閉じた形式の表現

数学において、式または公式（方程式と不等式を含む）が閉じた形式にあるとするのは、定数、変数、および基本と見なされる関数の集合で構成され、算術演算（ $+、-、\times、/$ 、および整数乗）と関数合成によって結合されている場合です。一般的に、閉じた形式で許可される基本関数は、n 乗根、指数関数、対数、および三角関数です。^[a]ただし、基本関数の集合はコンテキストによって異なります。たとえば、基本関数に多項式の根を追加する場合、閉じた形式を持つ関数は基本関数と呼ばれます。

閉じた形式の問題は、極限、級数、積分などの数学的なオブジェクトを指定するための新しい方法が導入されたときに発生します。このようなツールで指定されたオブジェクトが与えられた場合、自然な問題は、可能であれば、このオブジェクトの閉じた形式の表現、つまり、以前の指定方法でのこのオブジェクトの表現を見つけることです。

例: 多項式の根

二次方程式

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

は、一般二次方程式の解の閉じた形である。 $ax^{2}+bx+c=0.$

より一般的には、多項式方程式の文脈において、解の閉じた形式とは根号の解、つまり、許される関数が $n$ 乗根と体演算のみである閉じた形式の表現である。実際、体論によれば、多項式方程式の解が指数関数、対数関数、三角関数を含む閉じた形式を持つ場合、これらの関数を含まない閉じた形式も持つことが示される。^[^要出典^] $(+,-,\times ,/).$

3次方程式（3次）と4次方程式（4次）のすべての解は、根号で表すことができます。これらの式のサイズは次数の増加とともに大幅に増加するため、その有用性は制限されます。

高次では、アーベル・ルフィニの定理は、解が根号で表せない方程式が存在し、したがって閉形式を持たないことを述べています。簡単な例として、ガロア理論は、特定の多項式方程式が根号で解けるかどうかを判定するためのアルゴリズム的な方法を提供します。 $x^{5}-x-1=0.$

記号積分

記号積分は、本質的には、閉形式式で指定される関数の原始的積分の閉形式を求めることから成ります。この文脈において、閉形式を定義するために用いられる基本関数は、一般に対数、指数関数、多項式根です。これらの基本関数に対して閉形式を持つ関数は初等関数と呼ばれ、三角関数、逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数などが含まれます。

したがって、記号積分の基本的な問題は、閉じた形式の表現で指定された基本関数が与えられたときに、その原始関数が基本関数であるかどうかを判定し、そうである場合は、この原始関数の閉じた形式の表現を見つけることです。

有理関数、つまり2つの多項式関数の分数の場合、不定積分は必ずしも有理分数ではなく、対数や多項式根を含む可能性のある基本関数である。これは通常、部分分数分解によって証明される。対数と多項式根の必要性は、次の式で示される。

$\int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),$

これは、とが互いに素な多項式であり、が平方自由であり、 $f$ $g$ $g$ $\deg f<\deg g.$

代替定義

基本関数を変更して追加関数を含めると、閉形式解を持つ方程式の集合が変化する可能性があります。多くの累積分布関数は、誤差関数やガンマ関数などの特殊関数を基本関数とみなさない限り、閉形式で表現できません。一般の超幾何関数を含めれば五次方程式を解くことは可能ですが、その解は代数的に複雑すぎて実用的ではありません。多くの実用的なコンピュータアプリケーションでは、数値実装が広く利用可能であるため、ガンマ関数やその他の特殊関数を基本関数とみなすことは全く理にかなっています。

解析表現

これは、closed-form の同義語として理解されることもある用語です ( 「Wolfram Mathworld」を参照)。) ですが、この用法には異論があります ( 「Math Stackexchange」を参照)。）。このページの引用されていない以前のバージョンの結果とは対照的に、この用語が実際に使用されている範囲は不明です。

異なる表現クラスの比較

閉じた形式の表現には、無限級数や連分数は含まれず、積分や極限も含まれません。実際、ストーン・ワイエルシュトラスの定理によれば、単位区間上の任意の連続関数は多項式の極限として表すことができるため、多項式を含み極限で閉じた関数のクラスは、必然的にすべての連続関数を含むことになります。

同様に、方程式または連立方程式が閉形式解 を持つとされるのは、少なくとも1つの解が閉形式表現で表現できる場合に限られます。また、方程式または連立方程式が解析解を持つとされるのは、少なくとも1つの解が解析形式表現で表現できる場合に限られます。(Chow 1999) および以下で議論されている「閉形式解」の議論において、「閉形式関数」と「閉形式数」の間には微妙な違いがあります。閉形式解または解析解は、明示的解と呼ばれることもあります。

v t e	算術式	多項式	代数式	閉じた形式の式	解析表現	数式
絶え間ない	はい	はい	はい	はい	はい	はい
基本的な算術演算	はい	加算、減算、乗算のみ	はい	はい	はい	はい
有限和	はい	はい	はい	はい	はい	はい
有限積	はい	はい	はい	はい	はい	はい
有限連分数	はい	いいえ	はい	はい	はい	はい
変数	いいえ	はい	はい	はい	はい	はい
整数指数	いいえ	はい	はい	はい	はい	はい
整数のn乗根	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	はい
有理指数	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	はい
整数の階乗	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	はい
無理数指数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
指数関数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
対数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
三角関数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
逆三角関数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
双曲線関数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
逆双曲線関数	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい
代数解ではない多項式の根	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい
ガンマ関数と非整数の階乗	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい
ベッセル関数	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい
特殊機能	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい
無限和（級数）（べき級数を含む）	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	収束のみ	はい
無限積	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	収束のみ	はい
無限連分数	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	収束のみ	はい
制限	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい
デリバティブ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい
積分	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい

非閉形式の表現の扱い

閉じた形式への変換

式：は、和を求めるのに無限回の基本演算が必要となるため、閉じた形式ではない。しかし、等比級数を和げることで、この式は閉じた形式で表現できる：^[1] $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}$ $f(x)=2x.$

微分ガロア理論

閉形式式の積分は、それ自体が閉形式式として表現できる場合もあれば、できない場合もあります。この研究は、代数ガロア理論との類推から、微分ガロア理論と呼ばれます。

微分ガロア理論の基本定理は、1830 年代から 1840 年代にかけてジョゼフ・リウヴィルによって提唱されたもので、リウヴィルの定理と呼ばれています。

原始関数が閉じた形式の表現を持たない基本関数の標準的な例は次のとおりです。その原始関数の 1 つの原始関数は (乗法定数を除いて)誤差関数です。 $e^{-x^{2}},$ $\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.$

数学モデリングとコンピュータシミュレーション

閉形式または解析的な解法では複雑すぎる方程式やシステムは、多くの場合、数学的モデリングとコンピュータシミュレーションによって解析できます（物理学の例については、^[2]を参照）。

閉形式数

複素数 $C$ の 3 つの部分体は、「閉形式数」の概念をエンコードするものとして提案されています。これらは、一般性の昇順で、リウヴィリアン数（有理近似の意味でのリウヴィル数と混同しないこと）、EL 数、および基本数です。 $L$ と表記されるリウヴィリアン数は、指数と対数に関して閉じた $C$ の最小の代数的に閉じた部分体（正式には、そのような部分体すべての共通部分）を形成します。つまり、明示的な指数と対数を伴うが、明示的および暗黙的な多項式（多項式の根）を許容する数です。これは、(Ritt 1948、p. 60) で定義されています。 $L は$ もともと基本数と呼ばれていましたが、この用語は現在、代数演算、指数、および対数に関して明示的または暗黙的に定義された数を指すために、より広く使用されています。 (Chow 1999, pp. 441–442) で提案されたより狭義の定義は $E$ と表記され、 EL数と呼ばれるもので、指数と対数に関して閉じた $C$ の最小の部分体である。これは代数的に閉じている必要はなく、明示的な代数演算、指数演算、対数演算に対応する。「EL」は「指数対数」の略語であり、「初等」の略語でもある。

ある数が閉形式数であるかどうかは、その数が超越数であるかどうかと関係している。正式には、リウヴィリ数と素数は代数的数を含み、超越数の一部を含むが、すべてを含むわけではない。対照的に、超越数はすべて代数的数を含まないが、一部の超越数を含む。閉形式数は超越数論によって研究することができ、その主要な結果はゲルフォンド・シュナイダーの定理であり、主要な未解決問題はシャヌエルの予想である。

数値計算

数値計算においては、多くの極限や積分が効率的に計算できるため、閉形式であることは一般に必要ありません。三体問題やホジキン・ハクスリー模型など、一部の方程式は閉形式の解を持ちません。したがって、これらの系の将来の状態は数値的に計算する必要があります。

数値形式からの変換

数値の閉形式表現を求めるソフトウェアとしては、RIES ^{[3] 、} Maple ^[4]とSymPy ^[5]のidentify、PlouffeのInverter ^[6]、Inverse Symbolic Calculator ^[7]などがあります。

参照

代数的解 – 多項式方程式の根号による解
コンピュータシミュレーション – コンピュータ上で実行される数学的モデリングのプロセス
基本関数 – 数学関数の種類
有限演算 – 加算、乗算、除算、...
数値解法 – 数値近似法
リウヴィリアン関数 – 基本関数とその有限反復積分
記号回帰 – 回帰分析の種類
タルスキーの高校代数問題 – 数学の問題
項（論理） – 数式または論理式の構成要素
タッパーの自己参照式 - グラフ化することで視覚的に自己を表現する式

注記

^ 双曲線関数、逆三角関数、逆双曲線関数も、前述の関数を使って表現できるため、使用できます。

参考文献

^ Holton, Glyn. 「数値解法、閉形式解法」. riskglossary.com . 2012年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年12月31日閲覧。
^ Barsan, Victor (2018). 「超越方程式のジーヴェルト解、一般化ランベルト関数、および物理的応用」. Open Physics . 16 (1). De Gruyter: 232– 242. arXiv : 1703.10052 . Bibcode :2018OPhy...16...34B. doi : 10.1515/phys-2018-0034 .
^ Munafo, Robert. 「RIES - 解が与えられた場合の代数方程式の検索」MROB . 2012年4月30日閲覧。
^ "identify". Mapleオンラインヘルプ. Maplesoft . 2012年4月30日閲覧。
^ “Number identification”. SymPyドキュメント. 2018年7月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年12月1日閲覧。
^ “Plouffe's Inverter”. 2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年4月30日閲覧。
^ “Inverse Symbolic Calculator”. 2012年3月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年4月30日閲覧。

さらに読む

リット、JF（1948）、有限項積分
チョウ、ティモシー・Y.（1999年5月）「閉形式数とは何か？」アメリカ数学月刊誌、106（5）：440-448、arXiv：math/9805045、doi：10.2307/2589148、JSTOR 2589148
ジョナサン・M・ボーウェインとリチャード・E・クランドール（2013年1月）、「閉形式：それが何であるか、そしてなぜ私たちはそれを気にするのか」アメリカ数学会誌、60（1）：50-65、doi：10.1090/noti936

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「閉形式解」。MathWorld。
閉形式連続時間ニューラルネットワーク

[1] 双曲線関数、逆三角関数、逆双曲線関数も、前述の関数を使って表現できるため、使用できます。

[2] Holton, Glyn. 「数値解法、閉形式解法」. riskglossary.com . 2012年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年12月31日閲覧。

[3] Barsan, Victor (2018). 「超越方程式のジーヴェルト解、一般化ランベルト関数、および物理的応用」. Open Physics . 16 (1). De Gruyter: 232– 242. arXiv : 1703.10052 . Bibcode :2018OPhy...16...34B. doi : 10.1515/phys-2018-0034 .

[4] Munafo, Robert. 「RIES - 解が与えられた場合の代数方程式の検索」MROB . 2012年4月30日閲覧。

[5] "identify". Mapleオンラインヘルプ. Maplesoft . 2012年4月30日閲覧。

[6] “Number identification”. SymPyドキュメント. 2018年7月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年12月1日閲覧。

[7] “Plouffe's Inverter”. 2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年4月30日閲覧。

[8] “Inverse Symbolic Calculator”. 2012年3月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年4月30日閲覧。