密閉浸漬

代数幾何学において、スキームの閉浸漬とは、 Z をXの閉部分集合として特定し、局所的にZ上の正規関数をXに拡張できるようなスキームの射である。^[1]後者の条件は、が射影的であるとすることで形式化できる。^[2] ${\displaystyle f:Z\to X}$ ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}}$

一例として、標準マップによって誘導される包含マップが挙げられます。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R\to R/I}$

その他の特徴

以下は同等です:

1. ${\displaystyle f:Z\to X}$密閉型浸漬です。
2. あらゆる開アフィン に対して、 U上のスキームとして成り立つようなイデアルが存在します。 ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)\subset X}$ ${\displaystyle I\subset R}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$
3. 開いたアフィン被覆が存在し、各jに対して、上のスキームが となるようなイデアルが存在する。 ${\displaystyle X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}}$ ${\displaystyle I_{j}\subset R_{j}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})}$ ${\displaystyle U_{j}}$
4. X上には準一貫性のあるイデアル層が存在し、fはX上のグローバル Spec上へのZの同型である。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$

局所環空間の定義

^{局所環空間[3]}の場合、同様の基準を満たす射は閉じた浸漬となる。 ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. この写像は、その像への同相写像である。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$
2. 関連する層写像は核と射影的である ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
3. カーネルはセクションごとにモジュールとしてローカルに生成される^[4] ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

唯一変化する条件は3番目の条件です。3番目の条件がどのような結果をもたらすかを理解するために、閉じた浸漬ではない写像を見る反例を見ることは有益です。 ${\displaystyle i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$

におけるの茎を見ると、切断は存在しません。これは、を含む任意の開部分スキームに対して が切断を持たないことを意味します。これは、を含む開部分スキーム被覆が少なくとも1つあるため、3番目の条件に違反します。 ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$

プロパティ

閉浸漬は有限かつ根基的（普遍的に単射的）である。特に、閉浸漬は普遍的に閉じている。閉浸漬は基底変換と合成に対して安定である。閉浸漬の概念は、fが閉浸漬であるための必要十分条件であり、かつ、ある（同値なすべての）開被覆に対して誘導写像が閉浸漬となる場合に限るという意味で局所的である。^{[5] [6]} ${\displaystyle X=\bigcup U_{j}}$ ${\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}$

構成が閉じた浸漬であり、が分離されている場合、は閉じた浸漬である。Xが分離されたSスキームである場合、XのすべてのSセクションは閉じた浸漬である。^[7] ${\displaystyle Z\to Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to Y}$

が閉じた浸漬で、がZを切り出すイデアルの準連接層である場合、Z上の準連接層のカテゴリからX上の準連接層のカテゴリへの直接の像は正確であり、となるからなる本質的な像に完全に忠実である。^[8] ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0}$

有限表現の平坦な閉じた浸漬は、開いた閉じた部分体系の開いた浸漬である。^[9]

参照

• セグレ埋め込み
• 通常の埋め込み

注記

1. マンフォード『変種と系統図の赤い本』第 II.5 節
2. ハーツホーン 1977、§II.3
3. 「セクション26.4 (01HJ): 局所環空間の閉浸漬—スタックスプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2021年8月5日閲覧。
4. 「セクション17.8 (01B1): セクションによってローカルに生成されるモジュール—スタックプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2021年8月5日閲覧。
5. グロタンディーク & デュドネ 1960、4.2.4
6. 「パート4：代数空間、第67章：代数空間のモルフィズム」、スタックスプロジェクト、コロンビア大学、2024年3月6日閲覧。
7. グロタンディーク & デュドネ 1960、5.4.6
8. スタック、スキームの射。補題4.1
9. スタック、スキームの射。補題27.2

参考文献

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• スタックスプロジェクト
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

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