クラブセット

Set theory concept

数学、特に数理論理学と集合論において、クラブ集合（club set）とは、順序位相の下で閉じており、かつ極限順序数に対して非有界（下記参照）である極限順序数の部分集合である。クラブという名称は、「closed and unbounded（閉じていて非有界）」を短縮したものである。

正式な定義

形式的には、極限順序数であれば、集合がで閉じている場合、かつ、任意の に対して の場合に限り、 となる。したがって、から のある列の極限が より小さい場合、その極限もである。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$ ${\displaystyle \alpha \in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle C.}$

が極限順序数であり、任意のものに対して、 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \beta \in C}$ ${\displaystyle \alpha <\beta .}$

集合が閉じていてかつ有界でない場合は、それはクラブ集合です。

順序数の閉じた固有クラスも興味深いものです (順序数のすべての固有クラスは、すべての順序数のクラスにおいて無限です)。

例

すべての可算極限順序数 の集合は、最初の非可算順序数に関してクラブ集合である。しかし、それより高次の極限順序数 に関してクラブ集合ではない。なぜなら、それは閉じても無限でもないからである。 が非可算な初進順序数である場合、すべての極限順序数 の集合はにおいて閉じていて無限である。実際、クラブ集合とは、正規関数（すなわち、増加かつ連続） の値域に他ならない 。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa .}$

より一般的には、が空でない集合であり、が基数 である場合、 （の基数 の部分集合の集合）がクラブ集合となるのは、 の部分集合のすべての和集合が に含まれ、より基数が少ないのすべての部分集合がの何らかの要素に含まれる場合です（定常集合 を参照）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$

閉じた無制限フィルタ

を非可算共終性の極限順序数とします。あるに対して、の閉じた非可算部分集合のシーケンス とすると、 も閉じた非可算です。これを確認するには、閉集合の交差は常に閉じているため、この交差が非可算であることを示す必要があります。したがって、任意の を固定し、それぞれ について、それぞれが非可算であるため可能な要素をそれぞれから選択します。これは よりも少ない順序数のコレクションであるため、それらの最小上限よりも小さいものはすべてよりも小さくなければならないため、これを と呼ぶことができます。このプロセスにより可算シーケンスが生成されます。このシーケンスの極限は、実際にはシーケンスの極限でもあり、それぞれ は閉じていて非可算であるため、この極限はそれぞれに含まれている必要があり、したがってこの極限は交差の要素であり、その上にあるため、交差が非可算であることがわかります。 ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$ ${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$ ${\displaystyle \kappa \,.}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$ ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$ ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,,}$ ${\displaystyle \beta _{0},}$

このことから、 が正規基数である場合、 ${\displaystyle \kappa \,}$

${\displaystyle \{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}}$

は、集合、つまり、半順序集合 上の非主 -完全真フィルタです。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (\wp (\kappa ),\subseteq )}$

が正則基数である場合、クラブ集合は対角交差においても閉じています。 ${\displaystyle \kappa \,}$

実際、が正則で、 が対角交差の下で閉じた上の任意のフィルターであり、 の形式のすべてのセットを含んでいる場合、にはすべてのクラブ セットが含まれている必要があります。 ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$

参照

• クラブスーツ
• フィルタ（数学）  - 半順序集合の特別な部分集合
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 定常集合 – 集合論的概念

参考文献

• ジェック、トーマス、2003年。『集合論：第三千年紀版、改訂・拡張版』シュプリンガー、 ISBN 3-540-44085-2。
• レヴィ、アズリエル(1979) 『基本集合論』『数理論理学の展望』、シュプリンガー・フェアラーク。2002年再版、ドーバー。ISBN 0-486-42079-5
• この記事には、Club on PlanetMathの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

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