Tool in homological algebra
数学 において 、 連鎖複体 とは、 アーベル群 （または 加群 ） の列と、各準同型の 像が次の群の 核 に含まれる ような連続する群間の準同型写像の列からなる 代数構造 である。連鎖複体にはホモロジーが関連しており 、 これは（大まかに言えば）連鎖複体が 正確 ではない度合いを示す尺度である 。
コチェイン 複体は 、準同型性が逆方向であることを除いて、チェイン複体に類似しています。コチェイン複体のホモロジーは、 コホモロジー と呼ばれます。
代数位相幾何学 において、 位相空間 Xの特異鎖複体は 単体 からX への 連続写像 を用いて構成され 、鎖複体の準同型性はこれらの写像が単体の境界にどのように制限されるかを捉える。この鎖複体のホモロジーはX の 特異ホモロジー と呼ばれ、 位相空間の 不変量としてよく用いられる。
連鎖複体はホモロジー代数学 で研究されている が、 抽象代数学 、 ガロア理論 、 微分幾何学、代数 幾何 学など、数学の様々な分野で用いられている。より一般的には アーベル圏 で定義することができる 。
定義 連鎖 複体とは、準同型（ 境界作用素 または 微分 と呼ばれる） によって連結された アーベル群または加群の列であり 、任意の2つの連続する写像の合成は零写像となる。明示的には、これらの微分は すべての に対して を満たす。 簡潔には を満たす 。この複体は次のように書き表される。 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })} ⋯ , A 0 , A 1 , A 2 , … {\displaystyle \cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots } d n : A n → A n − 1 {\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}} d n ∘ d n + 1 = 0 {\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0} n {\displaystyle n} d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0}
⋯ ← d 0 A 0 ← d 1 A 1 ← d 2 A 2 ← d 3 A 3 ← d 4 A 4 ← d 5 ⋯ {\displaystyle \cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots } コチェイン 複体は、チェイン複体の 双対 概念です。これは、 を満たす 準同型（ 共境界作用素 ）で接続された アーベル群または加群の列で構成されます 。コチェイン複体は、チェイン複体と同様の方法で記述できます。 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })} ⋯ , A 0 , A 1 , A 2 , … {\displaystyle \cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots } d n : A n → A n + 1 {\displaystyle d^{n}:A^{n}\to A^{n+1}} d n + 1 ∘ d n = 0 {\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}
⋯ → d − 1 A 0 → d 0 A 1 → d 1 A 2 → d 2 A 3 → d 3 A 4 → d 4 ⋯ {\displaystyle \cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots } どちらの場合も、この指標は 次数 （または 次元 ）と呼ばれます 。連鎖錯体と共連鎖錯体の違いは、連鎖錯体では微分によって次元が減少するのに対し、共連鎖錯体では微分によって次元が増加することです。連鎖錯体の概念と定義はすべて共連鎖錯体にも適用されますが、次元に関する慣例が異なり、多くの場合、用語には 接頭辞 「co-」 が付けられます。この記事では、区別が不要な場合は連鎖錯体の定義を示します。 n {\displaystyle n}
有界 連鎖複体とは、 ほぼすべての が0 である複体 、つまり左右に 0 だけ拡張された有限複体です。例として、有限 単体複体 の 単体ホモロジー を定義する連鎖複体が挙げられます。連鎖複体は、 ある一定の次数より上のすべてのモジュールが 0 である場合に 上方に有界 であり、ある一定の次数より下のすべてのモジュールが 0 である場合に 下方に有界 です。明らかに、複体が有界である場合に限り、複体は上方と下方の両方に有界です。 A n {\displaystyle A_{n}} N {\displaystyle N}
(コ)チェイン複体の個々の群の元は (コ)チェイン と呼ばれる。の核の元は (コ)サイクル （または 閉元 ）と呼ばれ、 d の像の元は (コ)境界 （または 厳密 元）と呼ばれる 。微分の定義から、すべての境界はサイクルである。n 次 (コ)ホモロジー群 H n ( H n )は、 n次の(コ)境界 を法とする (コ) サイクル群である 。すなわち、 d {\displaystyle d}
H n = ker d n / im d n + 1 ( H n = ker d n / im d n − 1 ) {\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}
正確なシーケンス 完全 列 （または 完全 複体）とは、ホモロジー群がすべてゼロとなる連鎖複体です。これは、複体内のすべての閉元が完全であることを意味します。 短完全列とは、 A k 、 A k +1 、 A k +2 の群のみが 非ゼロとなり得る有界完全列です。例えば、次の連鎖複体は短完全列です。
⋯ → 0 → Z → × p Z ↠ Z / p Z → 0 → ⋯ {\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots } 中間のグループでは、閉じた要素は要素 p Z です。これらは明らかにこのグループ内の正確な要素です。
チェーンマップ 2つの鎖複体と間の 鎖 写像 f は、 2つの鎖複体上の境界作用素と可換な 各 n に対する準同型写像の 列である。つまり、これは次の 可換図式 で表すことができる 。 ( A ∙ , d A , ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })} ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })} f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}} d B , n ∘ f n = f n − 1 ∘ d A , n {\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}
連鎖写像は、サイクルをサイクルに、境界を境界に送信し、それによってホモロジー上の写像を誘導します 。 ( f ∙ ) ∗ : H ∙ ( A ∙ , d A , ∙ ) → H ∙ ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}
位相空間 X と Y 間の連続写像 f は、 X と Y の特異鎖複体間の鎖写像を誘導し、したがって X と Y の特異ホモロジー間の 写像 f *も誘導する。 X と Yがともに n -球面 に等しい 場合 、ホモロジー上に誘導される写像は 写像 fの 次数 を定義する。
チェーン マップの概念は、チェーン マップの 円錐 の構築を通じて境界の概念にまで縮小されます。
チェーンホモトピー 連鎖ホモトピーは、ホモロジー群上に同じ写像を誘導する2つの連鎖写像を、たとえ写像が異なっていても関連付ける方法を提供する。2つの連鎖複体 A と B 、および2つの連鎖写像 f , g : A → B が与えられたとき、 連鎖ホモトピーとは、 hd A + d B h = f − g を満たす準同型写像 h n : A n → B n +1 の列である 。これらの写像は次のように図式化できるが、この図は可換ではない。
写像 hd A + d B h は、任意の h に対して、ホモロジー上の零写像を誘導することが容易に証明される。このことから、 f と g は ホモロジー上に同じ写像を誘導すること が直ちに分かる。 f と gは 連鎖ホモトピック （あるいは単に ホモトピック ）であるとされ、この性質は連鎖写像間の 同値関係 を定義する 。
X と Y を位相空間とする 。特異点ホモロジーの場合、 連続写像 f , g : X → Y 間のホモトピーは、 f と g に対応する鎖写像間の鎖ホモトピーを誘導する 。これは、2つのホモトピック写像が特異点ホモロジー上に同じ写像を誘導することを示す。「鎖ホモトピー」という名称は、この例に由来する。
例
特異ホモロジー Xを 位相空間とする。 自然 n に対して C n ( X ) を X の 特異n単体 によって形式的に生成される 自由アーベル群 と定義し、境界写像を 次のように
定義する。 ∂ n : C n ( X ) → C n − 1 ( X ) {\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}
∂ n : ( σ : [ v 0 , … , v n ] → X ) ↦ ( ∑ i = 0 n ( − 1 ) i σ : [ v 0 , … , v ^ i , … , v n ] → X ) {\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)} ここで、ハットは頂点 の省略を表す。つまり、特異単体の境界は、その面に対する制約の交代和である。∂ 2 = 0 で あることが示され、 連鎖複体も同様である。 特異ホモロジー はこの複体のホモロジーである。 ( C ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })} H ∙ ( X ) {\displaystyle H_{\bullet }(X)}
特異ホモロジーは、ホモトピー同値性 を除き、位相空間の有用な不変量である 。零次ホモロジー群は、 X の パス成分 上の自由アーベル群である。
ド・ラームコホモロジー 任意の滑らかな多様体 M 上の微分 k 形式 は 、 加法 の下でΩ k ( M )と呼ばれる 実 ベクトル空間 を形成する。 外微分 dは Ω k ( M ) を Ω k +1 ( M ) に写し 、 d 2 = 0 は本質的に 二階微分の対称性 から導かれる。したがって、 k 形式のベクトル空間と外微分は共鎖複素となる。
0 → ⊂ ℜ c → ⊂ Ω 0 ( M ) → d Ω 1 ( M ) → d Ω 2 ( M ) → d Ω 3 ( M ) → ⋯ {\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots } この複体のコホモロジーは M の de Rham コホモロジー と呼ばれる。 局所定数関数は、 M の互いに分離した成分の数を c とする 同型性で示される 。このようにして、この複体は部分集合作用素を用いて零形式レベルで正確な複体となるように拡張された。 ℜ c {\displaystyle \Re ^{c}}
多様体間の滑らかな写像は 連鎖写像を誘導し、写像間の滑らかなホモトピーは連鎖ホモトピーを誘導します。
鎖状錯体のカテゴリー 連鎖写像を射とする - モジュール の連鎖複体は カテゴリ を 形成します 。ここで、 は可換環です。 K {\displaystyle K} C h K {\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}} K {\displaystyle K}
とが 連鎖複体である 場合、それらの テンソル積は 次数元を持つ 連鎖複体であり、 V = V ∗ {\displaystyle V=V_{*}} W = W ∗ {\displaystyle W=W_{*}} V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} n {\displaystyle n}
( V ⊗ W ) n = ⨁ { i , j ∣ i + j = n } V i ⊗ W j {\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}} そして、微分は次のように与えられる。
∂ ( a ⊗ b ) = ∂ a ⊗ b + ( − 1 ) | a | a ⊗ ∂ b {\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b} ここで 、 とは それぞれと の任意 の 2 つの同次ベクトルであり 、 は の次数を表します 。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} | a | {\displaystyle \left|a\right|} a {\displaystyle a}
このテンソル積は、圏を対称 モノイド圏 とする 。このモノイド積に関する恒等対象は、 次数 の鎖複体として見た基本環である 。同次元の単純テンソル上の 組紐は 、次のように与えられる
。 C h K {\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}} K {\displaystyle K} 0 {\displaystyle 0}
a ⊗ b ↦ ( − 1 ) | a | | b | b ⊗ a {\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a} 編み込みが連鎖地図となるためには、記号が必要です。
さらに、 - 加群の鎖複体のカテゴリに も 内部 Hom が存在する。鎖複体と が与えられたとき 、 と の内部 Hom は で表され、 次数が与えられ 、微分が で与えられる 鎖複体である。 K {\displaystyle K} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} H o m ( V , W ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)} n {\displaystyle n} Π i Hom K ( V i , W i + n ) {\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}
( ∂ f ) ( v ) = ∂ ( f ( v ) ) − ( − 1 ) | f | f ( ∂ ( v ) ) {\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))} 。 我々は 自然な同型性を持っている
Hom ( A ⊗ B , C ) ≅ Hom ( A , Hom ( B , C ) ) {\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}
その他の例
参照
参考文献 
![{\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d64d20dabc262201e2da3e8e282cd1e6c2a46ce)
