SO(n)の分類空間

数学において、特殊直交群の分類空間は 普遍主バンドルの基底空間である。これは、同型写像に至るまでのCW複体上の主バンドルが、その への連続写像のホモトピー類と一対一であることを意味する。同型写像は引き戻しによって与えられる。特別な応用として、主SO(2)バンドルがある。 ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$

意味

実有向グラスマン多様体の標準的な包含は によって与えられる。その余極限は：^[1] ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).}$

実有向グラスマン多様体は次のように同質空間として表現できる。

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))}$

グループ構造は に引き継がれます。 ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$

最も単純な分類空間

• は自明群なので、は自明位相空間です。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong 1}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}}$

• なので、 が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$

主束の分類

位相空間 が与えられたとき、その上の同型を除く主バンドル全体の集合は と表記される。 がCW 複体であるとき、写像: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)}$

は全単射です。

コホモロジー環

2つの元の体における係数を持つコホモロジー環は、スティフェル・ホイットニー類によって生成される: ^{[3] [4]} ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].}$

この結果は、特性 を持つすべての環に対して、より一般的に当てはまります。 ${\displaystyle \operatorname {char} =2}$

有理数体における係数を持つのコホモロジー環は、ポントリャギン類とオイラー類によって生成される。 ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),}$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

無限の分類空間

標準包含は、それぞれの分類空間に標準包含を誘導する。それぞれの余極限は以下のように表される。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n);}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n).}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} }$はまさに の分類空間です。 ${\displaystyle \operatorname {SO} }$

参照

• O(n)の空間分類
• U(n)の空間分類
• SU(n)の分類空間

文学

• ミルナー、ジョン、スタシェフ、ジェームズ(1974). 特性クラス(PDF) . プリンストン大学出版局. doi :10.1515/9781400881826. ISBN 9780691081229。
• ハッチャー、アレン（2002年）『代数的位相幾何学』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79160-X。
• ミッチェル、スティーブン（2001年8月）普遍主束と分類空間（PDF）。

外部リンク

• nLabで空間を分類する
• nLabのBSO(n)

参考文献

1. ミルナー＆スタシェフ 74、セクション12.2 指向された普遍的な束、151ページ
2. 「普遍主束」nLab . 2024年3月14日閲覧。
3. ミルナー＆スタシェフ、定理12.4。
4. ハッチャー02、例4D.6。

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