クラスター状態

Entangled state of qubits

量子情報と量子コンピューティングにおいて、クラスター状態^{[1]は複数の}量子ビットが高度に絡み合った状態の一種である。クラスター状態は、イジング型相互作用を持つ量子ビットの格子内に生成される。クラスターCはd次元格子の連結されたサブセットであり、クラスター状態はC上に配置された量子ビットの純粋な状態である。クラスター状態の場合は(射影測定を介して)量子エンタングルメントを除去するのがより困難であるという点で、GHZ 状態やW 状態などの他のタイプのエンタングルメント状態と異なる。クラスター状態を別の方法で考えると、基礎となるグラフがd次元格子の連結されたサブセットであるグラフ状態の特定のインスタンスになる。クラスター状態は、一方向量子コンピュータのコンテキストで特に有用である。このトピックの分かりやすい入門書については、Briegel (2009) を参照のこと。

正式には、クラスター状態は、集合固有値方程式に従う状態です。 ${\displaystyle |\phi _{\{\kappa \}}\rangle _{C}}$

${\displaystyle K^{(a)}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}=(-1)^{\kappa _{a}}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}}$

相関演算子はどこにありますか ${\displaystyle K^{(a)}}$

${\displaystyle K^{(a)}=\sigma _{x}^{(a)}\bigotimes _{b\in \mathrm {N} (a)}\sigma _{z}^{(b)}}$

およびはパウリ行列であり、の近傍を表し、 はクラスター状態の特定のインスタンスを指定するバイナリパラメータのセットです。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle N(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{\kappa _{a}\in \{0,1\}|a\in C\}}$

量子ビットの例

1次元クラスター状態（d =1）の例をいくつか示します。ここでは量子ビット数です。すべての に対してをとります。これは、クラスター状態が、すべての相関演算子の下で対応する固有値1を持つ唯一の同時固有状態であることを意味します。各例には、相関演算子の集合と対応するクラスター状態が列挙されています。 ${\displaystyle n=2,3,4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \kappa _{a}=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{K^{(a)}\}_{a}}$

• ${\displaystyle n=2}$
  ${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z},\ \sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0+\rangle +|1-\rangle )}$
これは EPR ペアです (ローカル変換を除く)。

• ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+0+\rangle +|-1-\rangle )}$
これは GHZ 状態です (ローカル変換まで)。

• ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}II,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ II\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{2}}(|+0+0\rangle +|+0-1\rangle +|-1+0\rangle -|-1-1\rangle )}$。

これは GHZ 状態ではなく、ローカル操作で GHZ 状態に変換することはできません。

すべての例において は恒等演算子であり、テンソル積は省略されています。上記の状態は、まずすべての量子ビットにアダマールゲートを適用し、次に隣接するすべての量子ビット間に制御Zゲートを適用することで、すべてゼロの状態から得ることができます。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |0\ldots 0\rangle }$

クラスター状態の実験的生成

クラスター状態は実験的に実現可能です。クラスター状態を生成する方法の一つは、論理量子ビットを光子の偏光にエンコードすることです。一般的なエンコードの例は以下の通りです。

${\displaystyle {\begin{cases}|0\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {H\rangle }}\\|1\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {V\rangle }}\end{cases}}}$

これは唯一の可能な符号化方法ではないが、最も単純な方法の一つである。この符号化法では、自発的なパラメトリックダウンコンバージョンによって実験的にエンタングルドペアを生成することができる。^{[2] [3]}この方法で生成できるエンタングルドペアは、以下の形式を持つ。

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|{\rm {H\rangle |{\rm {H\rangle +e^{i\phi }|{\rm {V\rangle |{\rm {V\rangle {\big )}}}}}}}}}}$

論理状態に相当する

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle |0\rangle +e^{i\phi }|1\rangle |1\rangle {\big )}}$

位相の2つの選択に対して、2つのベル状態が得られる。これらはそれ自体が2量子ビットクラスター状態の2つの例である。ビームスプリッターや波長板などの線形光学デバイスを用いることで、これらのベル状態は相互作用し、より複雑なクラスター状態を形成する。^{[4]クラスター状態は、}冷却原子の光格子においても生成される。^[5] ${\displaystyle \phi =0,\pi }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ,|\Phi ^{-}\rangle }$

クラスター状態のエンタングルメント基準とベル不等式

実験でクラスター状態が生成された後、実際に量子もつれ状態が生成されたことを確認することが重要である。-量子ビットクラスター状態に対する忠実度は次のように与えられる 。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |C_{N}\rangle }$

${\displaystyle F_{CN}={\rm {Tr}}(\rho |C_{N}\rangle \langle C_{N}|),}$

の場合には、その状態は真の多粒子エンタングルメントを持つことが示されている。^[6]従って、クラスター状態に近いエンタングルメントを検出するエンタングルメント証拠を次のように 得ることができる。 ${\displaystyle F_{CN}>1/2}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle W_{CN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identity}}-|C_{N}\rangle \langle C_{N}|.}$

ここで、真の多粒子エンタングルメントが示されます。 ${\displaystyle \langle W_{CN}\rangle <0}$

このような証拠は直接測定できません。相関項の和に分解して測定する必要があります。しかし、大規模なシステムではこのアプローチは困難になる可能性があります。

非常に大規模なシステムでも動作するエンタングルメント・ウィットネスも存在し、それらはクラスター状態に近い真の多部分エンタングルメントも検出します。これらの検出には、最小限の2つの局所測定設定のみが必要です。^[6]同様の条件を用いて、理想的なクラスター状態に対する忠実度の下限を設定することもできます。^[7]これらの基準は、光子を用いて4量子ビットのクラスター状態を実現する実験で初めて使用されました。^[3]これらのアプローチは、光格子で実現される大規模なクラスター状態やグラフ状態のより小さな部分におけるエンタングルメントを検出する手法の提案にも使用されています。^[8]

ベル不等式はクラスター状態に対しても発展している。^{[9] [10] [11]}これらのエンタングルメント条件とベル不等式はすべて安定化形式論に基づいている。^[12]

参照

• ベル州
• グラフの状態
• 光クラスター状態
• ディッケ州

参考文献

^[13]

1. HJ Briegel; R. Raussendorf (2001). 「相互作用粒子アレイにおける永続的エンタングルメント」. Physical Review Letters . 86 (5): 910–3 . arXiv : quant-ph/0004051 . Bibcode :2001PhRvL..86..910B. doi :10.1103/PhysRevLett.86.910. PMID  11177971. S2CID  21762622.
2. P. Walther, KJ Resch, T. Rudolph, E. Schenck, H. Weinfurter, V. Vedral, M. Aspelmeyer , A. Zeilinger (2005). 「実験的一方向量子コンピューティング」. Nature . 434 (7030): 169–76 . arXiv : quant-ph/0503126 . Bibcode :2005Natur.434..169W. doi :10.1038/nature03347. PMID:  15758991. S2CID  : 119329998.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. N. Kiesel; C. Schmid; U. Weber; G. Tóth; O. Gühne; R. Ursin; H. Weinfurter (2005). 「4量子ビットクラスター状態の実験的解析」. Phys. Rev. Lett . 95 (21) 210502. arXiv : quant-ph/0508128 . Bibcode :2005PhRvL..95u0502K. doi :10.1103/PhysRevLett.95.210502. PMID  16384122. S2CID  5322108.
4. Zhang, An-Ning; Lu, Chao-Yang; Zhou, Xiao-Qi; Chen, Yu-Ao; Zhao, Zhi; Yang, Tao; Pan, Jian-Wei (2006-02-17). 「ベル状態からの光マルチ量子ビットクラスター状態の実験的構築」. Physical Review A. 73 ( 2) 022330. arXiv : quant-ph/0501036 . Bibcode :2006PhRvA..73b2330Z. doi :10.1103/PhysRevA.73.022330. ISSN  1050-2947. S2CID  118882320.
5. O. Mandel; M. Greiner; A. Widera; T. Rom; TW Hänsch; I. Bloch (2003). 「光トラップ原子の多粒子エンタングルメントのための制御衝突」. Nature . 425 (6961): 937– 940. arXiv : quant-ph/0308080 . Bibcode :2003Natur.425..937M. doi :10.1038/nature02008. PMID:  14586463. S2CID  : 4408587.
6. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (2005年2月17日). 「2つの局所測定による真の多部間エンタングルメントの検出」. Physical Review Letters . 94 (6) 060501. arXiv : quant-ph/0405165 . Bibcode :2005PhRvL..94f0501T. doi :10.1103/PhysRevLett.94.060501. PMID:  15783712. S2CID  : 13371901.
7. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (2005年8月29日). 「安定子形式論におけるエンタングルメント検出」. Physical Review A. 72 ( 2) 022340. arXiv : quant-ph/0501020 . Bibcode :2005PhRvA..72b2340T. doi :10.1103/PhysRevA.72.022340. S2CID  56269409.
8. アルバ、エミリオ;トート、ゲザ。ガルシア＝リポル、フアン・ホセ（2010年12月21日）。 「光格子におけるもつれの空間分布のマッピング」。物理的レビュー A . 82 (6) 062321.arXiv : 1007.0985。土井：10.1103/PhysRevA.82.062321。
9. Scarani, Valerio; Acín, Antonio; Schenck, Emmanuel; Aspelmeyer, Markus (2005年4月18日). 「量子ビットのクラスター状態の非局所性」. Physical Review A. 71 ( 4) 042325. arXiv : quant-ph/0405119 . Bibcode :2005PhRvA..71d2325S. doi :10.1103/PhysRevA.71.042325. S2CID  4805039.
10. Gühne, Otfried; Tóth, Géza; Hyllus, Philipp; Briegel, Hans J. (2005年9月14日). 「グラフ状態におけるベル不等式」. Physical Review Letters . 95 (12) 120405. arXiv : quant-ph/0410059 . Bibcode :2005PhRvL..95l0405G. doi :10.1103/PhysRevLett.95.120405. PMID  16197057. S2CID  5973814.
11. Tóth, Géza; Gühne, Otfried; Briegel, Hans J. (2006年2月2日). 「グラフ状態における2設定ベル不等式」. Physical Review A. 73 ( 2) 022303. arXiv : quant-ph/0510007 . Bibcode :2006PhRvA..73b2303T. doi :10.1103/PhysRevA.73.022303. S2CID  108291031.
12. ゴッテスマン、ダニエル (1996年9月1日). 「量子ハミング限界を飽和させる量子誤り訂正符号のクラス」. Physical Review A. 54 ( 3): 1862–1868 . arXiv : quant-ph/9604038 . Bibcode :1996PhRvA..54.1862G. doi :10.1103/PhysRevA.54.1862. PMID :  9913672 . S2CID :  16407184.
13. ブリーゲル、ハンス J. (2009 年 8 月 12 日)。 「クラスター状態」。グリーンバーガーでは、ダニエル。ヘンシェル、クラウス、ワイナート、フリーデル (編)。量子物理学の概要 - 概念、実験、歴史、哲学。スプリンガー。96 ～ 105ページ 。ISBN 978-3-540-70622-9。

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