の全長は2 r で、最初の弦によって2つの部分に分けられます。一方の長さは 円弧の 矢状面 H であり、もう一方は直径の残りの部分で、長さは2 r − H です。交差弦定理をこれらの2つの弦に適用すると、次の式が得られます。
H （ 2 r − H ） ＝ （ W 2 ） 2 、 {\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},} どこから
2 r − H ＝ W 2 4 H 、 {\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},} それで
r ＝ W 2 8 H + H 2 。 {\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.} アーク、コード、サジッタは、それぞれラテン語で 弓、弓弦、矢を 意味する言葉に由来しています。
参照
外部リンク ウィキメディア コモンズには、円弧 に関連するメディアがあります 。
Math Open Reference Circleページの目次 円弧に関する数学オープンリファレンスページ（インタラクティブアニメーション付き） 数学オープンリファレンスページ円弧または線分の半径インタラクティブアニメーション付き ワイスタイン、エリック・W. 「アーク」 。MathWorld 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e27382006cbe17cbd438103c4367012c2b6bf79)
![{\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af06c827ad36f4ee0925c92a649cf2280205642)
